X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

1. Преобразование квадратичной формы.

Пусть уравнение поверхности 2 порядка записано в общем виде:

a₁₁x² + a₂₂y² + a₃₃z² + a₁₂xy + a₁₃xz + a₂₃yz + a₁x + a₂y + a₃z + a₀ = 0

Сумма первых 6 слагаемых наз. квадратичной формой

Ф(x, y, z) = a₁₁x² + a₂₂y² + a₃₃z² + a₁₂xy + a₁₃xz + a₂₃yz

от переменных x, y, z.

Её можно записать в виде произведения матриц:

Ф(x, y, z) =

( Проверяем, умножая матрицы на доске.)

Сумма следующих 3 слагаемых наз. линейной формой

L(x, y, z) = a₁x + a₂y + a₃z. Её также можно записать как произведение матриц:

L(x, y, z) = .

Обозначим матрицы A = , B = .

2. Уравнение поверхности в матричной форме.

Теперь запишем уравнение поверхности в матричной форме:

Так как матрица А, по построению, симметрическая, то к ней можно применить следствие 2 теоремы 5 прошлой лекции:

Согласно этому следствию,

О^t ∙А∙О = , где λ₁, λ₂ λ₃ – собственные числа матрицы А, столбцы матрицы О являются соответствующими собственными векторами и образуют ортонормированный базис

в пространстве R³.

Перейдём к новой системе координат X₁ Y₁ Z₁ , взяв в качестве нового базиса . Так как начало координат не меняется и переход делается от ортонормированного базиса к ортонормированному, то это преобразование наз. поворотом осей.

Переход от старых координат к новым и обратно, как показано ранее, будет производиться по формулам

и .

Подставляя в уравнение поверхности выражение старых координат через новые, получим:

.

Обозначая B₁ = B∙O = ( b_1b2b3 ) и подставляя

О^t ∙А∙О = , получаем уравнение поверхности в новой системе координат:

λ₁∙x₁² + λ₂∙y₁² + λ₃∙z₁² + b₁∙x₁ + b₂∙y₁ + b₃∙z₁ + a₀ = 0.

Z

Y₁

Z₁

Y

X X₁

3. Параллельный перенос

Следующий этап наз. параллельным переносом системы координат. Целью последущего выбора ещё одной системы координат – избавиться в уравнении поверхности от слагаемых b₁∙x₁ + b₂∙y₁ + b₃∙z₁.

Рассмотрим сначала случай, когда λ₁ ≠ 0, λ₂ ≠ 0, λ₃ ≠ 0 ( эллип-соид, однополостный и двуполостный гиперболоиды)

Имеем:

λ₁x₁² + b₁x = λ₁ [(x₁ + b₁/2λ₁)² – (b₁/2λ₁)²] = λ₁(x₁ + b₁/2λ₁)² – b₁²/4λ₁.

Тогда можно также записать

λ₂y₁² + b₂y = λ₂(y₁ + b₂/2λ₂)² – b₂²/4λ₂;

λ₃z₁² + b₃z = λ₃(z₁ + b₃/2λ₃)² – b₃²/4λ₃.

Теперь делаем переход к новой системе координат X₂ Y₂ Z₂

x₂ = x₁ + b₁/2λ₁ ; x₁ = x₂ - b₁/2λ₁ ;

y₂ = y₁ + b₂/2λ₂ ; y₁ = y₂ - b₂/2λ₂ ;

z₂ = z₁ + b₃/2λ₃ ; z₁ = z₂ - b₃/2λ₃ .

Этот переход наз. параллельным переносом или сдвигом осей:

( При сдвиге x₂ = x₁ + 2 ось координатная плоскость Y₁ Z₁ сдвигается вдоль оси X₁ на 2 влево). Подставляем выражения старых координат через новые, получаем уравнение поверхности в виде:

λ₁∙x₂² + λ₂∙y₂² + λ₃∙z₂² + p₀ = 0.

Если p₀ = 0, то получится или конус, или одна точка. Пусть

p₀ ≠ 0. Переносим p₀ в правую часть и делим всё уравнение на

- p₀. Перебрасываем также в знаменатели числа λ₁ , λ₂ , λ₃ , заменяя их обратными. Получаем уравнение

.

В зависимости от распределения знаков чисел (-р₀/λ₁), (-р₀/λ₂),

(-р₀/λ₃), можно получить эллипсоид, двуполостный гиперболоид, однополостный гиперболоид или же мнимый эллипсоид ( когда все числа отрицательны).

В случаях, когда одно из чисел λ₁, λ₂, λ₃ равны нулю, приходим к эллиптическому или гиперболическому параболои-дам, или же к эллиптическому и гиперболическому цилиндрам.

В случаях, когда два из чисел λ₁, λ₂, λ₃ равны нулю, приходим к параболическому цилиндру, к 2 точкам, 1 точке или 2 мнимым точкам.

4. Примеры.

Рассмотрим примеры:

Найти координаты центра, направления осей симметрии, тип и параметры поверхности, заданной уравнением

xy + xz + yz + x + y + z = 1

Решение

1 шаг.

Запишем уравнение в матричной форме

, А = , B = ( 1 1 1).

2 шаг.

Найдём собственные числа матрицы квадратичной формы:

Решаем характеристическое уравнение

. Нет необходимости раскрывать определитель, так как сразу видно, λ₁ = 1, λ₂ = λ₃ = - 0.5 ( Пояснить, если не понятно студентам, ссылаясь на свойства определителя).

3 шаг.

Найдём соответствующую ортонормированную тройку из собственных векторов А.

λ₁ = 1. = ( 3 3 3 ).

.

λ₂ = λ₃ = - 0.5. Вектор находим как одно из ненулевых решений уравнения 0.5x + 0.5y + 0.5z = 0, например ( 1 1 -2 ). Вектор найдём по формуле (объяснить, если аудитории не понятно). Получаем = ( -9 9 0 ). Нормируем полученные векторы и получаем

, .

Решён один из пунктов поставленной задачи: найдены направления осей симметрии поверхности (пояснить, если не понятно).

4 шаг.

Запишем уравнение поверхности в новых координатах после поворота осей.

x₁² – 0.5y₁² – 0.5z₁² + ( 1 1 1) = 1.

Перемножая матрицы, получим:

x₁² – 0.5y₁² – 0.5z₁² + x₁ = 1.

5 шаг.

Делаем перенос начала системы координат в центр фигуры.

Подставляем x₁² + x₁ = (х₁ + )² – 0.75 в уравнение:

(х₁ + )² – 0.5y₁² – 0.5z₁² = 1 + 0.75 = 1.75.

6 шаг.

Записываем формулы перехода к новой системе координат, делим уравнение на 1.75, и получаем каноническое уравнение.

x₂ = х₁ + , y₂ = y₁, z₂ = z₁.

.

Находим , .

Получилось каноническое уравнение двуполостного гиперболоида вращения (вращение вокруг оси X₂).

7 шаг.

Найдём координаты центра гиперболоида в первоначальной системе координат XYZ. Находим координаты центра:

x₂ = 0, y₂ = 0, z₂ = 0 x₁ = -, y₁ = 0, z₁ = 0

.

8 шаг.

Изобразим поверхность.

Z X₂

o Y₂ Y

X₂

X

Найти направления осей симметрии, координаты центра и размеры эллипса, заданного уравнением

2x² + y² – 2xy – 4x + 6y – 5 = 0.

Решение. .

, λ₁ = 0.382, λ₂ = 2.618.

.

Нормируем .

Тогда ( если не ясно, пояснить). (Пояснить выбор знака, чтобы был поворот без отражения).

Переходим в уравнении к новым переменным:

0.382x₁² + 2.618y₁² + ( - 4 6 ) - 5 = 0,

0.382x₁² + 2.618y₁² + 3.002x₁ + 6.56y₁ - 5 = 0.

Выделяем полные квадраты

0.382x₁² + 3.002x₁ = 0.382(x₁ + 3.93)² – 5.9,

2.618y₁² + 6.56y₁ = 2.618(y₁ + 1.24)² – 4.03.

Подставляем:

0.382(x₁ + 3.93)² + 2.618(y₁ + 1.24)² = 15.2.

.

Размеры эллипса а = 6.3, b = 2.4. Найдём координаты центра

= .

Изобразим на графике:

Y

Y₁ X₁

X

X₂

Y₂

Список использованных источников:

1. Порядок приведения уравнений кривых и уравнений к каноническому виду Электронный ресурс] Режим доступа: http://mathhelpplanet.com/static.php?p=privedenie-uravneniya-poverhnosti-k-kanonicheskomu-vidu Дата обращения: 15.12.2017

2. Порядок приведения уравнений к каноническому виду Электронный ресурс] Режим доступа: http://scask.ru/book_agm.php?id=145 Дата обращения: 15.12.2017

3. Порядок приведения к каноническому виду поверхности второго порядка [Электронный ресурс] Режим доступа: http://www.apmath.spbu.ru/ru/staff/svirkina/publ/publ.pdf Дата обращения: 15.12.2017

Код для цитирования: Скопировать