X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

ВВЕДЕНИЕ

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых искомая функция зависит от нескольких переменных. При этом достаточно часто искомая функция удовлетворяет в некоторой области уравнению, содержащему помимо этой функции её частные производные. Такие уравнения принято называть дифференциальными уравнениями в частных производных. Как правило, помимо этих уравнений, искомая функция обязана удовлетворять некоторым дополнительным условиям (начальным и (или) граничным).

В этом случае речь идет о задачах математическойфизики. Абсолютное большинство этих задач не могут быть решены аналитически или их решение очень громоздко и неприемлемо на практике. В связи с этим возникает необходимость в численном решении такого рода уравнений.

Продемонстрируем численное решение некоторых задач математической физики в случае, когда искомая функция зависит от двух переменных.

Численное решение задач математической физики, в некоторых случаях, может быть осуществлено методом конечных разностей, который схематически представлен следующим образцом. Для реализации метода конечных разностей следует:

Построить в области решения равномерную сетку, содержащую nузловых точек (смотри рис. 1).

Рис. 1 − Двумерная сетка

Представить производных в конечно-разностной форме:

и т. д.,

где f _{i, j}, f _{i + 1, j}, f _{i - 1, j}, f _{i , j + 1}, f _{i, j - 1} − значения функции f(x, y) в точках (x_i, y_j), (x_i + h, y_j), (x_i - h, y_j), (x_i, y_{j + 1}), (x_i, y_j-₁) соответственно.

Такие разностные уравнения записывают для всех узлов сетки и получают в результате систему изn уравнений с n неизвестными.

Добавить к полученным уравнениям соотношения, возникающие за счет начальных и (или) граничных условий.

Решить полученную систему линейных алгебраических уравнений для нахождения приближенных значений искомой функции в узлах.

Простейшая стационарная задача теплопроводности

Задача 1.

Найти распределение тепла в теплоизолированной стенке, состоящей из двух. Ширина первой стенки равна 3, высота – 4, начальная температура левой границы стенки - 35° С; ширина второй стенки – 8, высота 4, начальная температура правой границы стенки - 40° С. Начальная температура на верхних и нижних границах равна 0.

Решение задачи:Запустим встроенный инструмент PDE-TOOLBOX:

Опишем геометрию исследуемой области. Сперва зададим границы рабочего поля. Для этого перейдем в меню Options, далее AxesLimits.

Зададим нужные нам значения . Затем опишем геометрию исследуемой области. ДляэтоговыберемвменюDraw, Rectangle/square(centered) и левой кнопкой мыши построим прямоугольник произвольного размера. Двойным щелчком мыши по полученной фигуре откроем диалоговое окно с параметрами фигуры. Введем нужные нам значения.

Построим рядом еще один прямоугольник и введем нужные нам значения.

Следующим этапом является задание граничных условий. ПерейдемвпунктBoundary, далееBoundaryMode. Т. к. стенка теплоизолированная, то на ее границах будет выполняться условие Неймана. Для правой границы коэффициент g=393, q=1; для левой границы g=363, q=1; для верхней и нижней границы g=0, q=0.

Зададим коэффициент теплопроводности материала пластины. Для этого перейдем в пункт PDE, далее PDEMode и дважды щелкнем по левой фигуре. Откроется окно, в котором нам необходимо задать коэффициент, равный 45.

Для правой фигуры зададим коэффициент, равный 56.

Построим вычислительную сетку. Переходим в меню Mesh, далее MeshMode.

После этого можно искать решение дифференциального уравнения. Переходим в меню Solve, далее SolvePDE, или нажимаем на кнопку .

Решение будет представлено в следующем виде:

Теперь можно настроить визуализацию решения. Перейдем в меню Plot, далее Parameters… или нажав на кнопку, на которой изображен логотип MATLAB. Поставим галочки напротив Contour (контур) и Arrows(температурный градиент).

Тогда облик решения изменится следующим образом:

Из рисунка можно сделать выводы о распределении тепла в стенке.

Задача о распределении тепла в однородной стенке

Задача 2.

Найти распределение тепла в теплоизолированной стенке, ширина которой равна 3, высота – 4, с начальной температурой на правом конце стенки равной 40°С, на левой ­­– 35°С, сверху и снизу – 0.

Решение задачи:В программном пакете MATLABпредлагается встроенный инструмент PDE–TOOLBOX (PartialDifferentialEquationToolbox), работающий с уравнениями эллиптического/гиперболического типа и определяющий их решение с помощью метода конечных элементов. Геометрия описываемой области в данном случае может быть только двухмерной.

Для того, чтобы запустить встроенный инструмент PDE-TOOLBOX необходимо: APP→PDE.

Откроется окно PDE-TOOLBOX.

Используя инструменты этого окна, мы можем ввести исходные данные, найти приближенное решение задачи и построить его график.

Решение задачи теплопроводности начинается с описания геометрии исследуемой области. Для этого предусмотрен специальный инструментарий. Сперва зададим границы рабочего поля. Для этого перейдем в меню Options, далее AxesLimits.

Зададим нужные нам значения . Затем опишем геометрию исследуемой области. ДляэтоговыберемвменюDraw, Rectangle/square(centered) и левой кнопкой мыши построим прямоугольник произвольного размера. Двойным щелчком мыши по полученной фигуре откроем диалоговое окно с параметрами фигуры. Введем нужные нам значения.

Следующим этапом является задание граничных условий. ПерейдемвпунктBoundary, далееBoundaryMode. Т. к. стенка теплоизолирована, то на ее краях будет выполняться условие Неймана. Для правой границы коэффициент g=30, q=1; для левой границы g=50, q=1; для верхней и нижней границы g=0, q=0.

Построим вычислительную сетку. Переходим в меню Mesh, далее MeshMode.

Для того, чтобы увеличить точность решения задачи, необходимо увеличить количество узлов и частоту сетки.Это можно выполнить с помощью кнопки .

После этого можно искать решение дифференциального уравнения. Переходим в меню Solve, далее SolvePDE, или нажимаем на кнопку .

Решение будет представлено в следующем виде:

Теперь можно настроить визуализацию решения. Перейдем в меню Plot, далее Parameters… или нажав на кнопку, на которой изображен логотип MATLAB. Поставим галочки напротив Contour (контур) и Arrows(температурный градиент).

Тогда облик решения изменится следующим образом:

Из рисунка можно сделать выводы о распределении тепла в стенке.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На практике абсолютное большинство задач не могут быть решены аналитически или их решение неприемлемо. В связи с этим возникает необходимость в численном решении такого рода уравнений, которые представлены выше.

Мы продемонстрировали численное решение некоторых задач математической физики в случае, когда искомая функция зависит от двух переменных.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Учебно-методическое издание Герасименко Ю. Я., Растеряев Н. В.

«ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ»

2. Кунин С. Вычислительная физика. - М.: Мир, 1992.

3. Поршнев С.В. Методика использования пакета Mathcad для решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений// Вычислительные методы и программирование. -2001. Т. 2. -Раздел 3. - С. 16.// Интернет журнал: http://num-meth.srcc.msu.su

Код для цитирования: Скопировать