ФОРМИРОВАНИЕ УМЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ У ОБУЧАЮЩИХСЯ 10 КЛАССА ЕСТЕСТВЕННО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ НА ОСНОВЕ КУРСА ПО ВЫБОРУ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

Иванов А.В. 1

1СурГПУ

Работа в формате PDF

324.6 KB

Сертификат участника

Комментарии

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Актуальность работы. Сформированность представлений о математических понятиях как о важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления и сформированность умений моделировать реальные ситуации, исследовать построенные модели, интерпретировать полученный результат являются требованиями к предметным результатам курса математики в соответствии с федеральным государственным стандартом нового поколения.

Математическое моделирование формируется в школе посредством решения задач прикладной направленности обучающимися. Многие важные задачи прикладной направленности сводятся к решению дифференциальных уравнений, на которые уделено до 5 часов в школьной программе по алгебре и началам анализа в 11 классе.

В работе рассмотрены учебники профильного уровня за 11 класс по алгебре и началам анализа на предмет содержания прикладных задач, приводящих к решению дифференциальных уравнений, в том числе учебники [7] и [9] рекомендуемых федеральным перечнем учебников на 2016-2017 год.

В связи с особенностями естественно-математического профиля и сложностью материала выделены психологические особенности старшеклассника.

Проблема: каким должно быть содержание курса по выбору, способствующее формированию умений математического моделирования?

Объект: средства формирования умений математического моделирования у обучающихся 10 класса естественно-математического профиля.

Предмет: содержание курса по выбору «Дифференциальные уравнения» как средство формирование умений математического моделирования у обучающихся 10 класса естественно-математического профиля.

Цель: обосновать возможности математического курса по выбору «Дифференциальные уравнения» для формирования умений математического моделирования у обучающихся 10 класса естественно-математического профиля.

Частные задачи:

Выявить психолого-педагогические особенности обучающихся 10 класса при организации профильной подготовки;

определить содержание основных ключевых понятий «модель», «математическое моделирование»;

выявить особенности содержания раздела «Дифференциальные уравнения» для формирования умений математического моделирования с учетом естественно-математического профиля;

разработать математический курс по выбору «Дифференциальные уравнения», направленный на формирование умений математического моделирования у обучающихся 10 класса.

Гипотеза: Использование курса по выбору «Дифференциальные уравнения» в учебном процессе 10 класса естественно-математического профиля является необходимым условием для формирования умений математического моделирования.

В ходе работы использовались методы:

-аналитические (анализ литературных источников, изучение педагогического опыта);

-диагностические (анализ литературных источников, изучение педагогической документации);

Структура работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Общий объём работы 53 страницы, список литературы содержит 33 наименования.

Глава 1. Научно-методические основы формирования умений моделирования в 10 классе

1.1 Психологические особенности обучающихся 10 класса естественно-математического профиля

Выделим психологические особенности старшеклассника. В российской психологии возраст обучающихся 10-11 классов приходится на период ранней юности [3].

При составлении и решении дифференциальных моделей ключевую роль играют исследовательские умения и нестандартный подход. Эти психологические особенности хорошо сформированы к периоду ранней юности (по Д. Б. Эльконину, П. Я. Гальперину и В. В. Давыдову [3]). Решение прикладных задач, приводящих к дифференциальным уравнениям, стимулирует и активизирует творческий потенциал старшеклассника.

По Д. Б. Эльконину к 15-17 годам ведущей становится учебно-профессиональная деятельность, благодаря которой у старшеклассника формируются определённые познавательные и профессиональные интересы. Прикладная направленность задач придаёт дополнительный стимул учащимся профильной направленности по их предмету.

Развитие интеллекта тесно связано с развитием творческих способностей, предполагающих не просто усвоение информации, а проявление интеллектуальной инициативы и создание чего-то нового. Сталкивая личность с множеством новых, противоречивых жизненных ситуаций, переходный возраст стимулирует и активизирует её творческий потенциал. Важнейший интеллектуальный компонент творчества – преобладание так называемого дивергентного мышления, которое предполагает, что на один и тот же вопрос может быть множество одинаковых правильных и равноправных ответов (в отличие от конвергентного мышления, ориентирующегося на однозначное решение, снимающее проблемы как таковую) [15].

К этому возрасту созревает способность абстрагировать мыслительные операции от объектов, над которыми эти операции производятся [17]

Многие старшеклассники переходят в новые учебные заведения (специализированные школы, гимназии, лицеи, колледжи, техникумы).

В большинстве случаев школьники характеризуют отношение со школой как безразличные, недоброжелательные и формальные, несмотря на то, что они проводят там большую часть времени. Это связано с тем, что ученик не видит связи школьной деятельности со своим будущим. Учёба оценивается обучаемым с точки зрения полезности в будущем, появляется избирательное отношение к различным предметам.

В условиях специального обучения в этом возрасте возможно возникновение следующих характеристик умственного развития:

самоорганизация школьниками учебной деятельности, выражающаяся во владении всеми её звеньями (постановка учебной задачи, осуществление активных предметных преобразований, выполнение действий самоконтроля и самооценки); самостоятельный переход ученика от одного этапа к другому, от одного вида деятельности к другому;

наличие учебно-познавательных мотивов как устойчивой самостоятельной ориентации учащихся не только на результат деятельности, но и на способы её выполнения (предметом усвоения становится не только содержание учебного материала, но и строение соответствующей деятельности);

наличие чётко выраженных индивидуальных различий учебной деятельности, проявляющихся в разном уровне сформированности средств и способов её выполнения, в активном построении ребёнком новых типов их сочетаний, а также в использовании в деятельности новых, специально не формировавшихся способов и средств.

У старшеклассника чаще возникают вопросы: «Для чего нужно изучать данную тему?», «Каким образом был получен результат?», «Можно ли сделать по-другому, было ли решение оптимальным?» Они начинают ценить красоту решений, умение педагога включать преподаваемое в более широкий предметный и социальный контекст. Это особенно важно для математики, где содержание абстрактно и слабо связано с жизнью.

Старшеклассники по-прежнему нуждаются в общении со сверстниками, но для них становится важным вопрос самоопределения. Одними из наиболее эффективных форм, которые отвечают потребности в самоутверждении, являются проведение дискуссий и проблемные обсуждения. Именно эти формы позволяют выработать и высказать собственное суждение по обсуждаемым вопросам, проявить самостоятельность и быть услышанным.

Но ведущую роль занимает профессиональный интерес старшеклассника. К этому периоду формируются устойчивые предпочтения и планы на будущее. Выделяются ребята со склонностями к математическим и техническим наукам. В связи с этим было введено профильное обучение.

В соответствии с распоряжением Правительства Российской Федерации от 29 декабря 2001 г. №1756-р об одобрении Концепции модернизации российского образования на период до 2010 г. на старшей ступени общеобразовательной школы предусматривается профильное обучение, ставится задача создания «системы специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся, в том числе с учетом реальных потребностей рынка труда отработки гибкой системы профилей и кооперации старшей ступени школы с учреждениями начального, среднего и высшего профессионального образования».

Профильное обучение– это средство дифференциации и индивидуализации обучения, позволяющее за счет изменений в структуре, содержании и организации образовательного процесса более полно учитываются интересы, склонности и способности учащихся, создавать условия для обучения старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами и намерениями в отношении продолжения образования [10].

Переход на массовое профильное обучение рассматривается как осуществление радикальной дифференциации образования, включающее:

с психолого-педагогических позиций– создание оптимальных условий для выявления задатков, развития интересов и способностей каждого учащегося;

с социальных позиций– наиболее полное раскрытие и рациональное использование возможностей каждого члена общества;

с методических позиций– построение новой дидактической системы мотивации и организации индивидуализированного обучения учащихся [17].

Профильное обучение преследует следующие цели:

обеспечить углубленное изучение отдельных предметов программы полного общего образования;

создать условия для существенной дифференциации содержания обучения старшеклассников с широкими и гибкими возможностями построения школьниками индивидуальных образовательных программ;

способствовать установлению равного доступа к полноценному образованию разным категориям обучающихся в соответствии с их способностями, индивидуальными склонностями и потребностями;

расширить возможности социализации учащихся, обеспечить преемственность между общим и профессиональным образованием, более эффективно подготовить выпускников школы к освоению программ высшего профессионального образования [11].

Задачисистемы профильного образования:

достижение выпускниками школы нового, более высокого качества образовательной и профильной подготовки;

формирование в процессе овладения системой знаний творческой самостоятельности и критичности мышления, элементов исследовательских умений и навыков, основ научного мировоззрения;

умение использовать изученные законы развития и функционирования природы и общества, другие знания в качестве основы и средства для приобретения новых знаний, их дальнейшего расширения и углубления, самостоятельного выхода за пределы имеющейся информации с использованием для этого способов объяснения, поведения, прогнозирования;

развитие качеств инициативной личности, позволяющих учащимся свободно ориентироваться в окружающей действительности, быть готовыми принимать самостоятельные решения, связанные с личным участием в социальной жизни общества и в трудовой деятельности;

усвоение выпускниками нравственных норм, обычаев и традиций, накопленных обществом в труде и в быту и обеспечивающих им возможность и право функционировать в нем в качестве полноправного члена, безболезненно и успешно адаптироваться в условиях перехода страны к демократичному гражданскому обществу с рыночной экономикой.

Одной из новых форм внеурочной работы являются курсы по выбору. Курсы по выбору являются одним из блоков учебного плана профильного обучения. Это обязательные для изучения учебные предметы по выбору учащихся, которые реализуются за счёт школьного компонента учебного плана.

Цель изучения курсов по выбору – ориентация на индивидуализацию обучения и социализацию учащихся, на подготовку к осознанному и ответственному выбору сферы будущей профессиональной деятельности.

По [30] к курсам по выбору предъявляются следующие требования:

иметь социальную и личностную значимость, актуальность как с точки зрения подготовки квалифицированных кадров, так и для личностного развития учащихся;

способность социализации и адаптации учащихся, предоставлять возможность для выбора индивидуальной образовательной траектории, осознанного профессионального самоопределения;

поддерживать изучение базовых и профильных общеобразовательных предметов, а также обеспечивать условия для внутрипрофильной специализации обучения;

обладать значительным развивающим потенциалом, способностью к формированию целостной картины мира, развитию общенаучных, интеллектуальных и профессиональных навыков, ключевых компетенций учащихся.

Таким образом, курсы по выбору в условиях профильного обучения позволяют реализовать обучаемым свои предпочтения, связанные с психологическими особенностями, будущей профессиональной деятельностью. Курсы являются также важным инструментов развития у обучаемых важнейшего формы мышления моделирования. В частности, математические курсы по выбору позволяют формировать умение математического моделирования.

1.2 Умение математического моделирования

Одной из основных задач современного образования является формирование практически компетентной личности. Поэтому поиск новых возможностей усиления прикладной направленности школьного курса математики, средств формирования навыков математического моделирования является перспективным направлением исследований в области теории и методики обучения математике.

Психологический аспект данной проблемы рассмотрены в работах Л. Выготского, П.Я. Гальперина, С. Костюка, А.Н. Леонтьева и др. Теоретический анализ научно-методической литературы дал основания утверждать, что термин «модель» является многогранным, поэтому ученые трактуют его по-разному. В частности, этим термином называют логическую структуру, в которой описан ряд отношений между ее элементами; графическое представление объекта или процесса в виде графика, блок схемы или кривой, характеризующей динамику исследуемого процесса; систему математических соотношений, описывающих исследуемый процесс или явление; реально существующую или воображаемую систему, которая, находясь с оригиналом в отношении сходства, позволяет получить о нем новую информацию.

Проведенный анализ научно-методической и математической литературы позволил выделить следующие определения:

Математическая модель- это описание изучаемого объекта, процесса или некоторой ситуации на языке математических понятий, формул, уравнений, отношений и т.д.;

Математическое моделирование - это метод научного познания окружающего мира, который заключается в построении и исследовании математических моделей его отдельных процессов, явлений и объектов [31].

Авторы по-разному формулируют понятие моделиобъекта, но эти определения отражают одну суть.

Модель– это объект, который замещает оригинал, отражает наиболее важные для данного исследования черты и свойства оригинала. Модель, представляющая собой совокупность математических соотношений, называется математической[4].

Процесс построения математической модели – формализованного (то есть представленного в виде математических соотношений) описания комплекса факторов, существенно влияющих на состояние и/или функционирование исследуемого объекта, и соответствующего этому описанию информационного обеспечения – принято называть математическим моделированием[33].

По [6] под моделью принимается условный образ какого-либо объекта, приближённо воссоздающий этот объект с помощью некоторого языка.

Математическое моделирование - является методом исследования процессов (или явлений) путем построения системы математических соотношений (математических моделей) [24].

Математическая модель - это только специальный способ описания, позволяющий для анализа использовать формально-логический аппарат математики [24].

При изучении сложного объекта с помощью моделирования, исходный объект заменяется некоторой упрощённой моделью, причём используют только те характеристики объекта, которые нужны в исследовании. Моделирование – это сложный и многоэтапный процесс и требует определённых умений.

К термину «умение» существует два подхода:

Согласно первому подходу, отраженному в дефинициях понятия, данных Ю.К. Бабанским, С.А. Смирновым, Л.В. Карповым, Е.Н. Кабановой-Меллер, Б.Г. Мещеряковым, В.П. Зинченко и др., умение есть действие, предшествующее навыку, «возможность осуществить какое-либо действие, операцию» 25. В своих работах Е.Н. Кабанова-Меллер рассматривает умение как результат первого этапа овладения навыком. Овладение умениями осуществляется на основе усвоенных приёмов. Умения представляют собой систему закрепленных действий, учащийся осознает прием, на который он опирается [28], т.е. каждое действие выполняется осознанно, но оно не доводится до автоматизма. Подобной точки зрения придерживается и Л.В. Карпов, который в своих трудах умение определяет как «промежуточный этап овладения новым способом действия на основе полученного знания, но не достигшего уровня навыка». Л.В. Карпов указывает, что «умения отличаются от навыка полным сознательным контролем, обеспечивающим оперативную перестройку системно-структурной основы действия при существенном изменении условий его осуществления [28]. Умение соотносят с тем уровнем, который на начальном этапе выражается в форме усвоенного знания, которое понято учащимися и может быть ими воспроизведено. В случае затруднений учащиеся обращаются к правилу с целью избежания ошибки. Практическое использование этого знания приобретает операциональные характеристики и выступает в форме правильно выполняемого действия, регулируемого этим правилом. По мере последующей тренировки, включающей решение задач в новых условиях, достигается преобразование умения в навык [25]. Авторы данного подхода определяют умение как знание, не достигшее автоматизма, а, следовательно, каждое действие контролируется сознанием и может перейти в навык при постоянном использовании, т.е. умение считается незавершенным навыком.

Согласно второму подходу, умение есть совокупность знаний и навыков в действии для выполнения сложного творческого действия, которое не может быть автоматизированным [30]. П. А. Сорокун умения определяет как гибкие системы приемов и способов выполнения деятельности, сформированные в результате применения специально усвоенных знаний и навыков [25]. По мнению В. А. Сластенина, «умение – это компонент деятельности, в котором воплощаются знания и навыки», и по сравнению с навыками умения «имеют большую подвижность, носят сознательный характер выполнения действия с возможностью перехода в творчество» [29].

Первый подход хорошо характеризует умение для многих областей знаний, но не подходит в случае математики, т.к. умение в первом подходе характеризуют, как действие, предшествующее навыку. Навыки не формируются на уроках математики [30]. Более подходит второй подход, т.к. в математике можно сформировать умение решения задач определённого раздела математики, но встретившись с нетиповой задачей изученного раздела необходимо будет применить творческий подход, несмотря на имеющееся умение, что соответствует характеристике уменияпредложенному во втором подходе.

Так можно сформулировать понятие умение математического моделирования.

Умение математического моделирования – совокупность знаний и навыков, направленных на использование метода познания окружающего мира, заключающегося в построении и исследовании математических моделей его отдельных процессов, явлений и объектов.

Моделирование является одним из основных методов познания действительности. В ходе такого познания происходит выявление существенных черт изучаемого процесса или явления, а значит это сложная психическая деятельность, в состав которой включены восприятие, представление, память, воображение и мышление.

С прошлого века в самых различных областях знаний большую роль стал играть метод математического моделирования. В ходе изучения явления или процесса выделяют всевозможные величины, их характеризующие. Полученные величины выражают математически и приводят к системе уравнений.

В учебнике 10 класса по Алгебре А. Г. Мордковича [12] представлены три этапа математического моделирования решения задач на оптимизацию:

Первый этап. Составление математической модели.

Проанализировав условия задачи, выделите оптимизируемую величину (сокращённо: О. В.), т.е. величину, о наибольшем или наименьшем значении которой идёт речь. Обозначьте её буквой (или - в зависимости от фабулы).

Одну из участвующих в задаче неизвестных величин, через которую нетрудно выразить О. В., примите за независимую переменную (сокращённо Н. П.) и обозначьте её буквой (или какой-либо иной буквой). Установите реальные границы изменения Н. П. (в соответствии с условиями задачи), т.е. область определения для искомой О. В.

Исходя из условия задачи, выразите через . Математическая модель задачи представляет собой функцию с областью определения , которую нашли на втором шаге.

Второй этап. Работа с математической моделью.

На этом этапе для функции , найдите или , в зависимости от того, что требуется в условии задачи. При этом используются теоретические установки, которые были даны в пункте 1 данного параграфа.

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Здесь следует дать конкретный ответ на вопрос задачи, опираясь на результаты, полученные на этапе работы с моделью.

По М. Скворцовой, метод математического моделирования рассматривается в 5 этапов [27]:

Во многом этапы зависят от области, где применяется сам метод. Так, например, у К. К. Васильева присутствуют такие этапы, как этап оценки устойчивости модели, адекватности и чувствительности [4]. В данной работе задачи будут сводить к решению обычных дифференциальных уравнений, поэтому данные этапы можно не проводить.

При решении многих прикладных задач часто не удаётся установить непосредственную зависимость между искомыми и данными переменными величинами, но зато удаётся составить уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и её производные. Такие уравнения называются дифференциальными.

При решении задач, приводящих к решению дифференциальных уравнений, метод математического моделирования будет включать в себя следующие этапы:

создание математической модели объекта или явления, то есть перевод конкретной ситуации на математический язык (составление дифференциального уравнения по условию задачи);

исследование модели – решение математической задачи средствами выбранной теории (решение дифференциального уравнения);

интерпретация полученного решения – перевод результата математического моделирования на язык той отрасли, в которой была сформулирована исходная задача.

Профессиональный стандарт педагога [23] подразумевает следующие образовательные результаты педагога-предметника по математике:

«Главным образовательным результатом освоения математики и информатики учащимся является формирование:

способности к логическому рассуждению и коммуникации, установки на использование этой способности, на ее ценность,

способности к постижению основ математических моделей реального объекта или процесса, готовности к применению моделирования для построения объектов и процессов, определения или предсказания их свойств.

Указанные способности реализуются в математической деятельности, в которой приобретаются и используются:

конкретные знания, умения и навыки в области математики и информатики, в том числе умения:

2.1. формировать внутреннюю (мысленную) модель математической ситуации (включая пространственный образ),

2.2. проверять математическое доказательство, приводить опровергающий пример,

2.3. выделять подзадачи в задаче, перебирать возможные варианты объектов и действий,

2.4. пользоваться заданной математической моделью, в частности формулой, геометрической конфигурацией, алгоритмом, прикидывать возможный результат моделирования (например – вычисления),

2.5 применять средства ИКТ в решении задачи там, где это эффективно;

способность преодолевать интеллектуальные трудности, решать принципиально новые задачи, проявлять уважение к интеллектуальному труду и его результатам.

Основная задача учителя – сформировать у учащегося модель математической деятельности (включая приложение математики) в соответствии со ступенью (общего) образования, включая дошкольную.»

Так, из Профессионального стандарта прослеживается прямое требование к формированию умений математического моделирования обучающихся, при изучении математики.

Выводы по первой главе

В школьном курсе математики уделяется много внимания решению уже составленных математических моделей, например, уравнений, в то время как составлению самой математической модели и её интерпретации на естественный язык уделяется мало внимания.

Организация обучения именно по всем трём этапам моделирования обеспечивает формирование способов деятельности, необходимых в будущей профессии, поскольку за математическими понятиями обучаемые учатся видеть конкретные профессиональные объекты, их взаимодействие. Важным средством обучения при этом являются задачи с практическим содержанием.

В методе математического моделирования авторы имеют различные подходы к этапам его использования. Это зависит от конкретной сферы использования метода.

В случае курса по выбору «Дифференциальные уравнения» можно ограничиться тремя основными этапами:

В определении понятия умение был выбран подход, при котором умение есть совокупность знаний и навыков в действии для выполнения сложного творческого действия, которое не может быть автоматизированным.

Дано понятие умения математического моделирования.

Рассмотрены различные подходы к определению математического моделирования и сделал вывод о том, что вводимые авторами определения имеют схожий смысл.

Глава 2. Методические аспекты курса по выбору

«Дифференциальные уравнения»

2.1 Содержание прикладных задач, сводящихся к решению дифференциальных уравнений в школьных учебниках

Выясним, какое содержание по дифференциальным уравнениям имеют учебники. Дифференциальные уравнения рассматриваются в 11 классе, после изучения определённого интеграла. Перечислим, какие прикладные задачи в учебниках решаются с использованием дифференциальных уравнений.

В учебнике С. М. Никольского с соавторами [16] рассмотрены задачи на нахождение закона движения точки по известной её скорости и ускорению, на определение зависимости от времени температуры тела, а также задачи на радиоактивный распад, гармонические колебания. На дифференциальные уравнения отведено до 5 часов.

Примеры задач из данного учебника:

В учебнике Н. Я. Виленкина с соавторами [8] рассмотрены задачи на нахождение законов движения в сопротивляющейся среде, падения под действием сил тяготения, задача на гармоническое колебание. На дифференциальные уравнения отведено до 6 часов.

Пример из учебника практико-ориентированной задачи, сводящейся к решению дифференциального уравнения:

«Резервуар, наполненный водой, имеет форму цилиндра с высотой и площадью основания . В дне резервуара сделано отверстие площадью , через которое за 1 ч вылилось всей воды. Через сколько времени вся вода вытечет из резервуара, если скорость течения жидкости через отверстие выражается формулой , где - высота жидкости над отверстием, а – числовой коэффициент?»

Учебник А. Г. Мордковича и др. [12] не содержит раздела дифференциальных уравнений. В методической литературе к учебнику А. Г. Мордковича за 11 класс написано, что главный упор в параграфах интегрального исчисления ложится на введение понятия определённого интеграла.

В учебнике Г. К. Муравина [14] дифференциальные уравнения не рассмотрены.

В учебнике Ю. М. Колягина, М. В. Ткачевой, Н. Е. Федоровой, М. И. Шабунина [8] рассмотрены задачи на нахождения законов о размножении бактерий, радиоактивном распаде, рассмотрено уравнение гармонического колебания. На дифференциальные уравнения отведено до 2 часов.

Пример:

«Экспериментально установлено, что при определённых условиях скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству. Найти закон изменения количества бактерий по времени.»

Популярный в своё время учебник авторского коллектива А. Н. Колмогорова, А. М. Абрамова и др. [7] содержит раздел дифференциальных уравнений.

Примеры задач данного учебника:

Экспериментально установлено, что скорость уменьшения массы вещества со временем пропорциональна его количеству. Найти период полураспада.»

Анализ учебников позволяет сделать вывод, что на дифференциальные уравнения отводится мало часов, поэтому их изучение целесообразно вынести на курс по выбору «Дифференциальные уравнения».

Для формирования учения математического моделирования удобно использовать задачи, сводящиеся к решению дифференциальных уравнений. Причём задачи стоит давать в логической последовательности усложнения материала, параллельно изучению элементов теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Такими задачами занимались В. В. Амелькин [2], А. А. Самарский [24], К. К. Пономарёв [18]. Труды этих авторов посвящены составление и решению дифференциальных моделей. Дифференциальная модель – дифференциальное уравнение, полученное в ходе решения практико-ориентированной задачи. Так же составление дифференциальных моделей встречается в работах Г. И. Просветова [22], М. С. Красса [9], Н. Ш. Кремера [10], А. М. Абрамова [1] и др.

Примеры задач:

Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из цилиндрической цистерны, радиус основания которой равен , а высота .

Найти общее решение уравнения

описывающее свободное падение материальной точки, и частное решение этого уравнения, отвечающее начальным условиям .

По реке пустили бумажный кораблик. Как будет менять скорость кораблика, есть сопротивление воды пропорционально скорости движения кораблика, и направлено противоположно этой скорости?

Как будет менять скорость и расстояние от начального положения парашютиста, если сила сопротивления воздуха принимается пропорциональной скорости движения?

Резервуар, наполненный водой, имеет форму цилиндра с высотой и площадью основания . В дне резервуара сделано отверстие площадью , через которое за 1 ч вылилось всей воды. Через сколько времени вся вода вытечет из резервуара, если скорость течения жидкости через отверстие выражается формулой , где - высота жидкости над отверстием, а – числовой коэффициент?

Как изменяется сила тока по времени в замкнутой цепи с постоянной электродвижущей силой , активным сопротивлением и катушкой с индуктивностью ?

Как изменяется сила тока по времени в замкнутой цепи с синусоидальной электродвижущей силой , активным сопротивлением и катушкой с индуктивностью ?

Найти закон положения от времени колеблющегося тела массы на конце пружины.

При обходе заповедника два егеря обнаружили тушу убитого дикого кабана. Её осмотр показал, что выстрел браконьера был точным и кабан убит наповал. Рассудив, далее, что браконьер должен вернуться за добычей, егеря решили дождаться его, укрывшись недалеко от того места, где лежала туша. Вскоре показались два человека, прямо направлявшиеся к убитому животному. Задержанные неизвестные всячески отрицали свою причастность к браконьерству. Однако у егерей уже были косвенные улики их виновности, но для её полного доказательства следовало ещё уточнить время, когда был убит кабан. Как определить время убийства кабана, если известно, что в момент задержания неизвестных температура туши кабана была равна , а спустя чассоставляла , считая, что в момент выстрела температура кабана была , а температура воздуха ?

Пусть подводная лодка (рис. 2), движущаяся с постоянной скоростью , находящаяся в момент времени на глубине от поверхности моря и движущаяся с постоянной горизонтальной скоростью , получает приказ подняться на поверхность. Найти расстояние, пройденное в горизонтальном направлении и закон движения лодки, если плотность воды , а лодки .

Представленные задачи рассмотрены в таблице 1 с точки зрения определения их вида и метода решения.

Таблица 1

Таблица задач и методов их решения

Номер	Примеры задач	Вид дифференциальных уравнений и метод решения
1	Задачи 1 и 2.	Дифференциальные уравнения, которые можно привести к виду. Прямое интегрирование.
2	Любые 2 из задач 3, 4, 5.	Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Разделение переменных и прямое интегрирование .
3	Задачи 6 и 7. Задача норме 6 решается методом с прошлого урока. Из него вытекает усложнённая задача номер 7.	Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной).
4	Задача 8. Общую формулу решения уравнения вида учитель выводит искусственно, без метода вариации произвольной постоянной.	Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Использование выведенных искусственным путём формул (т. к. в школе использование метода Лагранжа на дифференциальные уравнения 2-го порядка и выше займёт много времени и не повлияет на формирование умения математического моделирования).

2.2. Разработка математического курса по выбору

«Дифференциальные уравнения»

Рабочая программа курса по выбору по математике

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

(Курс по выбору по математике для обучающихся 10 класса)

Пояснительная записка

Основная задача обучения математике в школе – обеспечить прочное и сознательной овладение обучающимися системой математических знаний и учений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.

Содержание рабочей программы курса по выбору соответствует основному курсу математики для средней (полной) школы и федеральному компоненту Государственного образовательного стандарта по математике. Курс по выбору реализует принцип дополнения изучаемого материала на уроках алгебры и начал анализа системой упражнений, которые углубляют и расширяют школьный курс.

Данный курс по выбору направлен на формирование умений математического моделирования, посредством решения дифференциальных уравнений, полученных из задач практико-ориентированной направленности.

Цель курса:формирование умений математического моделирования у обучающихся в ходе решения дифференциальных моделей.

Курс по выбору рекомендован для обучающихся 10-11 классов. Общая трудоёмкость 10 часов.

Контроль осуществляется предварительным и итоговым анкетированием.

В таблице 2 представление учебно-тематический план.

Таблица 2

Учебно-тематический план

Номер	Тема	Количество часов
1	Интегрирование	2
2	Составление дифференциальных уравнений	2
3	Процессы выравнивания	2
4	Изучение траекторий движения брошенного тела	2
5	Расчёт силы тока в замкнутой цепи	2

Содержание курса

Занятие 1

Тема занятия: Интегрирование

Цель деятельности учителя: формировать умение интегрирования функции.

Планируемые результаты изучения темы:

Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению предмета.

Предметные: строят математическую модель.

УУД:

познавательные: осознают задачу;

регулятивные: различают способ и результат действия;

коммуникативные: контролируют действие партнёра.

Сценарий урока

Актуализация знаний

-Мы с вами изучили такой вид преобразований, как производная. Найдём производную от функции:

-Возьмём производную по формулам и :

-Если уравнение

есть закон изменения перемещения материальной точки, то что будет означать уравнение

(Это закон изменения скорости исходной функции в каждой точке)

-А если мы знаем закон изменения скорости точки, а требуется найти закон изменения положения, то как будем решать задачу? Пусть, например, дан закон

-Как найдём закон изменения перемещения? (воспользуемся формулами)

-Зная что и , получаем

-Функция

называется первообразной функцией для функции

т. к. производная от даёт .

-Но если мы продифференцируем , где , что мы получим? (Такую же функцию)

-Так для функции

множеством всех первообразные является

-Это множество называется неопределённым интегралом и обозначается

-Интегрирование является преобразованием, обратным к дифференцированию. Чтобы проверить, правильно ли мы нашли первообразную, необходимо взять производную от получившейся. Эта первообразная должна совпадать с подынтегральным выражением.

-Формулы интегрирования получаются из формул дифференцирования. Перепишем основные из раздаточного материала

Решение примеров

-Найти интегралы:

-Для нахождения данных интегралов будем пользоваться таблицей.

5) Видим, что точно такого интеграла в таблице нет, но введём замену, которая сведёт его к табличному. Какую замену нужно ввести?

Закрепление знаний

-Найти интегралы:

Рефлексия

-Какой вид преобразований мы сегодня изучили? (Интегрирование)

-Как он связан с производной? (обратный процесс)

Занятие 2

Тема занятия: Составление дифференциальных уравнений

Цель деятельности учителя: формировать умение строить дифференциальную модель по условию задачи.

Планируемые результаты изучения темы:

Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению предмета.

Предметные: строят математическую модель.

УУД:

познавательные: осознают задачу;

регулятивные: различают способ и результат действия;

коммуникативные: контролируют действие партнёра.

Сценарий урока

Изучение нового материала

-Многие законы физики связывают значения величин со скоростями и ускорениями их изменения. Пусть, например, материальная точка массы mдвижется по прямой линии под действием силы F, направленной по той же прямой. По второму закону Ньютона ускорение точки в момент времени t равно отношению величины силы F, действующей в этот момент на точку, к массе:

-Из механического смысла второй производной приходим к соотношению

-Данное уравнение является моделью исходной задачи. Эта модель записана на языке математики, а значит является математической моделью.

-Уравнение, содержащее в себе аргумент, функцию от этого аргумента и производную этой функции называется дифференциальным. Уравнение полученной нами в первой задачи так же является дифференциальным.

-Задачи, сводящиеся к решению дифференциального уравнения, мы будем решать в три этапа. Рассмотрим это на примере задачи, а после вы мне скажите какие этапы мы использовали.

Задача 1. Составим и решим дифференциальное уравнение движения парашютиста, если сила сопротивления воздуха принимается пропорциональной скорости движения.

Решение

Сила , действующая на парашютиста, равна сумме силы тяжести и силе сопротивления:

-Учитывая второй закон Ньютона и механический смысл производной, получаем дифференциальное уравнение

-Это уравнение выражает закон изменения ускорения от скорости парашютиста. Найдём закон, выражающий скорость парашютиста от времени. Для этого введём замену :

-По определению производной :

2) Данное уравнение решается преобразованием, обратным нахождению производной – интегрированием. Необходимо найти такие функции , производные которых дают и

-Очевидно, этими функциями являются и , где – производные постоянные. называется первообразной для . Производные постоянные могут принимать любое значение, т.к. их производная обращается в нуль.

-Интегрирование обеих частей запишется, как

3) По условию задачи в начальный момент времени скорость . Подставив эти значения в полученное уравнение, находим, что , и, следовательно, уравнение перепишется в виде

-Отсюда следует, что с течением времени скорость падения парашютиста стремится к значению .

-Что мы сделали на первом этапе? (Составили математическую модель)

-На втором? (решили её)

-На третьем? (Дали ответ к задаче)

Применение полученных знаний

Задача 2. Найти закон движения парашютиста, пользуясь результатами прошлой задачи.

Решение

Из закона скорости по времени, получаем уравнение

Решаем прямым интегрированием:

-Если при , то

Закон движения

Задача 3. Пуля, двигаясь со скоростью , пробивает стену толщиной 20 см и вылетает из неё со скоростью . Принимая, что сила сопротивления стены пропорциональна квадрату скорости движения пули, найдём время движения пули в стене.

Решение

Согласно второму закону Ньютона дифференциальное уравнение для скорости движения пули имеет вид:

где масса пули, коэффициент пропорциональности, скорость.

Перепишем уравнение в виде

-Учитывая, что

-Для отыскания значения воспользуемся начальным условием

-Произвольную константу взяли в виде с идеей

-Учитывая , находим .

-Мы нашли закон движения пули в стене:

-При (толщина стены), найдём искомое время :

-Из находим, что при :

Время движения пули в стене

Рефлексия

-Какие уравнения мы сегодня составляли? (дифференциальные)

-Какие физические законы мы вывели? (закон скорости и движения парашютиста и закон движения пули в стене)

-Каких этапов мы придерживались при решении задач? (Составление модели; Решение модели; Ответ на задачу)

Занятие 3

Тема занятия: Процессы выравнивания.

Цель деятельности учителя: формировать умение выводить уравнения процесса выравнивания.

Планируемые результаты изучения темы:

Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению предмета.

Предметные: строят математическую модель.

УУД:

регулятивные: различают способ и результат действия;

коммуникативные: контролируют действие партнёра.

Изучение нового материала

Задача 1. Скорость остывания нагретого тела в каждый момент времени пропорциональна разности между температурой окружающей среды и его температурой в этот момент времени. Выведем закон остывания тела с течением времени.

Решение. Скорость остывания это производная температуры по времени :

-Скорость остывания пропорциональна разности температур :

-Знак минус взят для того, чтобы показать, что температура тела падает.

-Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

-Решая

и предполагая, что в начальный момент времени температура :

-Данное уравнение и выражает зависимость температуры от времени

Применение полученных знаний

Задача 2. Для варки кофе Пете и Вове нужна вода температурой в . Они знают, что после закипания, чайник остывает со скоростью, пропорциональной разности температур чайника и кухни и коэффициент пропорциональности для их чайника равен (подумайте, как они могли найти коэффициент ). Сколько минут надо подождать Пете и Вове после закипания чайника, чтобы начать варить кофе?

Решение

Подставляя исходные данные задачи в уравнение

получаем:

Необходимо найти при

Ответ: через минут.

Задача 3. Подождав минут после закипания чайника, Петя и Вова заварили по кофе. Петя добавил в кофе сливок, накрыл чашку бумажной салфеткой и отошёл позвонить по телефону. Владимир сразу же накрыл чашку бумажной салфеткой, а добавил то же количество сливок только через 10 мин, когда вернулся Петя, и они начали пить кофе вместе. Кто же пил более горячий кофе?

Решение

Вначале найдём температуру кофе Владимира. Для этого используем результат прошлых задач. Известно, что коэффициент , где толщина стенки чашки, площадь боковой поверхности стенок чашки, а теплопроводность материала чашки.Температура комнаты в Кельвинах 293 .

-С другой стороны, количество теплоты, отданное кофе, находим из неравенства

где удельная теплоёмкость кофе, масса кофе. Рассматривая уравнения вместе, приходим к уравнению

Решим его:

Температура кофе Владимира, спустя 10 минут, стала до добавления сливок.

Чтобы найти температуру со сливками, воспользуемся уравнением теплового баланса

где температура кофе со сливками Владимира, температура кофе, температура сливок, удельная теплоёмкость сливок, масса сливок, добавленная в кофе.

-Кофе со сливками Владимира приняло температуру Для нахождения температуры кофе Пети надо, во-первых, воспользоваться уравнением теплового баланса, а потом с получившейся температурой кофе со сливками, воспользоваться уравнением остывания тела, учитывая, что коэффициент в уравнении отдачи тепла изменится сна .

где температура кофе со сливками Пети до телефонного звонка.

Получаем, что Петя пил более горячий кофе, чем Владимир.

Задача 4. При обходе заповедника два егеря обнаружили тушу убитого дикого кабана. Её осмотр показал, что выстрел браконьера был точным и кабан убит наповал. Рассудив, далее, что браконьер должен вернуться за добычей, егеря решили дождаться его, укрывшись недалеко от того места, где лежала туша. Вскоре показались два человека, прямо направлявшиеся к убитому животному. Задержанные неизвестные всячески отрицали свою причастность к браконьерству. Однако у егерей уже были косвенные улики их виновности, но для её полного доказательства следовало ещё уточнить время, когда был убит кабан. Как определить время убийства кабана, если известно, что в момент задержания неизвестных температура туши кабана была равна , а спустя чассоставляла , считая, что в момент выстрела температура кабана была , а температура воздуха ?

Решение

Пользуясь данными задач 2 и 3, получаем уравнение

Тогда, при

-При находим время

Иначе говоря, прошло 2 часа и 6 минут с момента убийства до момента задержания.

Рефлексия

-Какие задачи мы сегодня решили? (задачи об остывании тел)

-Какие физические законы нам потребовались для решения задач? (уравнение теплового баланса)

-Каких этапов мы придерживались при решении задач? (Составление модели; Решение модели; Ответ на задачу)

Занятие 4

Тема занятия: Траектория движения тела.

Цель деятельности учителя: формировать умение выводить уравнения, описывающие траектории тел.

Планируемые результаты изучения темы:

Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению предмета.

Предметные: строят математическую модель.

УУД:

регулятивные: различают способ и результат действия;

коммуникативные: контролируют действие партнёра.

Изучение нового материала

Задача 1. Пусть тело брошено под углом к горизонту с начальной скоростью (рис. 1). Вывести уравнения движения тела, пренебрегая силами сопротивления.

Решение

Выберем оси координат так, как показано на рисунке.

-В произвольном положении на тело массой действует лишь одна сила – его вес . Поэтому в соответствии со вторым законом Ньютона дифференциальные уравнения движения в проекции на оси запишутся в виде

Рис. 1

Сокращая на , получаем уравнения

-интегрируя которые, получаем

-где

-Учитывая, что при имеем получаем

Уравнения движения тела

Применение полученных знаний

Задача 2. Из уравнений движения тела из задачи 1 найти: а) время полёта тела, до падения на землю; б) расстояние полёта по горизонтали; в) максимальную высоту полёта тела; г) траекторию полёта тела.

Решение. а) Из рисунка видно, что начало и конец полёта тела соответствует Следовательно, время найдём из соотношения

-Первое значение соответствует начальному положению тела. Следовательно, является искомым временем полёта тела.

б) Чтобы найти расстояние полёта по горизонтали, найдём соответствующий моменту времени :

в) В максимальной точке полёта производная следовательно

г) Чтобы найти траекторию движения тела, необходимо из системы

исключить параметр . Выразив из первого уравнения системы , и подставив во второе, получим

Задача 3. Пусть подводная лодка (рис. 2), движущаяся с постоянной скоростью , находящаяся в момент времени на глубине от поверхности моря и движущаяся с постоянной горизонтальной скоростью , получает приказ подняться на поверхность. Найти расстояние, пройденное в горизонтальном направлении и закон движения лодки, если плотность воды , а лодки .

Рис. 2

Решение. Выделим силы, действующие на подводную лодку. В вертикальном направлении на лодку действует сила тяжести и выталкивающая сила. По закону Архимеда , а сила тяжести .

-Координата , характеризующая горизонтальное положение подлодки, изменяется по закону движения тела с постоянной скоростью:

-Решая уравнения, получим:

-Исключая из уравнения, найдём траекторию движения подлодки в координатах :

-Данное уравнение описывает параболу, с вершиной в точке ,

-Лодка всплывёт во время , когда :

-Тогда в горизонтальном направлении подлодка пройдёт расстояние

Рефлексия

-Какие законы мы сегодня получили? (законы движения брошенного тела и всплывающей подлодки)

-Какие, уже известные, законы мы использовали? (закон Ньютона и закон Архимеда)

-Каких этапов мы придерживались при решении задач? (Составление модели; Решение модели; Ответ на задачу)

Занятие 5

Тема занятия: Расчёт силы тока в замкнутой цепи.

Цель деятельности учителя: формировать умение выводить уравнения зависимости силы тока по времени в замкнутой цепи.

Планируемые результаты изучения темы:

Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению предмета.

Предметные: строят математическую модель.

УУД:

регулятивные: различают способ и результат действия;

коммуникативные: контролируют действие партнёра.

Сценарий урока

Актуализация знаний

-На прошлом уроке мы с вами изучили уравнение процесса выравнивания

-Как записывается его решение? ()

-Сегодня оно нам понадобится для решения одной задачи, усложнив которую, данной формулы будет недостаточно и понадобится новый метод.

Постановка задачи

-Порой нам приходится слышать о связи математики с изучением электротехники. Покажем, как с помощью математики можно создать модель для изучения электрической цепи. Какие характеристики замкнутой цепи вы можете назвать? (Сила тока, ЭДС, сопротивление, индуктивность)

-Для начала рассмотрим случай с постоянной ЭДС. Тогда задача будет звучать как:

Пример 1. Как изменяется сила тока по времени в замкнутой цепи с постоянной электродвижущей силой , активным сопротивлением и катушкой с индуктивностью (рис. 3)?

Рис. 3

Решение

Сперва стоит вспомнить, что ЭДС в цепи расчитывается, как сумма напряжений на активном участке и на катушке:

-Эти напряжения, в свою очередь, связаны зависимостью:

-Отсюда получаем уравнение с неизвестной и её производной:

Выразим и, вынеся за скобку , заметим, что получится уравнение процесса выравнивания

-Как мы знаем, такое уравнение решается по формуле для

Где – это начальная сила тока.

Закон изменения силы тока

-Но это лишь частный случай, когда ЭДС у нас есть постоянная величина. В ходе применения генераторов переменного тока будет получать синусоидальная ЭДС. Тогда задача будет звучать так:

Пример 2. Как изменяется сила тока по времени в замкнутой цепи с синусоидальной электродвижущей силой , активным сопротивлением и катушкой с индуктивностью (рис.4)? Известно, что в начальный момент времени сила тока равнялась нулю.

Рис. 4

Решение. Уравнение запишется в виде

-Является ли правая часть константой? Можем ли мы применить формулу процесса выравнивания?(нет)

-Данное уравнения входит в большой блок важный уравнений. Рассмотрим его в общем виде

-Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. В университете вас научат решать его методом Лагранжа. Его доказательство грамоздко, поэтому дам вам простой алгоритм решения таких уравнений:

-Пусть – первообразная для

-Тогда . Видим левую часть уравнения в скобках. где - первообразная для . Значит

а) Найти для

б) Найти для

в) записать

Решение задач

-Решим данным методом уравнение

а)

б)

в)

-Теперь самостоятельно примените метод для решения задачи с цепью.

-Приведём к виду где – постоянные величины.

а)

б)

в)

Рефлексия

-С каким приложение дифференциальных уравнений вы сегодня познакомились? (приложением в электрической цепи)

-Какие величины находили в цепи? (силу тока)

-С каким новым видом уравнений познакомились? (линейные дифференциальные уравнения первого порядка)

-Каких этапов мы придерживались при решении задач? (Составление модели; Решение модели; Ответ на задачу)

Вывод по главе 2

Анализ учебников показывает, что на раздел «Дифференциальные уравнения» отводится недостаточно часов, даже учитывая, что прикладные задачи, сводящиеся к решению дифференциальных уравнения, удобны для формирования и развития умения математического моделирования. Поэтому целесообразно вынести изучение подобных задачи на курс по выбору «Дифференциальные уравнения».

Составленный курс состоит из пяти заданий, по два часа каждое. Первое занятие носит пропедевтический характер и служит для формирования умений интегрирования функций. Далее на протяжении курса параллельно решения задач учитель формирует умение интегрирования по мере необходимости. Если данный курс реализовать в 11 классе, то надобность в таком занятие отпадёт и его можно будет посвятить ещё ряду дифференциальных уравнений, например, углубиться в изучение дифференциальных уравнений второго порядка, которые характеризуют колебательные процессы.

Сами задачи, разобранные в ходе курса по выбору, полностью раскладываются по этапам метода математического моделирования, т.к. в каждой из них присутствует этап составления модели, её решения и интерпретации полученного результата. В качестве подпункта можно выделить определение вида полученного дифференциального уравнения.

Курс можно проводить у обучающихся 10 или 11 классов естественно-математического профиля.

Заключение

В школьной программе отводится мало часов на изучение дифференциальных уравнений, теория дифференциальных уравнений в полном объёме выходит за рамки школьной программы и не является необходимой для сдачи ЕГЭ.

Уровень старшеклассника позволяет изучать дифференциальные уравнения т.к. к этому возрасту хорошо сформирована интеллектуальная инициатива и обучающийся сможет самостоятельно выносить предположения по составлению математической модели из условий задачи. Мотивировать обучающихся можно тем, что данная теория будет встречаться в университетской программе с углубленным изучением математических дисциплин, т.к. основной деятельностью старшеклассника становится учебно-профессиональная.

Данные задачи можно рассматривать во внеурочное время на курсе по выбору «Дифференциальные уравнения» в 10 или 11 классе. Рассмотрение задач по всем трём этапам метода будет способствовать формированию умения использования метода математического моделирования старшеклассников.

Список использованной литературы

Абрамов, А. М. Избранные вопросы математики: 10 кл. Факультативный курс [Текст] / А. М. Абрамов, Н. Я. Виленкин, Г. В. Дорофеев и др. – М.: Просвещение, 1980. – 191 с.

Амелькин, В. В. Дифференциальные уравнения в приложениях [Текст] / В. В. Амелькин. – М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1987. – 160 с.

Батюта, М. Б. Возрастная психология: учеб. пособие [Текст] / М. Б. Батюта, Т. Н. Князева. – М.: Логос, 2014. – 306 с.

Васильев, К. К. Математическое моделирование систем связи: учебное пособие [Текст] / К. К. Васильев, М. Н. Служивый. – Ульяновск: УлГТУ, 2008. – 170 с.

Виленкин, Н. Я. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень. 10 класс. Учебник для учащихся общеобразоват. организаций (углубленный уровень) / Н. Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. – 18-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2014. – 352 с.

Виленкин, Н. Я. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень. 11 класс. Учебник для учащихся общеобразоват. организаций (углубленный уровень) / Н. Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. – 18-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2014. – 312 с.

Колмогоров, А. Н. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; под ред. А. Н. Колмогорова. 17-е изд. – М.: Просвещение, 2008. – 384 с.

Колягин, Ю. М. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.

Красс, М. С. Математика для экономических специальностей [Текст] / М. С. Красс. – Спб.: Питер, 2005. – 464 с.

Кремер, Н. Ш. Высшая математика для экономистов: учебник для вузов [Текст] / Н. Ш. Кремер., Б. А. Путко, И. М. Тришин и др. – 2-е изд., перераб. И доп. – М.: ЮНИТИ, 2002. – 471 с.

Милерян, Е. А. Психология труда и профессионального образования: Избранные научные труды/ Автор-составитель В.Е. Милерян. – Киев.: НПП «Интерсервис», 2013. – 290с.

Мордкович, А. Г. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень. 11 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных организаций (базовый и углубленный уровни) / [А. Г. Мордкович и др.]; под ред. А. Г. Мордковича. – 2-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2014. – 264 с.

Муравин, Г. К. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень. 10 класс: учебник / Г. К. Муравин, О. В. Муравина. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2013. – 318 с.

Муравин, Г. К. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень. 11 кл.: учебник / Г. К. Муравин, О. В. Муравина. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2014. – 318 с.

Натырова, Е. М. Формирование универсальных учебных действий в системе математической подготовки «Старшая школа – ВУЗ»: Дис. канд. пед. наук: 13.00.02 / Е. М. Натырова. – Елец, 2015. – 158 с.

Никольский, С. М. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин]. – 8-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 464 с.

Новиков, А. М. Основания педагогики / Пособие для авторов учебников и преподавателей / А. М, Новиков. – М.: Издательство «Эгвес», 2010. – 208 с.

Пономарев, К. К. Составление дифференциальных уравнений / К. К. Пономарев. – Мн.: Вышейшая школа, 1973. – 560 с.

Потапов, М. К. Алгебра и начала математического анализа. Книга для учителя. 11 класс: базовый и профил. уровни / М. К. Потапов, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2009. – 256 с.

Пратусевич, М. Я. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: профил. уровень / М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин. – М.: Просвещение, 2009. – 415 с.

Пратусевич, М. Я. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: профил. уровень / М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин. – М.: Просвещение, 2010. – 415 с.

Просветов, Г. И. Дифференциальные уравнения: Задачи и решения: Учебно-практическое пособие. – М.: Издательство «Альфа-Пресс», 2011. – 88 с.

Профессиональный стандарт педагога [Электронный ресурс]. - минобрнауки.рф/документы/3071/12.02.15Профстандарт_педагога_%28проект%29.pdf

Самарский, А. А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. [Текст] / А. А. Самарский. – 2-е изд., испр. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 320 с.

Сорокун, П. А. Общая психология [Текст] / П. С. Сорокун. – Псков: ПГПИ, 2003. – С.79.

Скаткин, М. Н. Школа и всестороннее развитие личности / М. Н. Скаткин. - М.: Просвещение, 1980. – 144 с.

Скворцова, М. Математическое моделирование / М. Скворцова // Математика. – 2003. - № 4.

Стефанова, Н. Л. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов / под научн. ред. Н. Л. Стефановой, Н. С. Подходовой. – М.: Дрофа, 2005. – 416 с.

Столяренко, Л. Д. Педагогика: 100 экзаменационных вопросов  Л. Д. Столяренко, С. И. Самыгин. – М.; Ростов н/Д.: Март, 2005. – 255 с.

Темербекова, А. А. Методика обучения математике: Учебное пособие [Текст] / А. А. Темербекова, И. В. Чугунова, Г. А. Байгонакова. – СПб.: Издательство «Лань», 2015. - 512 с.

Умнов, А. Е. Методы математического моделирования: Учебное пособие / А. Е. Умнов. – М.: МФТИ, 2012. 295 с.

Федеральный государственный образовательный стандарт среднего (полного) общего образования [Текст]: [утвержден приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от «17» мая 2012 г. № 413]: офиц. текст. – М., 2012. – 46 с.

Фридман, Л. М. Теоретические основы методики обучения математике: учебное пособие. Изд. стереотип. и доп. [Текст] / Л. М. Фридман. – М.: Едиториал УРСС, 2014. – 248 с.

Просмотров работы: 288

Код для цитирования:

X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Студенческий научный форум - 2018
X Международная студенческая научная конференция