Процесс истечения жидкости через отверстия круглой формы достаточно хорошо изучен: в технической литературе широко представлены методики расчеты динамики истечения жидкостей в зависимости от характера движения жидкости, ее типа и физико-химических свойств. Процесс же истечения через отверстия некруглойформы мало изучен и является актуальной задачей прикладной гидродинамики.
Рассмотрим истечение жидкости из цилиндра с трещиной (щелью) на дне (рис. 1). Для математического описания процесса истечения введем следующие параметры: H, R – геометрическая высота и радиус цилиндра,
x(t) – уровень жидкости в резервуаре, отсчитываемая от нижнего края цилиндра. X – вертикальная координата, a,b – длинна и ширина щели.
Рис 1. ‒ Схема цилиндрического резервуара с щелью на дне
Известно, что скорость истечения жидкости v в тот момент, когда высота ее уровня равна х(t), определяется равенством
,
где g = 9,807 м/с2,
k ‒ коэффициент скорости истечения жидкости из отверстия.
На бесконечно малом промежутке времени dt истечение жидкости можно считать равномерным, а потому за время dt из щели вытечет столб жидкости, высота которого и площадь сечения s= a.b, что в свою очередь вызовет понижение уровня жидкости в сосуде на ̶ dx.
В результате этих рассуждений приходим к дифференциальному уравнению
которое можно переписать в виде
Полученное дифференциальное уравнение следует дополнить начальным условием, определяющим уровень жидкости в начальный момент времени
Математическая модель в виде дифференциальных уравнений в принципе позволяет по состоянию системы в данный (начальный) момент времени определить ее состояние в любой последующий момент. Такие модели описывают динамические системы. Не всякое дифференциальное уравнение имеет аналитическое решение, а если и имеет, то найти его бывает трудно. Часто удаётся вычислить лишь некоторые значения определённых параметров при заданных начальных или граничных условиях, которые в свою очередь используются для других вычислений или решения исходной задачи. Всё это влечёт за собой насущную потребность и необходимость в использовании ЭВМ и специального программного обеспечения.
Благодаря быстрому развитию вычислительной техники и прикладных информационных технологий, не прибегая к существенным затратам на реализацию эксперимента и в значительной мере облегчая исследование при применении известных программных продуктов, решается широкий класс задач.
Mathcad ‒ система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования, ориентированная на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением, отличается лёгкостью использования и применения для коллективной работы.
В среде математического пакета Mathcad решим следующую задачу на истечение жидкости. Цилиндрический резервуар с вертикальной осью высотой H = 3 метра и диаметром R = 2 метра имеет на дне щель размера а = 0.09 и b=0.01 м. Для воды, керосина, бензина коэффициент скорости истечения принимается k = 0.6.
Для решения сформулированной задачи Коши с помощью пакета Mathcad используется встроенная функция odesolve. Функция имеет следующий синтаксис:
odesolve(t,b,step),
где t – переменная интегрирования;
b – конец интервала интегрирования;
step – размер шага (необязательный параметр).
Этапы решения:
ввод ключевого слова Given для использования решающего блока пакета Mathcad;
задаем дифференциальное уравнение и его ограничения, используя булево равенство (Ctrl=). Дифференциальное уравнение может быть записано с использованием операторов типа или в виде x'(t) и x"(t). Для задания начального приближения вводятся значения для x(t) и его первых производных в начальной точке при t = 0, в нашем случае это x(0) = H. Mathcad проверит правильность типа и числа ограничений;
вводим функцию odesolve(t,b,step) c переменной интегрирования t и числовыми значениями конечной точки b и шага step. Решение можно представить в виде графика зависимости x(t). Решение в среде пакета Mathcad и вывод результатов моделирования зависимости уровня жидкости в цилиндрических резервуарах высотой 3 метра и радиуса 2, 1.8 и 1.5 метров представлены на рисунке 2.
Рис. 2 ‒ Решение и вывод результатов моделирования в среде пакета Mathcad
Полученные результаты могут служить основой получения эффективной априорной информации о распределении гидродинамических характеристик цилиндрических резервуаров. Последнее позволяет, зная законы движения уровня жидкости и скорости истечения, выбирать технологические режимы, повышающие надежность, безопасность и долговечность резервуаров.