X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Треугольник с полной уверенностью можно назвать самой важной фигурой в таком разделе геометрии как планиметрия, и школьники изучают эту фигуру и её свойства, обычно в первую очередь. С этой фигурой связаны методы и способы, которые используются в решение задач по геометрии. Каждый многоугольник можно разбить на треугольники, а изучение свойств данного многоугольника, сводится к изучению треугольников, составляющих его. Можно даже сказать, что в каком-то смысле геометрия, изучаемая в школе, есть геометрия одного только треугольника. В связи с этим для школьного учителя уметь построить обучение данной теме важно, и поможет избежать методические ошибки.

Главным инструментом для работы в современных школьных учебниках используются признаки равенства треугольников.

Данный метод способствует отработке общих приёмов доказательства теорем. Доказательства строятся по схеме, которая выглядит так: 1)поиск равных треугольников → 2)доказательство предполагаемого равенства → 3)формирование новых утверждений. Применение этих признаков равенства треугольников позволяет проще усвоить главные теоремы планиметрии. В учебнике Л.С. Атанасяна первый признак рассматривается отдельно от двух других. Это обусловлено тем, что он является ключевым при доказательстве свойств равнобедренного треугольника, которые могут облегчить доказательство третьего признака равенства треугольников.

Практически во всех школьных учебниках все авторы применяют одинаковый метод, в котором они используют аксиомы существования треугольника равного данному треугольнику. Однако нигде нет ссылок на эту аксиому. Все доказательства основываются на принципе наглядности с помощью наложения. А в учебнике А.В. Погорелова та же самая аксиома сформулирована, но напрямую во время доказательстве на неё не делается никаких ссылок. Только после того как доказан первый признак равенства треугольников, автор делает полный и подробный его разбор и указывает аксиомы, который он использовал в доказательстве. Таким образом, автор хочет придать доказательству более взыскательную форму.

Аналогично это доказывается в учебнике Л.С. Атанасяна .Помимо этого в его учебнике аксиомы являются далеко не самыми основными положениями, на которых базируется школьный курс геометрии (также в приложении в конце учебника подробно излагаются вопросы о системе аксиом в курсе геометрии).

Разберём фрагмент организации работы учащихся на уроке по изучению признаков равенства треугольника.

Признаки равенства треугольников удобны тем, что достаточно обосновать равенство трёх(а не шести) пар элементов, которые обозначаются соответственно в определенном порядке. Чтобы выяснить значение признаков равенства треугольников удобно использовать постановку проблемного вопроса в сочетании с наглядностью. Ученикам предлагается рассмотреть экране два треугольника с помеченными тремя парами соответствующих равных сторон и двумя парами соответствующих равных углов.

Затем учитель проводит с учащимися беседу:

- Являются ли треугольники ABC и МРТ равными?(- Неизвестно, так как мы не знаем равны ли третьи углы).

- Но, что если учесть, что «сумма углов в треугольнике равна 180º», то станут ли равными углы ABC и ТМР? (- Они равны).

Это значит, что треугольники ABC и МРТ равны – а из этого следует утверждение: чтобы сравнить два треугольника, не обязательно проверять шесть пар соответствующих элементов. Но тогда появляется проблемный вопрос:

- Какое число соответствующих пар элементов необходимо иметь чтобы треугольники были равны ?

Чтобы ученики могли без затруднения ответить на этот вопрос, им предлагается рассмотреть серию рисунков с треугольниками АВK и АМР.

Допустим, данные треугольники имеют только одну пару соответственно равных элементов. Опираясь на интуицию, учащиеся могут догадаться, что по равенству одного элемента (стороны или угла треугольника) мы не можем судить о равенстве этих треугольников. Это подтверждается рисунками (Рис. 1а, Рис. 1б).

Далее подводится итог: одной пары равных соответствующих элементов в треугольнике недостаточно для их равенства.

Затем учащимся предлагаются к рассмотрению треугольники, имеющие по две пары равных соответствующих элементов.

Учитель ставит вопрос: - Равны ли треугольники АВК и АМР (на Рис.2а)?

- Какие пары их соответствующих элементов равны? Делается вывод: треугольники АВК и АМР не равны, хотя они имеют по две пары соответствующих равных углов.

Аналогично, учащиеся рассматривают треугольники АВК и АМР (на Рис. 2б), и приходят к выводу: треугольники АВК и АМР не равны, хотя имеют две пары соответствующих равных сторон.

Также предлагаются к рассмотрению треугольники АВК и АМР (на Рис. 2в),и аналогично делается вывод, что треугольники не равны.

Таким образом, две пары соответствующих равных элементов двух треугольников не обеспечивают равенства треугольников.

Следующими предлагаются к рассмотрению такие пары треугольников в которых 3 пары соответствующих элементов раны.

При помощи аналогичных рассуждений, нетрудно прийти к выводу, что для установления равенства треугольников необходимо три пары соответственно равных элементов.

Далее идут теоремы о равенствах треугольников с доказательствами для полного закрепления материала.

Литература

Геометрия, 7-9 учебник для общеобразовательных учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 20-е изд. – М.: Просвещение, 2010. - 384с.

А.В. Погорелов «Геометрия:7-9»/ Л.Ю. Березина, Н.Б. Мельникова, Т.М. Мищенко, И.Л. Никольская, Л.Ю. Чернышева. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство «экзамен», 2008. – 431с.

Код для цитирования: Скопировать