X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Теоретическое описание и решение проблем теплообмена в движущихся и неподвижных средах является одним из важнейших направлений современной науки и техники. Для решения этих проблем необходимо объединение комплекса знаний теории переноса теплоты и массы вещества в различных средах.

Нестационарный перенос теплоты и массы описывается уравнениями. Для их решения используем такой точный аналитический метод как метод конечных элементов. При их практическом использовании возникают известные трудности: полученные решения, как правило, выражаются сложными функциональными зависимостями, в ряде случаев содержащими специальные функции. Особые трудности представляют нелинейные задачи, задачи с переменными по координатам физическими свойствами среды (включая многослойные конструкции), а также переменными во времени граничными условиями и источниками теплоты. Для решения большей части указанных задач точные аналитические методы практически неприменимы.

В данной работе мы рассмотрим задачу о распределении температуры по толщине двуслойной плоской пластины при граничных условиях 1 рода, т. е. задачу теплопроводности. Данную задачу можно рассмотреть методом конечных элементов.

Ключевой задачей МКЭ является определение искомой функции (величины) в узловых точках. Искомые узловые значения должны быть «отрегулированы» таким образом, чтобы обеспечивалось «наилучшее» приближение к истинному распределению температуры. Это «регулирование» осуществляется путём минимизации некоторой величины, связанной с физической сущностью задачи. Если рассматривается задача распространения тепла, то минимизируется функционал, связанный с уравнением теплопроводности. Процесс минимизации в конечном итоге сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений.

Для использования метода конечных элементов (МКЭ) необходимо располагать возможностью оценки возникающей погрешности решения. Этот вопрос решается тестированием МКЭ на задачах, для которых известно точное решение. Чтобы эффективно использовать систему ELCUT, необходима тщательная предварительная подготовка к выполнению конкретной работы.

Постановка задачи. Пусть дано одномерное температурное поле, в котором находится плоская стальная двуслойная неограниченная стенка толщиной 10 мм. Температура на внутренней поверхности стенки равна – 0º С, а на внешней ­задается периодической функцией 273+4*sin(5*t). Известно, что внешний слой пластины состоит из меди (7мм), а внутренний из алюминия (3мм), на границе соединения двух материалов температура выражается константой.

Определим исходные данные поставленной задачи.

Дано:

Геометрический размер стенки (толщина): L=10 мм;

Толщина внешнего слоя L₁=7мм, толщина внутреннего слоя L₂=3мм;

Свойства материала: медь и алюминий. Коэффициент теплопроводности меди: λ_м=40,1 (Вт/м*К), коэффициент теплопроводности алюминия: λ_а=125 (Вт/м*К);

Граничные условия 1-го рода: температура на внутренней стенке (x = 0) постоянна и равна T1 = 0º С, а на внешней (x = L) постоянна и равна T2 =

Температура на границе: T_гр=const.

Требуется найти с помощью системы ELCUT распределение одномерного температурного поля, когда температура зависит от координаты и времени при постоянном коэффициенте теплопроводности меди и алюминия. Для плоской многослойной стенки для случая ГУ 1-го рода, построить графики распределения температуры в стенке, градиента температуры и теплового потока в момент времени t₁ = 0.91сек и t₂ = 28.2сек.

Решение задачи:

Запустив программу ELCUT Student, создадим геометрическую модель. Высоту стенки выбираем произвольно, в нашем случае – 25 мм. Зададим физические свойства уже готовой геометрической модели. Далее задаем наши условия задачи, а именно – устанавливаем маркер в поле «Температура: T=T₀» и устанавливаем температуру, заданную в условии синусоидой.

Зададим свойства самой стенки. Вызовем диалоговое окно «Свойства метки блока» и в поле «Теплопроводность» зададим коэффициент теплопроводности меди, для медного слоя, аналогичные действия проведем и для второго слоя.

Так как мы решаем задачу теплообмена методом конечных элементов, следовательно, нам требуется построить сетку конечных элементов. Для этого на главной панели поля «Геометрическая модель», нажимаем на кнопку «Построение сетки».

Анализ результатов решения задачи.

В новом окне у нас появляются результаты расчета, а именно как изменяется температура, заданная на внутренней и внешней границе стенки. Справа мы видим шкалу изменения температуры, по которой можем отследить, как именно она изменяется, но на данный момент распределение температурного поля показано в конечный момент времени t = 35сек.

Нажмем «Анимация» для просмотра распределения температуры в стенке и скорости, степени прогревания стенки.

Итак, с помощью функций пакета ELCUT мы с легкостью можем провести анализ наших наблюдений и сделать определенные выводы. Зная, что температура на внешней стенке задается периодическим уравнением зависящим от времени, при условии что начальная температура будет равна 273 К, наблюдая решение нашей задачи мы видим, как она изменяется. А именно сначала идет прогрев стенки, а далее она начинает остывать, следовательно, уравнение температуры, которое представлено синусоидой в реалии выглядит именно так. Прогревание и остывание стенки очень резко меняется на границе раздела двух материалов. Это зависит от коэффициента теплопроводности, от толщины стенки и конечно же от функции распределения температуры, но в основном всё же: от коэффициента теплопроводности материала, у алюминия он значительно выше, следовательно и прогрев и остывание будет происходить быстрее.

Список литературы:

В.И. Коновалов, А.Н. Пахомов, Н.Ц. Гатапова, А.Н. Колиух, «МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА», Учеб. пособие. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2005. 80 с.

Владимиров В. С. «Уравнения математической физики», М., «Наука», 1988.

Дубицкий С.Д., «ELCUT – конечноэлементный анализ низкочастотного электромагнитного поля».

Код для цитирования: Скопировать