X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Одним из наиболее распространенных методов, используемых при обработке экспериментальных данных, является метод наименьших квадратов (МНК). МНК в большинстве случаев применяется, если исследуемая функция является линейной или ее можно свести к линейной с помощью элементарных преобразований.

Широкое применение линейной аппроксимации обусловлено возможностью разложения любой гладкой функции в ряд Тейлора. При этом такое разложение имеет хорошую точность в некотором интервале значений аргумента. Основная идея МНК заключается в минимизации сумы квадратов отклонений значений, которые рассчитаны при определённых параметрах а для заданной функциональной зависимостиf(x,a),от соответствующих наблюдаемых значений:

Поэтому все параметры a_jфункции f(x,a) определяются из условия минимума функции нескольких аргументов, т.е. из системы уравнений:

Частный случай полиномиальной аппроксимации имеет вид:

В результате преобразований получаем систему уравнений МНК:

которая в развернутом виде выглядит следующим образом:

Таким образом, задача аппроксимации, например, экспериментальной зависимости полиномом m-ой степени сводится к решению системы неоднородных линейных алгебраических уравнений с m+1 неизвестными коэффициентами полинома.

Даны результаты экспериментальных замеров зависимости между двумя величинами:

Таблица 1 Зависимость вязкости нефти от температуры (р=0,3 мПа)
Вязкость, мПас	80	55	40	35	20	25	20	16	13	10
Температура,°С	20	30	40	50	60	70	80	100	120	140

Требуется:

Аппроксимировать данную зависимость функциями

Оценить погрешность каждого вида аппроксимации.

Построить графики экспериментальной и теоретических функций.

Провести анализ полученных результатов.

В случае нелинейной зависимости параметров функции аппроксимации выполнить линеаризацию исходной функции относительно ее параметров.Оценку погрешности каждого вида аппроксимации выполнить стандартным методом вычисления средней относительной погрешности отклонения экспериментальных и теоретических (соответствующих значений аппроксимирующей функции).

Для функции:

(1)

Для функции (1) система будет иметь следующий вид:

Задача свелась к нахождению коэффициентов , значение которых получим решив систему Решение данной системы реализовано в пакете Maple 17, получены следующие значения для коэффициентов а, b, c:

Таким образом функция (1) имеет вид:

Далее получим таблицу теоретических значений вязкости при данных коэффициентах:

Таблица 2 Зависимость вязкости нефти от температуры. Теоретические значения вязкости, полученные при аппроксимации функции (1) (р=0,3 мПа)

Вязкость, мПа×с	80	55	40	35	30	25	20	16	13	10
Теор. вязкость, мПа×с	70,66	57,95	46,71	36,94	28,64	21,80	16,44	10,11	9,66	15,09
Температура,°С	20	30	40	50	60	70	80	100	120	140

Выполним оценку погрешности аппроксимации:

Подставляя полученные значения получаем:

Таблица 3. Погрешность расчета для функции (1)

	0,13	0,05	0,14	0,05	0,05	0,15	0,22	0,58	0,35	0,34
Общая погрешность	20%

Рис. 1. Графическая интерпретация аппроксимации функции (1) по табличным данным

Для функции:

(2)

Проведем линеаризацию функции путем логарифмирования:

Проведем замену логарифмических функции и составим новую таблицу значений, соответствующих данным заменам:

где

Для данной задачи роль Y выполняет вязкость нефти. Новая таблица значений имеет вид:

Таблица 4. Новые значения коэффициента вязкости для уравнения (2.2)

Вязкость, мПас	80	55	40	35	20	25	20	16	13	10
Прологарифмир.коэффициент вязк.	4,38	4	3,69	3,56	3,21	3,22	3,21	2,77	2,56	2,03

Проведя все необходимые замены, получаем систему, как следствие из метода наименьших квадратов:

Задача свелась к нахождению коэффициентов , значение которых получим решив систему, причем необходимо перейти от логарифмической формы коэффициента А к начальной.

Решая данную систему в пакете Maple 17 получены следующие значения для коэффициентов A, b, c:

Учитывая, что , получим a:

Таким образом функция (2) имеет вид:

Далее получим таблицу так называемых теоретических значений вязкости при данных коэффициентах:

Таблица 5 Зависимость вязкости нефти от температуры. Теоретические значения вязкости, полученные при аппроксимации функции (2) (р=0,3 мПа)

Вязкость, мПа×с	80	55	40	35	30	25	20	16	13	10
Теор. вязкость, мПа×с	75,77	54,13	41,97	34,04	28,40	24,17	20,87	16,03	12,68	10,22
Температура, °С	20	30	40	50	60	70	80	100	120	140

Выполним оценку погрешности аппроксимации:

Подставляя полученные значения получаем:

Таблица 6 Погрешность расчета для функции (2)

	0,06	0,02	0,05	0,03	0,06	0,03	0,04	0,00	0,03	0,02
Погрешность	3%

Рис. 2. Графическая интерпретация аппроксимации функции (2) по табличным данным

Для функции

(3)

Проведем линеаризацию функции и составим новую таблицу значений, соответствующую данной замене:

где.

Таблица 7. Новые значения аргумента уравнения

Температура	20	30	40	50	60	70	80	100	120	140
Заменяющие значения	4,47	5,48	6,32	7,07	7,75	8,37	8,94	10	10,95	11,83

Выполнив все необходимые замены, получаем систему, как следствие из метода наименьших квадратов:

Задача свелась к нахождению коэффициентов , значение которых получим решив систему

Решая данную систему в пакете Maple 17 получены следующие значения для коэффициентов a, b, c:

Таким образом функция (3) имеет вид:

Далее получим таблицу теоретических значений вязкости при данных коэффициентах:

Таблица 8. Зависимость вязкости нефти от температуры. Теоретические значения вязкости, полученные при аппроксимации функции (3) (р=0,3 мПа)

Вязкость, мПа×с	80	55	40	35	30	25	20	16	13	10
Теор. вязкость, мПа×с	75,62	56,54	42,97	32,92	25,37	19,71	15,54	10,70	9,39	10,76
Температура, °С	20	30	40	50	60	70	80	100	120	140

Выполним оценку погрешности аппроксимации:

Подставляя полученные значения получаем:

Таблица 9 Погрешность расчета для функции (3)

	0,06	0,03	0,07	0,06	0,18	0,27	0,29	0,50	0,38	0,07
Погрешность	19,06%

Рис. 3. Графическая интерпретация аппроксимации функции (3) по табличным данным

Вывод: выполнив аппроксимацию функций для данной табличной зависимости (экспериментальные данные) по МНК, видим что функция

с погрешностью наиболее приближенно отражает данную зависимость.

Рис. 4. Интерпретация аппроксимации функций (1), (2) и (3) и экспериментальные точки

Листинги программ для МНК в среде Maple17:

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

Код для цитирования: Скопировать