X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Цель работы – установить, какой метод интерполяции является более точным.

Для достижения цели, необходимо решить следующие задачи:

изучить методы интерполяции;

на основе некоторого эксперимента составить математическую модель;

составить интерполяционные кривые разных видов;

оценить погрешность при разных видах интерполирования табличных функций.

Во многих практических задачах аналитическая формула линии не известна, но требуется, например, чтобы соответствующая кривая проходила через заданные точки и имела определенную степень гладкости. Довольно большой класс линий можно построить по заданной совокупности точек.

Для построения математической модели объекта исследования необходимо научиться определять значения функции, заданной таблично, при значениях аргумента, не входящих в таблицу. Оптимальный способ сделать это – найти аналитическое задание (формулу) для зависимости y=f(x). В этом случае можно вычислить значение функции для любого значения аргумента из области ее определения.

Процесс интерполирования – составление функции , которая приближает табличную функцию так, чтобы в точках x_i она принимала те же значения y_i, что и исходная.

Задача интерполяции – выявить аналитическую зависимость yот xв виде формулы y=f(x). При этом точки x₀ , x₁,x₂, …, xn называют узлами интерполяции, а условие y_i = f(x_i) называют условием интерполяции(рис.1).

рис.1. Простейшая точечно-заданная линия

Интерполяция применяется в ходе медицинских исследований, когда исследователь замеряет концентрацию вещества в крови исследуемого через определенные промежутки времени и ему известно, что концентрация находится в некоторой зависимости от времени.

В демографии проводится перепись населения через каждые 10 лет, с помощью интерполяции можно определить численность населения в промежуточных точках.

В геологии проводится опробование месторождения и определяется концентрация полезных ископаемых в определенных точках, с помощью интерполяции можно оценить концентрацию в промежуточных точках. Список реальных примеров легко продолжить.

Глобальная интерполяция

Рассмотрим один из видов интерполяции – глобальную интерполяцию, где интерполирующей функцией является многочлен n-ой степени (узлов n-1) и на всем промежутке [a;b] отыскивается единственный полином.

Рассмотрим глобальную интерполяцию в виде алгебраического многочлена = a₀+a₁x+…+anxn. Чтобы найти значение коэффициентов a_i, необходимо решить систему линейных уравнений:

.

Интерполяционный полином в форме Лагранжа.

Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа имеет вид:

,

где, – базисный полином.

Интерполяционный полином в форме Ньютона.

Чтобы найти коэффициенты необходимо решить систему уравнений :

Сплайн интерполяция

Сплайн - функция, которая вместе с несколькими производными непрерывна на всем заданном отрезке [a,b], а на каждом частичном отрезке в отдельности является некоторым алгебраическим многочленом.

Теория интерполяции сплайнами и сам термин сплайн ведут свой отсчёт со статьи Исаака Шонберга 1946 года. В реальном мире большое количество физических процессов по самой своей природе являются сплайнами.

На практике широко применяются кубические сплайны:

– формула кубического сплайна на отрезке []

Где i=1,2,3,4…n-1 – наклон сплайна, а – шаг интерполяции.

Рассмотрим практический пример.

У некоторого пациента, начиная с 7 часов утра, через каждые определенные промежутки времени измеряли концентрацию гемоглобина в крови. В результате были получены следующие значения, представленные в таблице (где x – время, ч., y – содержание гемоглобина в крови, г/л). Допустим, чторезультаты анализа крови, полученные в 14 часов, были утеряны. Необходимо определить концентрацию гемоглобина в крови в 14 часов.

x	7	9	11	14	16
y	145	160	150	?	170

(Значение гемоглобина в крови пациента в 14 часов – 139,6 г/л., оно нам необходимо для выявления наиболее точного вида интерполяции).

Метод глобальной интерполяции

Решив систему уравнений матричным способом, найдем коэффициенты a:a₀ = –444;a₁ = 174,129;a₂ = –16,357;a₃ = 0,49. Тогда интерполяционный многочлен имеет вид: = .Вычислим значение функции = 139,394, являющееся утерянным.

В программеMathcad построим график полученного интерполяционного многочленаметодом глобальной интерполяции (рис.2).

рис.2. кривая, полученная глобальной интерполяцией

Точками отмечены значения гемоглобина в моменты времени, указанные в условии задачи.

Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа

Запишем многочлен Лагранжа для 4 точек:

Подставим заданные таблично значения x и y, и преобразуем данный многочлен.

Найдем значение выражения при x=14, L(14) = 139,576.

Проиллюстрируем график интерполяционного многочлена в форме Лагранжа (рис.3.).

рис.3. график интерполяционного многочлена в форме Лагранжа

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона

Вычислим коэффициенты := 145; = 7,5; = ; = 0,49. Подставим значения коэффициентови найдем интерполяционный многочлен:

Найдем значение выражения при x=14, P(14) = 139,575.

Построим график интерполяционного многочлена в форме Ньютона (рис.4.).

рис.4. график интерполяционного многочлена в форме Ньютона

Интерполяция сплайнами

Найдем значение при x=14.

Построим график сплайн интерполяции (рис.5.)

рис.5. сплайн интерполяция

Погрешность при разных видах интерполяции

погрешность глобальной интерполяции:

погрешность интерполяции в форме Лагранжа:

погрешность интерполяции в форме Ньютона:

погрешность интерполяции сплайнами:

.

Степень интерполяционного многочлена жестко связана с количеством узлов табличной функции. По мере увеличения количества узлов (в силу, например, увеличения количества проведенных экспериментов) увеличивается степень интерполяционного многочлена и количество вычислений, связанных с его нахождением. Однако, при увеличении числа узлов, погрешность интерполирования к нулю не стремится. Складывается парадоксальная ситуация. Чем больше информации мы пытаемся учесть, тем хуже может стать приближение. Для того, чтобы избежать больших погрешностей, весь отрезок [a,b] разбивают на частичные отрезки и на каждом из них приближенно заменяют функцию f(x) многочленом невысокой степени (так называемая, кусочно-полиномиальная интерполяция).

Вывод:

Наиболее точный результат при решении конкретной задачи достигается присплайн-интерполяция, которая имеет ряд преимуществ по сравнению с полиномиальной интерполяцией, т.к. сплайны устойчивы к погрешностям, содержащимся в исходных данных.

Литература:

Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб.пособие. — М.: Высш. шк., 1994. — 544 с.

В.П.Боровиков. STATISTICA. Искусство анализа данных на компьютере: для профессионалов (2-е издание), СПб.: Питер, 2003. – 688 с.: ил.

E.A.Волков. Численные методы. Москва, “Наука”, Главная редакция физико-математической литературы, 1987 г.

Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре: Учебное пособие для вузов.— M.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.— 416 с.

Код для цитирования: Скопировать