X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

В настоящей статье рассматривается численный эксперимент по определению факта существования слабого сигнала на фоне сильных шумов. Данная задача является весьма актуальной, что подтверждается большим числом соответствующих публикаций, см. [1 – 3] и список цитированной в этих работах литературы. Вместе с тем, предлагаемая далее методика позволяет делать вывод о высокой вероятности существования слабого случайного полезного сигнала при крайне малых (много меньших одной десятой) соотношениях сигнал/шум.

Рассматривается задача поиска слабого сигнала на фоне сильных помех. Принимаемый сигнал:

, (1)

где и вещественные случайные функции от времени . Функция — фоновый шум. Тогда как «слабый сигнал» — много меньшие с флуктуации, независимые от . Непосредственно измерены могут быть только значения, совпадающие с фоновым шумом отсутствии процесса .

Предлагаемся следующий алгоритм определения факта существования полезного сигнала

Проводится цикл измерений случайного процесса интервале времени, который будем называть отрезком реализации.

Строится дискретная плотность вероятности для где границы являются минимумом и максимумом значений случайной величины (СВ) на этом отрезке, делится на четное число интервалов с одинаковой длиной . Величина должна быть определена по результатам измерений.

СВ сопоставляется случайная величина , равная номеру интервала с границами

(2)

в который попадает полученное при измерениях значение .

Определяем дискретную плотность вероятности СВ . С этой целью вычисляем совокупность вероятностей (здесь процесса , попавших внутрь интервала номер (m) в (2), а общее число измерений, одно и то же для каждого измерительного цикла).

Вычисляем характеристическую функцию

.

Проводим собственно численный эксперимент по сравнению значений в ситуации, когда имеет место только шум, и когда на фоне сильного шума присутствует очень слабый случайный полезный сигнал. На рисунках показаны графики интегральных функций распределения значений модуля характеристической функции для случайного шума (пунктирная кривая) и при условии, что на фоне шума с такими же статистическими свойствами имеет место независимый с ним слабый случайный полезный сигнал.

На рис. 1 – 6 изображены интегральные функции распределения полученные по итогам численного эксперимента. Пунктирные кривые отвечают функции , то есть интегральной функции распределения модуля характеристической функции, соответствующей одному фоновому шуму и вычисленной при значении аргумента . Случайный процесс задан в виде . Здесь , а случайная величина распределена нормально со средним и среднеквадратичным отклонением

.

Функция задается в виде , соответствует совокупности значений СВ .

Сплошные кривые отвечают функции , то есть интегральной функции распределения модуля характеристической функции, соответствующей смеси «шум + сигнал»:

.

СВ также распределена нормально, со средним и средним квадратичным отклонением .

Функция далее по аналогии с строится для значений суммы случайных величин .

Обе функции и вычисляются в совокупности дискретных точек . На всех рисунках по оси абсцисс откладываются значения .

Число исследуемых реализаций случайных процессов и составляет 50. Каждой из них сопоставляется своя генеральная совокупность из 500 значений независимых СВ и и отвечает свое значение .

Рис. 1. A= 10^-1

Рис. 2. A=10^-3;

Рис. 3. A=1/3000;

Рис. 4. A=10^-4 ;

Рис. 5. A=10^-5.

Рис. 6. A=10^-6.

Из анализа рис. 1 – 6 следует, что при значениях амплитуды отношения «сигнал/шум» различия между и оказываются статистически значимыми, что позволяет при необходимости делать вывод о существовании полезного сигнала. Например, при A=10^-3, см. рис. 4.3, в области , что отвечает условию , выполняется неравенство 2. Следовательно, при появлении полезного сигнала вероятность попадания в интервал увеличивается вдвое по сравнению со случаем, когда имеет место только фоновый шум. Полученные результаты могут быть применены для широкого спектра задач, в частности, при рассмотрении вопросов надежности систем, усталости металлов, в области медицины, применительно к проблемам тектоники [4] и т.д.

Литература:

С. И. Баскаков. Радиотехнические цепи и сигналы. — Высшая школа, 2000.

Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. – М.: Наука, 1996. – 320 с.

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. – М.: Высшая школа, 2001. – 382 с.

Коган Л.П. Об изменении статистических функционалов от критической частоты слоя F2 ионосферы перед сильными землетрясениями. Геомагнетизм и аэрономия. М. Наука, 2015. Т. 55, № 4, с. 525–539.

Код для цитирования: Скопировать