Keywords: weighted spaces, the Cauchy kernel, space the Blaschke product.
Рассмотрим пространство целых функций , удовлетворяющих условию
где , а , т. е. функция строго убывает на всей полуоси и такова, что и
при
Через будем обозначать соответствующие лебеговы пространства.
Будем рассматривать пространство целых функций при .
Лемма 1.1. При любом сумма совпадает со множеством всех целых функций.
Заметим, что при вышеприведенных условиях при и любом , для начала приведём следующую теорему о представлениях.
Теорема 1.1. Пусть . Тогда в любой точке
где — ядро Коши из [2].
Замечание 1.1. При множество функций
является ортогональным базисом пространства .
Теорема 1.2. Если , то для ортогональной проекции наверна формула
Теорема 1.3. Пусть функция непрерывно дифференцируема в
и такова, что , производная и ограничена , а также
Тогда функция
принадлежит , и совпадает со множеством всех функций, представимых в виде
Для любого существует единственная функция такая, что (1.1) верно . Эта функция задаётся формулой
.
Кроме того, , и для любого , с которым верно (1.1). Оператор является изометрией , интеграл (1.1) задается на .
Замечание 1.2. Пространство , рассматриваемые в теореме 1.3, исчерпывают все целые функции.
Рассмотрим случай простых узлов интерполяции, т. е. будем полагать, что — последовательность попарно различных чисел в , подчинённая условием Бляшке
Далее будем полагать, что , если последовательность равномерно отделена, т. е.
.
Введем также произведение Бляшке с нуля в :
.
Предложение 1.1. Если , то для любого
,
где — постоянная.
Ниже приведён ряд предложений, в основном следуя порядку [1]. Обозначим
.
Далее, отметим следующие формулы для систем целых функций и :
и
где — коэффициенты разложения .
Предложение 1.2. Если последовательность не подчинена условию Бляшке, т. е. ряд (1.2) расходится, то обе системы (1.3) полны в .
Теперь через обозначим множество всех функций , для которых граничные значения почти всюду на совпадают с граничными значениям . В для некоторых .
Предложение 1.3.Функции систем (1.3) принадлежат , и системы (1.3) биортогональны , т. е.
Предложение 1.4. Пусть . Тогда в том и только том случае, когда
.
Предложение 1.5. Любая функция представима в виде
где и
.
Список литературы
АйрапетянГ. М.- Изв. АН АрмССР. Математика. 1975. Т. 10. № 2. С. 133 - 152.
Джрбашян М. М.- Изв. АН АрмССР. Математика. 1970. Т. 5. № 6. С. 453 - 485.
ДжрбашянА. М., АветисянК. Л.- ДНАН Армении. 2002. Т. 102. № 2. С. 105 - 112
ДжрбашянМ. М.- Сообщ. Ин-та матем. и мех. АН АрмССР. 1948. Т. 2. С. 3 - 40.
ЛеонтьевА. Ф. Обобщения рядов экспонент. М. Наука. 1981