X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Введение. Нахождение решения дифференциального уравнения первого порядка , удовлетворяющее начальному условию , называется задачей Коши. Французский математик Коши сформулировал и доказал теорему о существовании и единственности решения такой задачи. Геометрический смысл уравнения состоит в том, что при подстановке в него начальных условий устанавливается значение угла наклона α касательной к интегральной кривой в точке (x₀; y₀). Известно из курса математического анализа, что , следовательно, начальное условие определяет направление касательной к графику функции , которая является решением дифференциального уравнения [4, 5].

Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка возникает тогда, когда необходимо найти уравнение интегральной кривой при известном направлении в заданной точке. Решение задачи Коши сводится к решению системы уравнений

Первоначально находится общее решение дифференциального уравнения из системы (1). Подстановка начального условия приводит к решению линейного уравнения с неизвестной С. Вычисление постоянной интегрирования С определяет частное решение дифференциального уравнения из системы (1). Система компьютерной математики Mathcad имеет в своей библиотеке функцию Odesolve и предоставляет пользователям возможность находить решение задачи Коши в автоматическом режиме [3]. Использование функции Odesolve требует построение вычислительного блока, который включает выполнение трех действий: 1) введение ключевого слова Given; 2) запись дифференциального уравнения и начального условия; 3) обращение к функции Odesolve. Аргументами функции Odesolve выступают независимая переменная дифференциального уравнения и верхняя граница отрезка интегрирования. Нижняя граница отрезка интегрирования фиксируется при записи начального условия. Представленный вычислительный блок наиболее успешно решает линейные дифференциальные уравнения.

Результаты исследования и их обсуждение. Проиллюстрируем применение функции Odesolve на примере решения задачи о нахождении кривой, у которой площадь трапеции, образованная осями координат, ординатой точки М(4; 1) и касательной в этой точке, равна половине квадрата её абсциссы [1].

Построим трапецию OKMN, которая образована осями координат, касательной KM и отрезком MN (рис. 1). Отрезок MN равен ординате точки касания М(x;y). Площадь трапеции S_OKNM по условию задачи равна 0,5x², где x абсцисса точки касания М(x;y).

Рис. 1. Трапеция OKMN

Площадь трапеции S_OKNM определяется как произведение половины суммы оснований на высоту [2]:

Высота трапеции ON равна абсциссе точки касания x, а основание трапеции MN равно ординате точки касания y. Основание трапеции KO меньше основания MN на величину ON^.tgα, где α – угол наклона касательной КМ. Учитывая условие задачи и формулу (2) можно составить следующее уравнение

(3)

После алгебраических образований уравнение (3) принимает вид

. (4)

Уравнение (4) является линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) вида

(5)

Построить в системе Mathcad интегральную кривую y(x), которая проходит через точку М(4; 1) и удовлетворяет уравнению (4), можно при использовании шаблона двумерного графика и вычислительного блока с обращением к функции Odesolve. Программа для выполнения всех необходимый математических операций в автоматическом режиме имеет вид (рис. 2).

Рис. 2. Вычислительный блок для решения ЛДУ

Программа задает значения координаты х интегральной кривой и определяет численными методами значение координаты Y на множестве . Множество х ограничено слева начальными условиями задачи Коши. Ограничение справа устанавливается произвольно. Применение численного метода позволяет получить приближенное решение ЛДУ. Абсолютную и относительную погрешность результата можно оценить, если известен метод вычислений или точное решение ЛДУ. Система Mathcad не сообщает пользователю метод нахождения численного решения ЛДУ. Точное решение ЛДУ можно установить, используя методы аналитического решения.

Нахождение общего решения ЛДУ (4) методом Бернулли или методом Лагранжа [] приводит к получению уравнение вида

(6)

Подстановка в уравнение (6) начальных условий х = 4 и y = 1 позволяет найти значение постоянной С и составить функциональную зависимость интегральной кривой, которая проходит через точку М(4; 1) и имеет вид

. (7)

Абсолютная погрешность Δ(х) [6] приближенного решения определяется уравнением

где y(x) – аналитическое решение ЛДУ, Y(x) – численное решение ЛДУ.

Относительная погрешность δ(х) [6] приближенного решения задается уравнением

Визуализировать в системе Mathcad результаты вычислений Δ(х) и δ(х) можно с помощью шаблона двумерного графика (рис. 3–4).

Рис. 3. График функции Δ(х).

Рис. 4. График функции δ(х).

Абсолютная погрешность вычислений имеет порядок 10^-11, а относительная погрешность не превышает величину 10^-6. Это отражает не существенное различие между численным и аналитическим решением рассматриваемой задачи Коши. Проверить адекватность составленной математической модели (4) можно через нахождение площади трапеции, которая образована осями координат, ординатой точки касания y = 1 и касательной к интегральной кривой в точке касания (4; 1). Уравнение касательной имеет вид

где x₀ – абсцисса точки касания, y₀ – ордината точки касания.

Уравнение касательной к интегральной кривой Y(x) в точке М(4; 1) имеет вид . Взаимное расположение Y(x) и y_k(x) представлено на рис. 5.

Рис. 5. Интегральная кривая и касательная.

Вершины трапеции, которая образована касательной к интегральной кривой в точке М(4; 1), имеют координаты (0; 0), (0; 3), (4;1) и (4;0). Большее основание трапеции равно 3, меньшее равно 1, высота трапеции равна 4.Площадь такой трапеции равна (3 + 1)^.0,5^.4 = 8. Квадрат абсциссы точки М(4; 1) равен 16, а половина квадрата абсциссы равна 8. Полученный результат отражает адекватность составленной математической модели (4).

Заключение. Система Mathcad позволяет не только найти общее или частное решение дифференциальных уравнений, но и найти численное решение задачи Коши с помощью функции Odesolve. Графики, построенные в системе Mathcad, позволяет оценить погрешность численного и точного решения ЛДУ.

Библиографический список

1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. Решение типовых и трудных задач: учеб. пособие. – СПб.: Изд-во «Лань», 2005. 608 с.

2. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: Астрель, 2006. 991 с.

3. Кирьянов Д.В. Mathcad 15/ Mathcad Prime 1.0. СПбю: БХП-Петербург, 2012. 432 с.

4. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. 9-е изд. М.: Айрис-пресс, 2009. 608 с.

5. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 576 с.

6. Шарый С.П. Курс вычислительных методов. [Текст] / С.П. Шарый. – Новосибирск:НГУ, 2016. – 545 с.

Код для цитирования: Скопировать