X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Электростатическое поле характеризуется в каждой точке пространства значением вектора напряженности E и значением электростатического потенциала. Направление вектора напряженности в каждой точке поля и распределение потенциала в поле можно сделать наглядным, если провести линии напряженности и поверхности равного потенциала. В данной работе мы рассмотрим задачу о распределении потенциала электростатического поля системы электродов в области.

Постановка задачи: Найти распределение потенциала электростатического плоскопараллельного поля системы электродов в области с заданными граничными условиями. Решение данной задачи рассмотрим в пакете прикладных программ MatLab.

Исходные данные:

– ширина прямоугольника - 2.2

– высота прямоугольника - 1.5

– диэлектрическая проницаемость - 1

– граничные условия правой и левой границ - 7

– граничные условия верхней и нижней границ - 3

– потенциал квадратного и треугольного электродов - 11

– потенциал круглого электрода-(-5)

Решение задачи: Запустим встроенный инструмент PDE-TOOLBOX. Опишем геометрию исследуемой области. Сперва зададим границы рабочего поля. Для этого перейдем в меню Options, далее Axes Limits. Затем опишем геометрию исследуемой области. Для этого выберем в меню Draw, Rectangle/square(centered) и левой кнопкой мыши построим прямоугольник произвольного размера. Двойным щелчком мыши по полученной фигуре откроем диалоговое окно с параметрами фигуры. Введем нужные нам значения. Затем нарисуем квадрат и круг произвольного размера. Треугольник рисуется с помощью инструмента Polygon. Зажатием левой кнопки мыши определяется местоположение первой вершины. Каждый раз, отпуская левую кнопку мыши, мы создаем новую вершину многоугольника.

Определим взаимосвязь между примитивами. В нашем случае она выражается в удалении квадрата, круга и треугольника из области. Для этого в строке Set Formula мы меняем плюсы на минусы, т. е. формула принимаем вид: R1-SQ1-C1-P1.

Зададим коэффициенты уравнения и граничные условия. Меню Optionsсодержит подменю Application, которое позволяет задать тип решаемой задачи. Пункт Electrostatics соответствует задаче о распределении потенциала и напряженности электрического поля. Выберем данный пункт, слева от названия появится флаг. Перейдем к пункту PDE Specification меню PDE. Установим электрическую проницаемость = 1, поскольку в рассматриваемой задаче система электродов находится в воздушном промежутке.

Перейдем к заданию граничных условий. Выберем пункт Boundary Mode меню Boundary. Прямоугольник имеет 4 границы (по числу сторон), окружность имеет так же 4 границы, треугольник имеет 3 границы.

Сделаем текущими верхнюю и нижнюю границы прямоугольника и выберем в меню Boundary пункт Specify Boundary Conditions, появится диалоговое окно, предназначенное для выбора типа граничного условия.

Потенциал левой и правой границы прямоугольника = 7. Потенциал первого и третьего электродов = 11, второго = -5. Это граничное условие Дирихле.

Решим задачу и визуализируем результат. Первым шагом является триангуляция – покрытие области сеткой, состоящей из треугольников. Триангуляция и установка параметров производится в меню Mesh. Решение задачи на расчетной сетке производится выбором пункта Solve PDE меню Solve. Графический результат представлен ниже.

Изобразим результат в виде 3D модели.

Список литературы:

А. Н. Тихонов, А. А. Самарский «Уравнения математической физики», М., «Наука», 1972.

Владимиров В. С. «Уравнения математической физики», М., «Наука», 1988.

Сегерлинд «Применение метода конечных элементов» - Москва, издательство «Мир», 1979.

Код для цитирования: Скопировать