X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

В холодную, дождливую, ветреную погоду мы всегда стремимся вернуться в теплый дом, где можно, сняв пальто, почувствовать себя в тепле и уюте. Наружные стены, окна, крыша (т.е. ограждающие конструкции) защищают наш дом от низких температур, сильного ветра, осадков в виде дождя и снега и других атмосферных воздействий. При этом они препятствуют прониканию тепла из внутреннего помещения наружу вследствие своего сопротивления теплопередаче. В зависимости от толщины материала конструкция может иметь различное сопротивление теплопередаче: чем больше толщина материала, тем лучшими теплозащитными свойствами обладает ограждение.

Тепло может передаваться разными способами: теплопроводностью, конвекцией, излучением.

В данной работе мы рассмотрим задачу о распределении температуры по толщине плоской пластины при граничных условиях 3 рода, т. е. задачу теплопроводности. Данную задачу можно рассмотреть методом конечных элементов.

Суть метода заключается в том, что область (одно-, двух- или трехмерная), занимаемая конструкцией, разбивается на некоторое число малых, но конечных по размерам подобластей.

Область, в которой нужно найти решение дифференциальных уравнений, разбивается на конечное число элементов (подобластей). В каждом из этих элементов выбирается вид аппроксимирующей функции (чаще всего это полином первой или большей степени). Коэффициенты аппроксимирующих функций обычно ищутся из условия равенства значения соседних функций на границах между элементами (в узлах), а вне своего элемента аппроксимирующая функция равна нулю. Затем эти коэффициенты выражаются через значения функций в узлах элементов. Составляется система алгебраических уравнений, количество которых будет равно числу неизвестных в узлах.

Для применения метода конечных элементов необходимо:

Дискретизировать область.

Выбрать базисные функции.

Перейти к дискретной постановке задачи.

Вычислить коэффициенты в системе линейных алгебраических уравнений.

Решить систему уравнений.

Проверить решение на адекватность.

В процессе дискретизации область решения разбивается на множество элементов. Это могут быть как треугольники, так и тетраэдры (для трехмерного случая). На узлах сетки будет определяться решение, а форма обрабатываемой области может быть любой. Здесь, также, проявляется одно из основных достоинств метода конечных элементов – можно увеличить частоту сетки там, где нужно более точное решение, или наоборот, уменьшить число элементов там, где столь высокая точность не нужна.

Постановка задачи: Определить распределение температуры по толщине плоской стальной неограниченной пластины при ГУ 3 рода. Пластина омывается слева жидкостью, а справа – газом. Построить графики распределения температуры по толщине пластины. Определить значение температуры левой Tc1 и правой Tc2 поверхности пластины. Решение данной задачи будем находить в пакете прикладных программ MatLab.

Исходные данные:

– толщина пластины L=20 мм;

– температура жидкости T1=100°С;

– температура газа T2=40°С;

– коэффициент теплоотдачи от жидкости к стенке пластины a1=240Вт/(м*К);

– коэффициент теплоотдачи от стенки пластины к газу a2=12Вт/(м*К);

– коэффициент теплопроводности материала пластины л=45Вт/(м*К)

Решение задачи:

Запустим встроенный инструмент PDE-TOOLBOX. Опишем геометрию исследуемой области. Для начала зададим границы рабочего поля. Для этого перейдем в меню Options, далее AxesLimits. Затем опишем геометрию исследуемой области. Для этого выберем в меню Draw, Rectangle/square(centered) и левой кнопкой мыши построим прямоугольник произвольного размера. Двойным щелчком мыши по полученной фигуре откроем диалоговое окно с параметрами фигуры. Введем нужные нам значения.

Следующим этапом является задание граничных условий. Перейдем в пункт Boundary, далее Boundary Mode. Т. к. стенка теплоизолирована, то на ее границах будет выполняться условие Неймана. Для правой границы коэффициент g=313, q=12; для левой границы g=373, q=240; для верхней и нижней границы g=0, q=0.

Зададим коэффициент теплопроводности материала пластины. Для этого перейдем в пункт PDE, далее PDEMode и дважды щелкнем по нашей фигуре. Откроется окно, в котором нам необходимо задать коэффициент, равный 45.

Построим вычислительную сетку. Переходим в меню Mesh, далее MeshMode.

После этого можно искать решение дифференциального уравнения. Переходим в меню Solve, далее SolvePDE, или нажимаем на кнопку .

Решение будет представлено в следующем виде:

Теперь можно настроить визуализацию решения. Перейдем в меню Plot, далее Parameters… или нажав на кнопку, на которой изображен логотип MATLAB. Поставим галочки напротив Contour (контур) и Arrows(температурный градиент).

Тогда облик решения изменится следующим образом:

Из рисунка можно сделать выводы о распределении тепла в стенке: правая граница будет принимать максимальное значение температуры = 10. ближе к левой стороне стенки температуры будет уменьшаться и на границе примет значение = 3.

Список литературы:

А. Н. Тихонов, А. А. Самарский «Уравнения математической физики», М., «Наука», 1972.

Владимиров В. С. «Уравнения математической физики», М., «Наука», 1988.

Код для цитирования: Скопировать