X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Теория интерполяции в классах голоморфных в круге функций интенсивно развивалась после основополагающей работы Л. Карлесона о свободной интерполяции в классе ограниченных аналитических в круге функций. В течение нескольких последних десятилетий удалось разрешить много задач такого рода как в более широких классах голоморфных функций, чем класс ограниченных аналитических функций, так и более узких классах: классах аналитических в круге функций гладких вплоть до его границ. Однако решение задач такого рода в классах функций с различными ограничениями на характеристику Р. Неванлинны мало изучены.

Приведем обзор некоторых результатов, полученных в приведенных классах. Итак, пусть – единичный круг на комплексной плоскости, – множество всех голоморфных в функций, ‒ множество всех мероморфных в функций, . Характеристикой Р. Неванлинны функции называется выражение

,

где , ‒ усредненная считающая функция последовательности полюсов функции , , ‒ полюса функции в , ‒ кратность полюса в начале координат.

В классических работах Р. Неванлинны и В.И. Смирнова были исследованы вопросы факторизации функций ограниченного вида. Напомним, что функция называется функцией ограниченного вида, если характеристика Р. Неванлинны этой функции ограничена на интервале . Данный класс называется классом Р. Неванлинны и обозначается символом .

В явном виде решение задачи кратной интерполяции строится при условии, что узлы интерполяции находятся в конечном числе углов Штольца и вместо известного условия Л. Карлесона

возникает совершенно другое.

Перейдем к постановке интерполяционной задачи в классах, Харди, . Пусть , и − произвольные последовательности комплексных чисел и , - кратность появления числа на отрезке . Требуется выявить критерии для и , обеспечивающие существование функции , Харди, , удовлетворяющей интерполяционным условиям

, k=1,2,….

Общая задача кратной интерполяции была поставлена и решена в классе Харди, , в работе М.М. Джрбашана [2].

Рассматриваемаязадача решается в классах функций ограниченного вида, то есть

где

Кроме введенного параметра , обозначим через кратность появления числа во всей последовательности .

Последовательность комплексных чисел из единичного круга , подчинённая условию Бляшке , принадлежит классу , если выполняются условия:

, ,

.

Основной результат содержится в теореме 1. (см.[4])

Теорема 1. Пусть последовательность комплексных чисел точки , k=1,2,…, находятся в конечном числе углов Штольца ; тогда для любой последовательности такой, что

можно построить в явном виде функцию ,, являющуюся решением интерполяционной задачи , k=1,2,…

Далее, требуется построить решение задачи кратной интерполяциив пространствах аналитических в функций , имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок и нормальный тип, то есть существуют константы такие, что

.

Справедлива следующая теорема. (см. [1])

Теорема 2. Пусть последовательность , , k=1,2,…, удовлетворяет условию ; точки , k=1,2,…, находятся в конечном числе углов Штольца ;

, ,

,

тогда для произвольной последовательности такой, что

,,

можно построить в явном виде функцию , , являющуюся решением интерполяционной задачи , k=1,2,…

Встатье был построен линейный оператор, решающий задачу кратной интерполяции в классах голоморфных в единичном круге функций, имеющих степенной рост вблизи единичной окружности, то есть в классах множества функций таких, что

, .

Последовательность комплексных чисел , удовлетворяющих условиям

,

,

относится к классу .

Теорема 3. Пусть последовательность комплексных чисел тогда для любой последовательности , такой что

ряд , , сходится абсолютно и равномерно внутри единичного круга и определяет функцию , удовлетворяющую интерполяционным условиям , k=1,2,…

‒ есть специальная система аналитических в функций, построенная в явном виде и ассоциированная с последовательностью .

Следуя М.М. Джрбашяну (см. [4]), введем бесконечное произведение с нулями в точках последовательности:

где

Если , произведение М.М. Джрбашяна примет вид:

.

Как установлено в [1], произведение сходится абсолютно и равномерно в тогда и только тогда, когда сходится ряд

Для формулировки результата статьи [5] введем дополнительные обозначения и определения.

Обозначим произведение без - го фактора. Углом Штольца с вершиной в точке назовём угол раствора меньше , , биссектриса которого совпадает с отрезком .

Последовательность комплексных чисел , удовлетворяющих условиям

,

,

отнесем к классу .

Основным результатом статьи является доказательство следующего утверждения:

Теорема 4. Пусть последовательность комплексных чисел для некоторого . Если , то для любой последовательности , такой что

можно построить, в явном виде, функцию , являющуюся решением интерполяционной задачи .

Список литературы

Беднаж В.А., О характеризации главных частей мероморфных функций конечного порядка и нормального типа в окрестности особых точек // Исследования по линейным операторам и теории функций. 35, Зап. научн. сем. ПОМИ, 345, ПОМИ, СПб., 2007, 51–54; J. Math. Sci. (N. Y.), 148:6 (2008), 810–812.

Джрбашян М.М. Биортогональные системы и решение интерполяционной задачи с узлами ограниченной кратности в классе // Изв. АН Арм.ССР. Серия Математика. – 1974. – Т.9. – № 5. – С. 339-373.

Родикова Е.Г., О кратной интерполяции в классе аналитических в единичном круге функций с характеристикой Неванлинны из Lp-пространств // Сиб. электрон. матем. изв., 14 (2017), 264–273.

Шамоян Ф.А., Беднаж В.А., Кратная интерполяция в весовых классах аналитических в круге функций // Сиб. электрон. матем. изв., 11 (2014), 354–361

Bednazh V.A., Rodikova E.G., Shamoyan F.A. Multiple Interpolation and Principal Parts of a Laurent Series for Meromorphic Functions in the Unit Disk with Power Growth of the Nevanlinna Characteristic // Complex Anal. Oper. Theory (2017) 11: 197. doi:10.1007/s11785-016-0592-x.

Код для цитирования: Скопировать