X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Введение

Неравенства играют фундаментальную роль в математике, без них не может обойтись большинство предметов, например, физика, экономика, математическая статистика. Неравенства встречаются как в классических разделах математики, таких как геометрия, теория чисел, так и в современных ее разделах. Многие из результатов, касающихся неравенств, были получены и применены как вспомогательные средства в геометрии, физике или астрономии, а затем были снова открыты много лет спустя. В этом причина того, что названия многих замечательных неравенств не устоялись[9, С. 6]. Замечательные неравенства помогают справиться со многими задачами на исследование функций на максимум и минимум, помогают разобраться в методах математической статистики и экономики.

Большинство из нас привычно пользуются математическими символами, не задумываясь, кто же именно и когда их придумал. Так, привычные для нас знаки сложения и вычитания появились в конце XV в. с помощью знаменитого учёного Видмана. А знак равенства ввёл англичанин Р. Рекорд в 1557 г. Понятиями неравенства пользовались уже древние греки. Архимед, занимаясь вычислением длины окружности, установил, что «периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который, меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых». Иначе говоря, Архимед указал границы числа. Ряд неравенств Евклид приводит в своем знаменитом трактате «Начала». Он, например, доказывает, что среднее геометрическое двух положительных чисел не больше их среднего арифметического, т. е. что верно неравенство. В развитии математической мысли без сравнения величин, без понятий «больше» и «меньше» нельзя было дойти до понятия равенства, тождества, уравнения. Приближенные вычисления, в том числе и вычисление, метод исчерпывания, современное понятие предела, связаны с понятием неравенства [8, С. 13]. Современные знаки неравенств появились лишь в XVII – XVIII вв. Знаки «» ввел английский математик Томас Гарриот. Знаки «≤» и « ≥» французский математик П. Буге [6, С. 215]. Отдельные свойства систем линейных неравенств рассматривались еще в первой половине IX века в связи с некоторыми задачами аналитической механики. Систематическое же изучение систем линейных неравенств началось в самом конце IX века, однако о теории линейных неравенств стало возможным говорить лишь в конце двадцатых годов XX века, когда уже накопилось достаточное количество связанных с ними результатов.

В 1821 году французский математик О.Л. Коши опубликовал одно из самых известных неравенств, которое вошло в перечень замечательных - это соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим нескольких действительных неотрицательных чисел [2, С. 57]. Оно стало настолько популярным, что для него найдены десятки доказательств и сотни применений. Однако найдено много и других замечательных неравенств, например, неравенство Чебышёва, Иенсона, Бернулли и многие другие.

В теоретической части работы мы рассмотрим определение замечательных неравенств, которые более распространены: неравенство Коши, Коши-Буняковского, Бернулли, Чебышёва.

В практической части нашего исследования мы разберем примеры и задачи как школьного, так и университетского уровня.

Объект исследования – алгебраические неравенства.

Предмет исследования – задачи на применение замечательных неравенств.

Цель исследования – систематизация теоретического материала по теме «Замечательные неравенства» и его применение к решению задач.

Задачи исследования:

изучить историю возникновения замечательных неравенств;

дать определение замечательным неравенствам, охарактеризовать их следствия, теоремы;

рассмотреть основные методы и приемы решения задач с использованием замечательных неравенств.

Результаты исследования были представлены на конференциях:

IV внутривузовская студенческая научно-практическая конференция «Молодежь в мире науки» (ноябрь 2016 год, г. Сургут). По итогам выступления опубликована статья (Маллаева Т.И. Замечательные неравенства и их применение / Молодежь в мире науки: материалы IV внутривузов. студенч. науч.-практ. конф., 25 нояб. 2016 г. / Бюджет. учреждение высш. образования ХМАО – Югры «Сургут. гос. пед. ун-т», фак. соц.-культур. коммуникаций; [редкол.: С.С. Богдан (отв. ред.) и др.]. – Сургут: РИО СурГПУ, 2017. – С. 53-55).

XXI студенческая научно-практическая конференция «Студенчество в научном поиске» (апрель 2017 год, г. Сургут).

XIX Всероссийская студенческая научно-практическая конференция НВГУ (апрель 2017 год, г. Нижневартовск). - Секция «Методика обучения физико-математическим дисциплинам».

Работа состоит из введения, двух частей и заключения. Список использованной литературы включает 25 наименований.

Теоретическая часть

Существует множество замечательных неравенств, которые имеют широкое применение в математике. В нашей работе мы рассмотрим наиболее распространённые неравенства: Коши, Коши-Буняковского, Бернулли, Чебышёва.

Неравенство Коши

Одно из самых известных замечательных неравенств – это неравенство Коши. Оно было доказано французским математиком Огюстом Коши в первой половине XIX века.

Лемма 1. Пусть даны положительные числа произведение которых равно 1. Тогда справедливо неравенство причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда .

Из леммы 1 вытекает теорема 1.

Теорема 1.Пусть даны положительные числа . Тогда справедливо неравенство:

.

Это неравенство французского математика О. Л. Коши, установленное им в 1821 г., причем равенство имеет место лишь в случае, когда [9, С. 79].

Доказательство. Для доказательства данного неравенства используется следующий вариант обобщенного принципа математической индукции: если некоторое утверждение , удовлетворяет следующим условиям:

а) оно является истинным для всякого , равного любому из членов некоторой бесконечной возрастающей последовательности натуральных чисел (не обязательно всех натуральных чисел);

б) если утверждение истинно при некотором натуральном , где истинно и при , то тогда утверждение истинно для любого натурального

Частный случай этого неравенства широко известен как неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.

Теорема 1.1.Для любыхa, b > 0 среднее геометрическое двух чисел не превосходит их среднего арифметического:

≤ .

Доказательство. Осуществляется с помощью метода выделения полного квадрата [9, С. 57]:

Предположим, что данное неравенство справедливо: (а – b)² ≥ 0;

Применим формулу «квадрат разности»: а² - 2аb + b² ≥0;

Прибавим к обеим частям неравенства 4аb: а² + 2аb + b² ≥4аb;

Применим формулу «квадрат суммы»: (а + b)² ≥4аb;

Разделим обе части неравенства на 4: .

Так как а и b – положительные по условию, то извлечём из обеих частей неравенства квадратный корень: .

Неравенство доказано.

Существуют различные способы доказательства данного неравенства. Это неравенство было известно более 2000 лет назад. Геометрически оно очевидно (Рис.1).

Следствия из неравенства Коши:

.

Теорема 2.Если произведение нескольких действительных положительных чисел равно единице, то их сумма не меньше их количества, причем она равна их количеству тогда и только тогда, когда все эти числа совпадают, то есть каждое равно единице (значит, если среди этих чисел имеется хотя бы два несовпадающих, то сумма всех этих чисел строго больше их количества): .

Доказательство. Пусть про положительные числа , где натуральное , известно, что , тогда применив к ним неравно Коши, получим:

откуда и следует доказываемое соотношение, причем оно реализуется в варианте равенства тогда и только тогда, когда , но , откуда и следует вторая часть утверждения теоремы [9, С. 84].

В школьном курсе математики и физики изучаются средние величины (среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое и среднее квадратичное).

Между ними существуют удивительные соотношения, которые исследованы учёными. О. Коши, французский математик, сопоставив две средние величины, пришёл к выводу о том, что среднее арифметическое n чисел всегда не меньше среднего геометрического этих чисел. Неравенство Коши используется при решении уравнений, доказательстве неравенств и систем методом оценок, появляется в вариантах теста ЕГЭ.

Неравенство Коши-Буняковского

Неравенство Коши-Буняковского связывает норму и скалярное произведение векторов в евклидовом пространстве. Также оно встречается в школьном курсе математики.

Теорема 1.Для любых действительных чисел , (любое натуральное число, большее 1) справедливо неравенство:

или

,именуемое неравенство Коши – Буняковского, причем равенство:

имеет место лишь тогда, когда выполняется условие:

Доказательство. Пусть и утверждения теоремы 1 очевидно справедливы.

Пусть теперь хотя бы одно из чисел отлично от 0.

Введем тогда следующие обозначения: , , , позволяющие записать данное неравенство в виде Очевидно, что ему будет равносильно неравенство , левая часть которого ялвяется дискриминантом трехчлена , что позволяет ввести в рассмотрение вспомогательную функцию

, то есть при любом значение этой квадратичной функции (с положительном коэффициентом при ) неотрицательно, а это означает, что дискриминант трехчлена меньше или равен 0, а значит , иначе говоря, для любых действительных чисел , справедливо неравенство Коши-Буняковского:

причем равенство в полученном соотношении достигается тогда и только тогда, когда дискриминант равен 0, то есть когда график функции касается оси , а значит, уравнение имеет ровно один корень, то есть когда следующая система уравнений совместна:

То есть когда . Теорема доказана [13, С. 90].

Следствия из неравенства Коши-Буняковского:

Данные следствия справедливы для любого числа переменных.

Неравенства Коши и Коши – Буняковского используются, прежде всего, для доказательства различных неравенств, но при этом необходимость их применения отнюдь не всегда явно видна.

Также данное неравенство встречается в школьной программе. Например, формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости:

Очевидно, что правая равенства является косинусом некоторого угла, только если она по модулю не превосходит 1, а это как раз и есть неравенство Коши-Буняковского для двух переменных:

и ясно, что равенство возможно только, когда угол между векторами 0 или 180, т.е. когда вектора коллинеарны.

Неравенство Бернулли

Неравенство Бернулли было доказано швейцарским математиком, одним из основателей теории вероятностей и математического анализа Якобом Бернулли.

Теорема 1. Если , то для всех n, принадлежащим натуральным числам.

Доказательство. Осуществляется с помощью метода математической индукции по n [1, С. 31]:

Для : – условие выполняется.

Пусть при утверждение верно.

Докажем его для .

Для этого докажем неравенство

При неравенство верное, так как .

При оно верно, так как

При данное неравенство следует из неравенства умножением на

Так как неравенство Бернулли верно при , то можно добавить в левую часть неравенства , а в правую - и полученное неравенство будет иметь тот же знак, что и неравенство .

Неравенство Бернулли используется при решении некоторых олимпиадных задач.

Неравенство Чебышёва

Изучая средние степенные величины и соотношения между ними, никаких соотносительных требований на переменные, входящие в соответствующие неравенства, не накладывали. Однако при появлении в учете подобных дополнительных ограничений возникают разнообразные новые соотношения. Примером подобных соотношений является замечательное неравенство, названное в честь Пафнутия Львовича Чебышёва.

Теорема 1. Для любых неубывающих (или невозрастающих) последовательностей и ( справедливо неравенство:

именуемое неравенство Чебышёва.

Доказательство. Рассмотрим неравенство, равносильное неравенству Чебышёва:

.

Составим разность его левой и правой частей, а затем преобразуем ее:

.

Однако каждое из произведений:

неотрицательно, так как по условию последовательности или одновременно неубывающие, или одновременно невозрастающие (монотонные), что и доказывает неотрицательность составленной разности левой и право частей неравенство, равносильного Чебышёва. Теорема доказана [9, С. 155].

Теорема 2.Пусть одинаково упорядоченные последовательности действительных чисел, а положительные числа таковы, что , тогда имеет место следующее неравенство:

,

причем это соотношение реализуется в варианте равенства тогда и только тогда, когда или [9, С.159].

Теорема 3.Для любых действительных чисел и и любых действительных положительных чисел таких, что последовательности и одномонотонны (в частности, если и ), справедливо следующее неравенство:

Практическая часть

Рассмотренные нами теоретические аспекты замечательных неравенств, применяются как в высшей математике, так и в школьном курсе.

Применение неравенства Коши

Неравенство Коши имеет широкое применение при доказательствах, при решении уравнений, неравенств, а также при нахождении наименьшего значения функции.

Рассмотрим каждое из применений.

а) при доказательствах:

Задача 1.Доказать неравенство , при b ≥ 0 [20, С. 59].

Доказательство. Умножим обе части неравенства на 4:

Применим неравенство Коши к числам :

Что и требовалось доказать.

Задача 2. Докажите, что имеет место следующее неравенство: [21, С. 97].

Доказательство. Запишем неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом для пар чисел

Обе части неравенств положительны, неравенства одинакового смысла, значит, мы их можем почлено перемножить.

Имеем: .

Преобразовав правую часть неравенства, окончательно получим:

Что и требовалось доказать.

б) к решению уравнений:

Задача 1.Решите уравнение [22, С. 126].

Решение. Данное уравнение задано для и легко видеть, что в области допустимых значений левая часть уравнения всегда положительна. Преобразуем левую часть уравнения следующим образом:

По неравенству Коши будем иметь:

в котором равенство достигается лишь тогда, когда

Решая это уравнение, находим корни

Так как оба найденных значения положительны, то это и есть искомые корни заданного уравнения.

Ответ:

Задача 2.Решите уравнение [21, С. 167].

Решение. Область определения в данном уравнении есть промежуток На этом промежутке правую часть уравнения оценим, используя неравенство Коши:

Заметим, что равенство в произведенной оценке достигается тогда и только тогда, когда . Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень

Ответ:

в) к решению неравенств:

Задача 1. Решите неравенство:

[22, С. 86].

Решение. Найдя корни уравнения разложим квадратный трехчлен на множители, применив к заданному неравенству другие преобразования, запишем его в виде:

Заметим, что выражение есть сумма двух взаимно обратных положительных чисел, а значит:

Тогда неравенство (1) равносильно системе:

Решая ее стандартным способом, получим: .

Ответ: .

г) для нахождения наименьшего значения функции:

Задача 1. Найти наименьшее значение выражения на множестве положительных действительных чисел [24, С.78].

Решение. Запишем выражение следующим образом: .

Применим неравенство Коши при :

Равенство достигается только в том случае, когда , то есть при .

Таким образом, число есть искомое наименьшее значение.

Ответ:

Применение неравенства Коши-Буняковского

Неравенство Коши-Буняковского чаще всего применяется при доказательствах, при решении геометрических задач, при решении тригонометрических уравнений, а также при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции.

а) при доказательствах:

Задача 1.Докажите, что для любых действительных чисел справедливо неравенство [18, С. 69].

Доказательство. Запишем неравенство в следующем виде:

, следовательно, это заведомо истинное неравенство, так как оно является частным случаем неравенства Коши-Буняковского.

Что и требовалось доказать.

Задача 2.Докажите, что для трех любых действительных чисел , если то будет справедливо и неравенство [25, С. 27].

Доказательство. Неравенство Коши-Буняковского дает следующее соотношение:

,

то есть , но по условию , значит , следовательно,

Что и требовалось доказать.

б) при решении геометрических задач:

Задача 1.При каком значении высоты прямоугольная трапеция (рис.2) с острым углом 30 градусов и периметром 6 см имеет наибольшую площадь [24, С. 68]?

Решение.

 

C

 

 

 

 

A

D

H

 

 

Рис. 2

 

Ответ:

Задача 2.Определить объем прямоугольного параллелепипеда, если его размеры удовлетворяют соотношению а диагональ равна [21, С. 171].

Решение. Для прямоугольного параллелепипеда .

Поскольку = , то

Применим неравенство Коши-Буняковского, тогда

Так как по условию задачи , то применяемое выше неравенство Коши-Буняковского превратилось в равенство, поэтому выполняется цепочка равенств

Отсюда получаем В таком случае из равенства следует, что

Следовательно, и объем параллелепипеда

Ответ: 7680.

в) при решении тригонометрических уравнений:

Задача 1.Решите уравнение [20, С. 141].

Решение. Заданное уравнение равносильно

Далее, применяя формулу разности синусов двух углом, получаем уравнение:

(1)

К левой части уравнения (1) применим неравенство Коши-Буняковского, тогда

Отсюда следует, что

следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

г) при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции:

Задача 1.Пусть Найти наименьшее значение функции [21, С. 176].

Решение. Воспользуемся неравенством Коши-Буняковского, тогда

Отсюда получаем, что

Теперь покажем, что

Известно, что неравенство Коши-Буняковского обращается в равенство тогда и только тогда, когда

отсюда следует, что

Так как

В таком случае:

Ответ:

Применение неравенства Бернулли

Неравенство Бернулли применяется к решению уравнений и неравенств, при доказательствах тригонометрических неравенств, а также при нахождении наибольшего значения функции.

а) к решению уравнений:

Задача 1.Решить равнение:

[22, С. 70].

Решение. Поскольку область допустимых значений переменной в уравнении определяется, как и при этом значения не являются его корнями, то можно полагать, что . В этой связи для оценки левой части уравнения можно воспользоваться неравенством Бернулли:

.

Следовательно,

имеет место неравенство .

Если полученное неравенство сравнить с заданным уравнением, то видно, что неравенство Бернулли обратилось в уравнение, а это возможно лишь при . Подстановкой в уравнение убеждаемся, что – корень уравнения.

Ответ:

Задача 2. Решить уравнение в целых числах: [21, С.128].

Решение. Очевидно, что уравнение не имеет отрицательных корней, а является его корнем. Поэтому в дальнейшем будем искать только целые положительные корни. С этой целью перепишем заданное уравнение в виде

Принимая во внимание неравенство Бернулли при любом натуральном вида в котором знак равенства достигается лишь при делаем вывод о том, что уравнение имеет единственный положительный корень .

Итак, целыми корнями заданного уравнения являются 0 и 1.

Ответ: .

б) при доказательстве тригонометрических неравенств:

Задача 1.Доказать, что для любых выполняется неравенство [21, С.154].

Доказательство. Преобразуем левую часть неравенства:

Отсюда следует, что

Что и требовалось доказать.

в) для нахождения наибольшего значения функции:

Задача 1.Найти наибольшее значение функции:

[24, С. 174].

Решение. Областью определения функции являются Пусть тогда для установки верхней оценки функции воспользуемся неравенством Бернулли и получим:

Поскольку то

Ответ:

г) к решению неравенств:

Задача 1.Решить неравенства [14, С. 116].

Решение. Областью допустимых значений в неравенстве являются Поскольку неравенство выполняется при , то будем рассматривать случай, когда

Перепишем неравенства в равносильном виде:

. (1)

Если , то . В этой связи к правой части неравенства (1) можно применить неравенство Бернулли, тогда:

Отсюда и из неравенства (1) получаем Следовательно, неравенство выполняется на всей области допустимых значений переменной , то есть решением заданного неравенства является

Ответ:

Применение неравенства Чебышёва

Неравенство Чебышёва связывает средние степенные величины соотношения между ними. Оно имеет широкое применение при доказательствах неравенств.

а) при доказательствах неравенств:

Задача1.Докажите, что для любых действительных положительных чисел справедливо неравенство [9, С. 166].

Доказательство.

но

Что и требовалось доказать.

Задача 2.Докажите, что для любых действительных положительных чисел справедливо неравенства [21, С. 58].

Доказательство.

однако имеет место следующее неравенство , что и завершает решение задачи.

Что и требовалось доказать.

Рассмотренные нами методы и способы решения задач имеют широкое применение в решении неравенств, уравнений, в доказательствах, а также в геометрических задачах. Данные методы и способы помогают решить множество задач, как школьного курса, так и повышенной сложности.

Заключение

В математике тема «Неравенства» занимает одно из важных мест. В школе дети начинают изучать эту тему уже в начальных классах, где они знакомятся со свойствами неравенств и методами их решения в простейших случаях. Решение задач с помощью неравенств используется в каждой области математике: в алгебре, в геометрии, в теории вероятностей, в математической физике и других дисциплинах.

На практике учащиеся сталкиваются с тем, что некоторые задачи невозможно решить стандартным способом, поэтому могут применяться замечательные неравенства такие, как неравенства Коши, Бернулли, Коши – Буняковского, Чебышёва. Они имеют широкое применение при доказательствах неравенств, также тригонометрических, решениях уравнений, при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции, а также в геометрических задачах.

Рассмотренные нами неравенства и задачи, связанные с ними, показывают разнообразие методов и способов их применения, как в алгебре, так и в геометрии. Эти задачи имеют уровень сложности выше среднего, а некоторые из них встречаются в школьной программе.

Список использованных источников

Алексеев, Р.Б. Неравенства [Текст] / Р.Б. Алексеев, Л.Д. Курляндчич // Математика в школе. – 2013. - № 3.

Антонова, Н. Неравенство Коши о среднем арифметическом и геометрическом [Текст] / Н. Антонова, С. Солодовиков // Математика. – 2012. - № 20.

Беккенбах, Э. Введение в неравенства [Текст] / Э. Беккенбах, Р. Беллман. – М.: Мир, 2007. – 146с.

Берколайко, С.Т. Использование неравенства Коши при решении задач [Текст] / С.Т. Берколайко // Квант. – 2014. - № 4.

Виноградов, И.М. Математическая энциклопедия [Текст] / И.М. Виноградов. – М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.

Выгодский, М.Я. Справочник по элементарной математике [Текст] / М.Я. Выгодский. – М.: Наука, 2012. – 416 с.

Глейзер, Г.И. История математики в средней школе [Текст] / Г.И. Глейзер. – М.: Просвещение, 1998. – 246 с.

Глейзер, Г.И. История математики в школе [Текст] / Г.И. Глейзер. – М.: Просвещение, 2001. – 287 с.

Гомонов, С.А. Замечательные неравенства: применения. 10-11 классы. Элективные курсы [Текст]: учебное пособие для профильных классов общеобразовательных учреждений / С.А. Гомонов. - М.: Дрофа, 2006. – 243 с.

Готман, Э. Геометрические задачи на максимум и минимум [Текст] / Э. Готман // Квант. – 2010. - № 2.

Иванов, О.А. Элементарная математика для школьников, студентов, преподавателей [Текст] / О.А. Иванов. - М.: МЦНМО, 2009. - 384 с.

Искандеров, А. Геометрические доказательства теорем о средних [Текст] / А. Искандерова // Квант. – 2009. - № 2.

Конюшков, А. Неравенство Коши-Буняковского [Текст] / А. Конюшков // Научно-популярный физико-математический журнал «Квант». – 2011. - №8.

Коровкин, П.П. Неравенства [Текст] / П.П. Коровкин. - М., 2010. – 56 с.

Моденов, П.С. Задачи по геометрии [Текст] / П.С. Моденов. – М.: Наука, 2011. – 248с.

Прохоров, А.М. Большая советская энциклопедия: в 30 т. [Текст] / А.М. Прохоров. - 3-е изд. - М. : Сов. энцикл., 1969-1978.

Седракян, Н.М. Неравенства. Методы доказательства [Текст] / Н.М. Седракян, А. М. Авоян. – М.: Физматлит, 2010. – 341с.

Седракян, Н.Н. О применении одного неравенства [Текст] / Н.Н. Седракян // Квант. – 2011. - № 2.

Сивашинский, И.Х. Неравенства в задачах [Текст] / И.Х. Сивашинский. – М.: Наука, 2010. – 216 с.

Супрун, В.П. Математика для старшеклассников: нестандартные методы решения задач [Текст] / В.П. Супрун. – М.: Аверсэв, 2003. – 238с.

Супрун, В.П. Математика для старшеклассников: учебное пособие [Текст] / В.П. Супрун. - М.: ЛКИ, 2008. - 200 с.

Супрун, В.П. Уравнения и неравенства: готовимся к вступительному экзамену [Текст] / В.П. Супрун. – М.: Красико-Принт, 2009. – 245с.

Чистяков, И. Неравенства Коши о средних арифметическом и геометрическом [Текст] / И. Чистяков // Математика. – 2012. - № 7.

Шклярский, Д.О. Геометрические неравенства и задачи на максимум и минимум [Текст] / Д.О. Шклярский, Н. Н. Ченцов, И.М. Яглом. – М.: Наука, 2014. – 128с.

Ярский, А. Как доказать неравенство [Текст] / А. Ярский // Квант. – 2013. - № 2.

Код для цитирования: Скопировать