X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Искомая область – это область, в которой все три раскрашенных области пересекаются друг с другом.

Существует определенный алгоритм решения неравенств с двумя переменными:

1.Приведем неравенство к виду

2. Записываем равенство вида ;

3. Распознаем графики, записанные в левой части;

4. Строим эти графики:

если неравенство строгое или , то – пунктирной линией,

если неравенство нестрогое или , то – сплошной линией;

5. Определяем на сколько частей, графики разбили координатную плоскость;

6. Выбираем в одной из этих частей контрольную точку. Определяем знак выражения ;

7. Расставляем знаки в других частях плоскости с учетом чередования (как по методу интервалов);

8. Выбираем нужные нам части в соответствии со знаком неравенства, которое мы решаем, и наносим штриховку.

Переход к геометрической модели – является одним из наиболее удобных приемов решения неравенства с двумя переменными.

Для графического изображения решения системы неравенств:

Сначала находим множество точек плоскости, на котором выполняется первое неравенство, потом множество точек плоскости, в которой выполняется второе неравенство. Решением системы неравенств будет являться пересечение этих множеств, то есть их общая часть.

При построении графиков мы проводим сплошную линию, если граница принадлежит рассматриваемому множеству, и пунктирную линию, если не принадлежит.

Неравенства называются равносильными, если они имеют одну и ту же область решений.

Пример: и .

График уравнения = = 0, где f — многочлен, делит координатную плоскость на две области так, что при переходе из одной области в другую значение выражения меняет знак на противоположный.

Теорема. Прямая , где , разбивает координатную плоскость на две открытые полуплоскости так, что координаты точек одной полуплоскости удовлетворяют неравенству , а другой – неравенству . Исходя из теоремы, можно сформулировать свойство чередования знака для линейного многочлена [10].

При переходе через точку прямой из одной полуплоскости в другую знак значения многочлена меняется на противоположный.

Если прямые и пересекаются, то каждая из систем неравенств

задает на координатной плоскости множество внутренних точек угла, включая границы. Например, совокупность соответствующая системе неравенств задает оставшуюся часть, исключая границы (координатную плоскость с «вырезанным» углом). Аналогичные утверждения верны и для других пар систем и совокупностей неравенств. Другими словами, в алгебре указанные совокупность и система неравенств являются логическими отрицаниями друг друга, а на координатной плоскости им соответствующие множества точек являются дополнениями друг друга до всей плоскости.

Неравенство или , где , задает на координатной плоскости множество внутренних точек вертикальных углов, включая границы.

Графический способ решения уравнений эстетичен и понятен, но не дает стопроцентной гарантии решения любого неравенства. Абсциссы точек пересечения графиков могут быть приближёнными.

В данной главе было рассмотрено:

Исторические факты о неравенствах;

Основные определения связанные с понятиями: неравенства, система неравенств, графический способ решения;

Свойства числовых неравенств;

Теорема о чередовании знака;

Алгоритм решения неравенств с двумя переменными графическим способом.

Рассмотренные нами теоретические аспекты графического метода решения неравенств с двумя переменными применяются в школьном курсе математики. Рассмотрим некоторые примеры неравенств и решим их графическим способом.

Задача 1

Рассмотрим неравенство .

Графиком уравнения является прямая, проходящая через начало координат и, например, точку (координаты обеих точек удовлетворяют уравнению). Изображаем прямую на графике. Все решения заданного неравенства геометрически изображаются точками полуплоскости, расположенной либо выше, либо ниже построенной прямой. Что бы правильно выбрать нужную полуплоскость, возьмем любую точку одной из них и подставим координаты такой контрольной точки в заданное неравенство. Если получится верное числовое неравенство, то полуплоскость выбрана верно, если нет, то не верно [12].

Возьмем в качестве контрольной точку из верхней полуплоскости и подставим ее координаты в заданное неравенство.

Получаем — верное числовое неравенство. Итак, геометрической моделью решений заданного неравенства является полуплоскость, расположенная выше прямой (рис.1).

Рис.1

Задача 2

Рассмотрим неравенство .

Если , то неравенство принимает вид , это верное неравенство, значит, все точки оси y принадлежат множеству решений неравенства. Если , то неравенство можно переписать в виде . Значит, в правой полуплоскости (при) следует взять точки, лежащие ниже правой ветви гиперболы . Если , то неравенство можно переписать в виде . Значит, в левой полуплоскости (при) следует взять точки, лежащие выше левой ветви гиперболы. Множество решений неравенства можно изобразить на графике (рис.2).

Выше мы говорили о решении неравенств с двумя переменными. Развивая эту линию, можно рассматривать и системы неравенств с двумя переменными. Речь пойдет о пересечении решений неравенств системы.

Рис.2

Задача 3

Рассмотрим систему неравенств

Для того что бы решить данную систему неравенств нужно приравнять каждое неравенство к нулю. Надо найти пересечение множества решений неравенства и неравенства . Решением первого неравенства является , , , , графиком которого является окружность. Значения, принадлежащие области заключенной в окружности, обращают первое неравенство в верное числовое неравенство. Решением второго неравенства является прямая, проходящая через начало координат. Значения, принадлежащие верхней полуплоскости обращают второе неравенство в верное числовое неравенство.

Изобразим на координатной плоскости решения первого и второго неравенств. Искомым решением системы неравенств будет являться пересечение двух графиков (рис.3).

Рис.3

Задача 4

Рассмотрим нелинейное неравенство .

Уравнение можно записать в виде . Это уравнение окружности с центром в точке А(2;-3), и радиусом 5. Окружность разбивает плоскость на две части – внутреннюю и внешнюю области. Чтобы узнать, в какой из них имеет место неравенство, возьмем контрольную точку во внутренней области. В качестве такой точки удобно взять центр окружности. Подставляя координаты точки А в левую часть неравенства, получаем отрицательное число -25. Значит, и во всех точках, лежащих внутри окружности, выполняется неравенство .

Из этого следует, что неравенство имеет место во внутренней для окружности области. Изобразим решение на графике (рис.4)

Рис.4

Задача 5

Рассмотрим систему неравенств

Строим для начала графики следующих функций: – окружность, – прямая, = 4 – окружность.

Теперь разберем каждое неравенство в отдельности.

.

Берем точку (0;0), которая лежит внутри окружности .Проверяем неравенство:– верно.

Следовательно, все точки, лежащие внутри окружности , удовлетворяют первому неравенству системы.

2..

Берем точку (1;1), которая лежит выше графика функции.Проверяем неравенство: – верно.

Следовательно, все точки, лежащие выше прямой , удовлетворяют второму неравенству системы.

3.

Берем точку (0; 5), которая лежит вне окружности .Проверяем неравенство: – верно.

Следовательно, все точки, лежащие вне окружности , удовлетворяют третьему неравенству системы.

В данной задаче все неравенства нестрогие, значит, все границы рисуем сплошной линией. Получаем искомую область, где все три области пересекаются друг с другом (рис.5).

Рис.5

Задача 6

Постройте на координатной плоскости множество точек удовлетворяющих неравенству .

Действуем по алгоритму, который указан в теоретической части. Приравниваем и числитель, и знаменатель к нулю. Определяем графики полученных уравнений. Графиками данных уравнений являются прямые.

Далее следует определить для каждого уравнения удовлетворяющую область. Для функции область решений находится выше прямой, а для функции ниже прямой. Отображаем оба решения на одном графике (рис.6). Получаем искомую область, где оба графика пересекаются друг с другом.

Рис.6

Задача 7

Изобразить данную область

Приравниваем каждое неравенство системы к нулю. Определяем графики каждой функции. – парабола, – прямая, – окружность.

Теперь разбираемся с каждым неравенством в отдельности.

,

Берем точку , которая лежит выше графика функции. Проверяем неравенство: – верно.

Следовательно, все точки, лежащие выше данной параболы, удовлетворяют первому неравенству системы.

2.

Берем точку , которая лежит выше графика функции. Проверяем неравенство: – верно.

Следовательно, все точки, лежащие выше прямой, удовлетворяют второму неравенству системы.

3.

Берем точку , которая лежит вне окружности . Проверяем неравенство: – неверно.

Следовательно, все точки, лежащие вне окружности, не удовлетворяют третьему неравенству системы. Тогда можем сделать вывод о том, что все точки, лежащие внутри окружности , удовлетворяют третьему неравенству системы. Не забываем о том, что если неравенство строгое, то соответствующую граничную линию следует рисовать пунктиром.

Рис.7

В данной работе мы осветили некоторые исторические факты о неравенствах, назвали ученых занимавшихся неравенствами и их решением графическим способом, изложены основные определения по данной теме, общий алгоритм решения неравенств заявленным способом, основные свойства числовых неравенств, теорема по теме, и другие вопросы, касающиеся неравенств с двумя переменными и их решения графическим способом.

Разработана типология задач, в решении которых используется графический метод решения неравенств с двумя переменными.

Приведенная типология задач, а так же описанный нами графический метод может быть использован при проведении подготовительных занятий к экзаменам, на уроках математики при изучении неравенств с двумя переменными, а так же при разработке методических рекомендаций.

Виленкин, Н. Я. Шварцбурд, С. И. Математический анализ. Учебное пособие для IX—X классов средних школ с математической специализацией [Текст] / Н.Я Виленкин - M.: Просвещение, 2009. – 262 с.

Шварцбурд, С.И. Математический анализ. Учебник для IX—X классов средних школ с математическим уклоном [Текст] / С.И. Шварцбурд - M.: Просвещение, 2010. – 318 с.

Выгодский, М. Я. Справочник по элементарной математике [Текст] / Выгодский М. Я. - М.: 2008. – 179 с.

Глейзер, Г. И. История математики в школе [Текст] / Г. И. Глейзер. – М.: Просвещение, 2001. – 287 с.

Депман, И. Я. История арифметики [Текст] / Депман И. Я. - М.: КомКнига, 2006. – 211 с.

Ерина, Т.М. Математика. Профильный уровень. Высший балл [Текст] / Т.М. Ерина. – М.: Издательство «Экзамен», 2017. – 350 с.

Иванов, М.А. Математика без репетитора. 800 задач с ответами и решениями для абитуриентов. Учебное пособие [Текст] / М.А. Иванов. – М.: Издательский центр «Вентана – Граф», 2011. – 320 с.

Иванов, О.А. Элементарная математика для школьников, студентов [Текст] / О.А. Иванов. - М.: МЦНМО 2009. - 384 с.

Колмогоров, А.Н. Алгебра начала анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений [Текст] / А.Н. Колмогоров - М.: Просвещение, 2011. – 264 с.

Коровкин, П.П. Неравенства [Текст] / П.П. Коровкин. - М., 2010. – 56 с.

Макарычев, Ю.Н Алгебра: учебник для 8 классов общеобразовательных учреждений [Текст] / Ю.Н Макарычев. - М.: Просвещение, 2008. – 230 с.

Мордкович, А.Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений [Текст] / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. - М.: Мнемозина, 2011. – 266 с.

Савин, А.П. Энциклопедический словарь юного математика [Текст] / А.П. Савин - 3 издание Москва: Педагогика-Пресс, 2009. - 214 с.

Совертков, П.И. Актуальные проблемы преподавания математики и информатики: Сборник научно-методических работ кафедры ВМиИ СурГПИ [Текст] / П.И. Совертков, В.И. Седакова, Л.Н. Носова. – 1 выпуск. – Сургут: РИО СурГПИ, 2005. – 92 с.

Шахмейстер, А.Х. Построение графиков функций элементарными методами [Текст] / А.Х. Шахмейстер. - С.-Петербург, Москва, 2008. – 192 с.

Гусев, В.А. Математика: Справочные материалы. 2-е изд [Текст] / В.А. Гусев. — М.: Просвещение, 2009. — 416 с.

Бронштейн, И.Н. Семендяев, К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов [Текст] / И.Н. Бронштейн – М.: 2009. – 208 с.

Бородин, А.И. Биографический словарь деятелей в области математики [Текст] / А.И. Бородин. - Киев, 2010. – 321 с.

Ястрибинецкий, Г. А. Уравнения и неравенства, содержащие параметры [Текст] / Г.А. Ястрибинецкий. – М.: 2012. – 185 с.

Окунев, А.А. Графическое решение уравнений с параметрами [Текст] / А.А. Окунев. - Издательство “Школа – Пресс, М.: 1986. – 143 с.

Далингер, В.А. Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике [Текст] / В.А. Далингер. – Омск: Издательство Омского педагогического университета, 2009. – 122 с.

Учебно-методическая газета: Математика [Текст] / – М.: Первое сентября, 2007. – 62 с.

Звавич, Л.И. Алгебра в таблицах. 7-11 кл.: Справочное пособие [Текст] / Л.И. Звавич. – М.: Дрофа, 2002. – 161 с.

Письменский, Д. Т. Математика для старшеклассников [Текст] / Д. Т. Письменский – М.: Издательство Айрис, 2012. – 192 с.

Далингер, В. А. Геометрия помогает алгебре [Текст] / В.А. Далингер – М.: Издательство Школа – Пресс, 1996. – 149 с.