X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

ВВЕДЕНИЕ

Нелинейное уравнение с одной переменной в общем случае может быть записано в виде

F(x) = 0, (1)

где функция F(x) определена и непрерывна на конечном или бесконечном интервале a < x < b.

Всякое значение [a, b], обращающее функцию F(x) в нуль, т.е. когда F() = 0, называется корнем уравнения (1) или нулем функции F(x). Если функция F(х) имеет достаточное количество производных, то можно говорить о кратных корнях. Число называется корнем k-й кратности, если при x  вместе с функцией F(x) обращается в нуль и ее производные вплоть до порядка (k – 1) включительно:

F(x) = F'(x) = ... = F(^{k- 1)}(x) = 0.

Однократный корень называется так же простым. Два уравнения называются равносильными (эквивалентными), если множества их решений совпадают. Нелинейные уравнения с одной переменной подразделяются на алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и другие) называются трансцендентными.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы:

точные методы;

приближенные методы.

Точные методы позволяют указать формулы для определения корней в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Из школьного курса алгебры известны такие методы для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.

Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой. Для решения таких уравнений используются приближенные методы, позволяющие отыскать кореньс заданной степенью точности. Среди приближенных методов решения функциональных уравнений наибольшее распространение получили итерационные методы. Сущность итерационного метода состоит в построении последовательных приближений к точному значению корня. При этом процедура заканчивается, когда достигнута требуемая точность.

Задача численного нахождения действительных корней нелинейного уравнения (1) обычно состоит из двух этапов:

отделения корней, т.е. нахождения достаточно малых окрестностей рассматриваемой области, в которых содержится одно и только одно значение искомого корня;

уточнения корней, т.е. их вычисления с заданной степенью точности.

В связи с этим рассмотрим вначале задачу отделения корней, а затем ряд итерационных методов их уточнения.

ЗАДАЧА ОТДЕЛЕНИЯ КОРНЕЙ. УТОЧНЕНИЕ КОРНЕЙ МЕТОДОМ ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ (МЕТОД ДИХОТОМИИ)

Идея метода состоит в том, что первоначальный интервал изоляции искомого корня делится пополам после чего определяется на каком из полученных подинтервалов находится искомый корень. К нему снова применяется деления пополам с выбором подинтервала содержащего корень, то есть на каждом шаге алгоритма получаем интервал в два раза меньше. Процесс деления продолжается пока не будет получена заданная точность.

Недостатком метода является его медленная сходимость, кроме того он не применим к корням четной кратности.

Алгоритм метода:

Пусть искомый корень ɛ изолирован на отрезке [a;b], то есть выполнен первый этап численного решения и нам необходимо уточнить данный корень методом половинного деления до заданной точности ɛ, для этого:

Найдем координату точки С (середину отрезка [a;b]), по формуле

Вычислим значение функции в точке C (f(c)).

Если f(c)=0, то с – искомый корень.

Полагаем KSI:=с, печать KSI и f(KSI) и переход на конец алгоритма; Иначе переход на пункт 3.

Если f(a)*f(c)

Код для цитирования: Скопировать