X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Начнем с происхождения дробей. Как известно, дроби появились еще в глубокой древности. Сумма такого типа использовалась математиками со времён древнего Египта и применялась до самого средневековья. Человек встретился с необходимостью ввести дроби при разделе добычи, измерении величин и нахождении их, а также во многих других жизненных ситуациях. Первые дроби, с которыми нас познакомила история, так называемые единичные или аликвотные (отлат. aliquot –«несколько»). Аликвотные дроби встречаются в математических записях, написанных около 5000 лет тому назад, – древнеегипетских папирусах (Математический папирус Ринда считался одним из первых известных упоминаниях о египетских дробях) и клинописных вавилонских табличках [2].

Аликвотные дроби (известные также как египетские) - в математике сумма нескольких различных дробей вида . Также будет верно сказать, что в каждой такой дроби имеется числитель, который равен единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число. Примеры представляют собой последовательное выполнение математических операций с долями чисел. Например:

Так как египетская дробь - это положительное рациональное число вида , то она может быть записана в виде . Важно, что каждое положительное рациональное число может быть представлено в виде аликвотной дроби (бесконечным числом способов).

Аликвотные дроби (с числителем 1) долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человек. С Древних времен эта тема считалась одной из самых сложных поэтому, когда человек попадал в трудное положение, говорили «Попал в дроби».

Подробным изучением аликвотных дробей занялся Фибоначчи - первый крупный математик средневековой Европы в XIII веке. Он описал общий метод разложения произвольной дроби на египетские составляющие, используя сложную запись дробей, состоящую из чисел со смешанным основанием.

В современной записи этот алгоритм можно представить в виде формулы:

Она действует только тогда, когда требуется разложить аликвотную дробь на две составляющие. Если же преобразовать формулу, то можно получить следующее равенство:

Отсюда следует, что аликвотную дробь можно представить в виде разности двух аликвотных, или же разностью двух аликвотных, знаменателями которых, являются последовательные числа, равные их произведению.

Рассмотрим это равенство, тем самым докажем справедливость данного утверждения:

Приведя дроби к общему знаменателю, получаем:

После сокращения видим, что . Итак, получается, что . В результате преобразований была показана верность данного утверждения.

Рассмотрим задачу на использование метода Фибоначчи.

Чтобы узнать в каком году Фибоначчи со дня рождения исполнится 850 лет, нужно сумму аликвотных дробей

умножить на число, когда Фибоначчи исполнилось ровно 1 год. Если он родился в 1170, прибавляем к этому числу возраст Фибоначчи.

Получается, что Фибоначчи в 2020 году исполняется 850 лет [1].

На современном этапе развития математики ученые продолжают исследовать массу задач, которые связаны с аликвотными дробями. В конце ХХ ученые смогли дать оценку самого большого знаменателя и длины разложения обычной дроби в аликвотную. Также была выдвинута гипотеза Эрдешом и Грэхемом, которые утверждают, что для любой раскладки целых чисел, которые больше единицы в цветов может существовать конечное подмножество S целых. В 2003 году дана гипотеза была доказана известным математиком Эрнестом Крутом.

На сегодняшний день аликвотные дроби ставят для математиков целый ряд трудных и практически нерушимых математических задач. Задачи, связанные с использованием аликвотных дробей в решении, актуальны и в наши дни, так как они составляют обширный класс нестандартных задач. Нужно отметить, что эти задачи являются неотъемлемой частью не только при подготовке к олимпиадам, но также и при подготовке заданий ЕГЭ. Данная тема вляется хорошим подспорьем для исследовательской работы учащихся школ, что повышает успешность обучающихся в учёбе, развивает математические способности, внимание, познавательный интерес к математике.

Список используемых источников

Левитас, Г. Г. Нестандартные задачи по математике./ Г.Г. Левитас. – М.: ИЛЕКСА,2010. – 56 с.

Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Перевод с голландского Н. Веселовского. – М.: Физматгиз, 1959, - 456 с.

Код для цитирования: Скопировать