МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ - Студенческий научный форум

X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ

 Комментарии
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение

На протяжении длительного периода неравенства играют важную роль в различных вопросах математики, поскольку именно они позволяют решать задачи на отыскание наибольших и наименьших значений.

Изучением понятия неравенства занялись еще древние греки с конца III в. до н.э. В своих работах Архимед, занимаясь вычислением длины, указал границы числа . Позже ряд неравенств появляется и в работах Евклида. Например, в своем знаменитом трактате «Начала» он доказывает, что среднее геометрическое двух положительных чисел не больше их среднего арифметического и не меньше их среднего гармонического.

Поскольку рассуждения древних мыслителей проводились словесно, опираясь в большинстве случаев на геометрическую терминологию, то сложно было представить символическую запись таких неравенств. Поэтому современные знаки неравенств появились позже. Их появление связано с именами таких ученых, как Р.Рекорд, Томас Гарриот и Пьер Бугер. Так знаки появились в начале XVII столетияи ввел их английский математик Томас Гариот. Он воспользовался ими для соотношения «больше» и «меньше» при рассмотрении вопроса о наличии у кубического уравнения положительных корней. Затем в 1734 году французский математик Пьер Бугер ввел знаки «не больше» и «не меньше», которые позднее приняли более привычную для нас математическую символику .

Толковый словарь математических терминов дает следующее описание: «Неравенство алгебраическое выражение, показывающее, что одна величина больше или меньше другой».

Изучению неравенств уделяется особое внимание в области элементарной математики, поскольку именно алгебраические неравенства являются математическими моделями очень многих физических или иных учебных задач, поэтому методы их решения в большинстве случаев вызывают затруднения.

В связи с тем, что числовые неравенства обладают обширным материалом в области элементарной математики, особое внимание следует уделить алгебраическим неравенствам. Поскольку при их изучении встречаются рациональные, дробно-рациональные и иррациональные неравенства, линейные и квадратные неравенства, логарифмические и показательные, сводящиеся к алгебраическим в результате преобразований, тригонометрические неравенства, неравенства содержащие неизвестное под знаком модуля и системы неравенств, необходимо их комплексное изучение.

Объект исследования: алгебраические неравенства.

Предмет исследования: методы и приемы решения алгебраических неравенств.

Цель исследования: систематизация методов и приемов решения алгебраических неравенств и их применение при решении практических задач.

Апробация и внедрение результатов исследования.Основные выводы и положения нашего исследования отражены на IV внутривузовской студенческой научно – практической конференции «Молодежь в мире науки» Сургутского государственного педагогического университета (ноябрь,2016), XXI студенческой научно – практической конференции «Студенчество в научном поиске» (СурГПУ, 28 апреля 2017) и на Международной online конференции «Наука: теория и практика» (Москва, 4 мая 2017).

Структура и объем исследования. Курсовая работа состоит из ведения, теоретической части, практической части (2 параграфов), заключения и списка источников.

Теоретическая часть Понятие числового неравенства и его свойства

В математике при изучении неравенств, содержащих неизвестные величины, принято классифицировать их на алгебраические и трансцендентные. В алгебраических неравенствах совершаются лишь операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня. Если же над неизвестными совершаются другие, более сложные операции, например возведение в иррациональную степень, взятие логарифма или синуса, или же перечисленные выше математические операции совершаются бесконечное число раз, то неравенство называется трансцендентным [25].

Прежде чем мы рассмотрим простейшую классификацию алгебраических неравенств и методы их решения, рассмотрим понятие неравенства. Также в нашем исследовании представлены основные свойства числовых неравенств, которые лежат в основе равносильных преобразований алгебраических неравенств.

Пусть даны функции на некоторых числовых множествах и . Неравенством называется отношение вида:, где знак обозначает один из следующих: [24].

Следует отметить, что неравенства, составленные с помощью знаков или называются строгими: , а неравенства, составленные с помощью знаков или – нестрогими: [1]. Неравенство вида: называют двойным.

Решением неравенства называется значение переменной (переменных), удовлетворяющее неравенству. Следовательно, решить неравенство – значит найти множество всех его решений или доказать, что их нет. Также важно отметить, что в ответ решения неравенства записываются в виде промежутка или объединения нескольких промежутков [11].

Например, решением неравенства является , поскольку подставив его, мы получим истинное числовое неравенство . Выполнив некоторые преобразования, запишем , получим множество его решений, . В случае, когда решений нет, множество будет пустым ) [22].

В основе решения неравенств с одной переменной лежит понятие равносильности. Пусть даны два неравенства и некоторое множество . Если любое решение неравенства , принадлежащее множеству , является решением неравенства , а любое решение неравенства, принадлежащее нашему множествурешением первого, то такие два неравенства называются равносильными (эквивалентными) на множестве . Для пояснения приведем пример равносильного неравенства: . Действительно, множество всех их решений совпадают, поскольку решение каждого из них есть числовой промежуток [14].

Два неравносильных неравенства могут быть равносильными на некотором множестве. Например, неравенства и не являются равносильными на множестве всех действительных чисел, но являются равносильными на множестве положительных чисел [14].

В случае, когда оба неравенства не имеют решений, они также считаются равносильными по определению.

В математике в процессе решения неравенства чаще всего совершаются действия, позволяющие заменять предоставленное неравенство другим (более простым) ему равносильным. Следовательно, преобразования, в результате которых мы приходим к равносильному неравенству, называют равносильными преобразованиями неравенств. Такой переход от одного неравенства к другому может выполняться на основе утверждений о равносильности неравенств. В основе их доказательства лежат свойства числовых неравенств, в которых переменная величина принимает некоторое конкретное значение [11].

Данные свойства позволяют руководствоваться при решении неравенств следующими правилами [2]:

  1. Если , то , и наоборот, если

Доказательство. Пусть . По определению это означает, что число положительное. Если мы перед ним поставим знак минус, то полученное число будет, очевидно, отрицательным. Поэтому или Следовательно

Если же . По определению число положительное. Если мы перед ним поставим знак минус число, то полученное число будет отрицательным. Поэтому, или Следовательно .

2. Если , и , то .

Доказательство. Пусть , а . Значит числа и положительны. Сумма двух положительных чисел, очевидно, положительна. Следовательно, и⇒.

3.Если а > b, то для любого числа:,

Если к обеим частям числового неравенства прибавить или от обеих частей отнять одно и то же число, то неравенство не нарушится.

Доказательство. Пусть а > b. Следовательно, а b > 0. Но а b = (а + с) (b + с). Поэтому (а + с) (b + с) > 0. Поэтому запишем, а + с > b + с.

Следствие. Любое слагаемое одной части числового неравенства можно перенести в другую часть неравенства, поменяв знак этого слагаемого на противоположный.

4. Если , то .

Доказательство вытекает из свойства 3 (достаточно к обеим частям неравенства прибавить число

5. Пусть Если , то . Если же , то

Если обе части числового неравенства умножить на положительное число, то неравенство не нарушится; если обе части неравенства умножить на отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный ему.

Доказательство. Пусть . Это означает, что число положительно. Произведение двух положительных чисел и , также положительно, т.е. . Следовательно,

Следствие.Знак неравенства сохраняется при делении на положительное число и изменяется на противоположный при делении на отрицательное число.

6. Если и , то .

Доказательство. Покажем, что разность положительна. Данную разность запишем иначе:

Теперь перейдем к утверждениям о равносильности неравенств [8]:

  1. Пусть неравенство задано на множестве и выражение, определенное на том же множестве.

Тогда неравенства и равносильны на множестве .

Из этого утверждения вытекают следствия:

  1. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число , то получим неравенство , равносильное данному.

  2. Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части в другую с противоположным знаком, то получим неравенство, равносильное данному.

  1. Пусть неравенство задано на множестве и выражение, определенное на том же множестве, и для всех из множества выражение принимает положительные значения. Тогда неравенства и равносильны на множестве .

Следствие: если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и то же положительное число , то получим неравенство равносильное исходному.

  1. Пусть неравенство задано на множестве и выражение, определенное на том же множестве, и для всех из множества выражение принимает отрицательные значения. Тогда неравенства и равносильны на множестве .

Следствие: если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и то же отрицательное число и поменять знак неравенства на противоположный, то получим неравенство равносильное исходному.

Следствие. Для того чтобы возвести обе части неравенства в квадрат, необходимо убедиться, что слева и справа стоят положительные числа. В противном случае, можем получить неверный результат.

неверно

верно

Также следует отметить, что при изучении неравенств необходимо рассматривать и основные признаки изучаемого понятия. Они существенно помогают не только запомнить изучаемый термин, но и определять его среди представленных. Перечислим их [24]:

  1. Любое неравенство есть задача.

  2. Записью представленной задачи является неравенство с переменной (переменными).

  3. Неравенствоэто задача, в которой необходимо найти значение переменной (переменных).

  4. Искомое значение переменной (переменных), которое необходимо вычислить в задаче – неравенстве, должно быть таким, чтобы при их подстановке вместо переменной в заданное неравенство, обращало его в верное неравенство.

Исходя из выше сказанного, мы определили, что алгебраическое неравенство – это неравенство, заключенное между двумя алгебраическими выражениями, в которых при подстановке числового выражения вместо буквенных параметров, входящих в левую и правую части неравенств, обращается в истинное числовое неравенство или, наоборот, в неверное.

Виды алгебраических неравенств и способы их решения

В данном параграфе рассмотрим простейшую классификацию типов алгебраических неравенств, изучаемых в школьном курсе алгебры и начала анализа, и обобщенные алгоритмы их решения.

К числу изучаемых алгебраических неравенств относят:

  1. Линейные неравенства;

  2. Квадратные неравенства;

  3. Рациональные и дробно-рациональные неравенства;

  4. Иррациональные неравенства;

  5. Показательные и логарифмические, сводящиеся к алгебраическим.

Существует три основных метода решения таких неравенств: аналитический, алгебраический (метод интервалов) и графический. Итак, перейдем к их изучению вышеперечисленных неравенств:

  1. Линейные неравенства вида (1) или где и данные числа, причем называют неравенством первой степени с одним неизвестным .

Число называют коэффициентом при неизвестном, а число свободным членом неравенства [19]. Основной способ их решения заключается в использовании равносильных преобразований, позволяющих перейти при к элементарным неравенствам вида .

Рассмотрим в общем виде решение линейного неравенства (1), используя равносильные преобразования [25]:

  1. Если то решением неравенства будет промежуток .

  2. Если то решением неравенства будет промежуток неравенствам вида .

  3. Если и , то неравенство имеет бесконечно много решений; если и , то неравенство не имеет решений.

Неравенства вида решаются аналогичным образом [25].

Рассмотрим пример. Решить неравенство

Решение: Данное неравенство решим, посредством равносильных преобразований, используя свойства числовых неравенств. Перенесем член в левую часть неравенства, а перенесем в правую часть с противоположным знаком. Получим: , т.е.. Используя свойства числовых неравенств, разделим обе части неравенства на , поменяв при этом знак неравенства. Запишем . Для записи решения неравенства можно использовать обозначение промежутка числовой прямой [15].

Ответ: или .

  1. Квадратным неравенством называется неравенство вида:

,

где действительные числа, причем . Вместо знака может быть любой другой знак [8]. Поскольку при решении квадратных неравенств целесообразно пользоваться наглядным изображением, поэтому графический метод во многих учебниках представлен как основной. Таким образом, перейдем к рассмотрению общего алгоритма решения квадратных неравенств, применив данный метод.

Алгоритм решения квадратных неравенств

(1)

  1. Вначале определим коэффициент, стоящий при если ветви параболы направлены вверх, при ветви параболы направлены вниз.

  2. Начертим эскиз графика квадратичной функции для этого необходимо вычислить дискриминант квадратного трехчлена, чтобы определить имеет ли парабола с осью абсцисс общие точки.

  • Если квадратный трехчлен (1) имеет 2 разных корня, парабола пересекает ось в двух точках.

  • Если у данного квадратного трехчлена (1) нет корней.

  • Если квадратное неравенство имеет два одинаковых корня, вершина параболы находиться на оси .

  1. В случае, когда и найдем корни квадратного трехчлена

  1. Отметим найденные корни на оси абсцисс.

  2. С помощью полученной геометрической модели определим, на каких промежутках оси ординаты графика положительны/отрицательны (таблица 1).

Таблица 1

Таблица для решения квадратичных неравенств

Пример. Решить неравенство .

Решение:

  1. Поскольку , то ветви параболы направлены вверх.

  2. Начертим эскиз графика, для этого найдем дискриминант квадратного трехчлена: и нарисуем геометрическую модель параболы (рис.2).

Рис. 2

  1. Поскольку данное неравенство выполняется при всех значениях (см.рис.1).

Ответ: .

Таким образом, при решении любого квадратного неравенства основным действием является верное нахождение дискриминанта, который определяет наличие корней или его отсутствие.

  1. Неравенства, обе части которых являются рациональными выражениями, называются рациональными неравенствами [17].

Рассмотрим выражение вида: (1), где знак содержит любой из знаков неравенства Решение рациональных неравенств основано на применении свойств числовых неравенств. Перейдем к рассмотрению дробно – рациональных неравенств.

Итак, рассмотрим рациональное неравенство , где и – рациональные функции, то есть функции, представимые в виде отношения многочленов. Перенеся обе части рационального неравенства в левую часть, представим ее в виде отношения двух многочленов: Заметим, что, если умножить данное неравенство на ,по свойствам неравенств получим равносильное неравенство вида .

Для нестрогих дробнорациональных неравенств имеем по определению:

Если же решаемое неравенство имеет вид , то его следует привести к стандартному виду и уже, затем решать методом интервалов [16].

Пример. Решить неравенство .

Решение:

  1. Преобразуем данное неравенство и получим неравенство вида. Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов.

  2. Умножим обе части неравенства на знаменатель в квадрате, получим равносильное неравенство: .

  3. Вычислим критические точки числителя и знаменателя: , .

  4. Отметим данные точки на координатной прямой (рис. 3).

Рис. 3

  1. Расставим знаки на полученных промежутках, начиная справа сверху, вся координатная прямая разбилась на 4 промежутка. Самый правый из них будет положительный, далее знаки чередуются [15].

Рис. 4

  1. Выбираем промежутки, на которых функция

Ответ: .

Таким образом, один из общих способов решения дробнорациональных неравенств состоит в сведении неравенства к равносильному, и применении метода интервалов. Перейдем к изучению иррациональных неравенств.

  1. Всякое неравенство, в состав которого входит функция, стоящая под корнем, называется иррациональным [16].

В элементарной математике иррациональные неравенства решают на множестве действительных чисел. Решение таких неравенств состоит в том, что с помощью некоторых преобразований их заменяют равносильными им рациональными неравенствами или системами неравенств. Этими преобразованиями чаще всего являются простейшие приемы: замена переменных (введение новых переменных), разложение на множители и возведение обеих частей неравенства в одну и ту же степень. Однако простое возведение при обеих частей неравенства в одну и ту же степень может привести к потере корней или же, наоборот, к приобретению посторонних.

Поэтому необходимо учесть, что в основе данных преобразований лежит утверждение: если обе части неравенства неотрицательны, то оно равносильно неравенству, полученному из него почленным возведением в степень. Следовательно, при решении неравенств таким способом нужно следить, чтобы не приобрести посторонних решений.

Существует два основных вида неравенств [1]:

  1. и

  2. и .

Иррациональное неравенство с корнями четной степени вида . Решения данного неравенства должны удовлетворять условию и условию. При одновременном выполнении этих условий обе части заданного неравенства неотрицательны. Следовательно, их возведение в степень представляет собой равносильное преобразование неравенства. Таким образом, сформулируем теорему [14].

Теорема 1. Всякое иррациональное неравенство вида где равносильно системе неравенств:

Пример 1. Решить неравенство.

Решение. Используя теорему 1, запишем систему и решим его аналитическим методом (рис. 5):

Рис. 5

Ответ:

Аналогичные рассуждения проводим и с неравенством вида . Тогда получим, что всякое иррациональное неравенство вида где равносильно системе неравенств:

Рассмотрим неравенство . Заметим, что решения данного неравенства должны удовлетворять неравенству . При условии, что наше неравенство справедливо [16].

При условии, что , возведем обе части заданного иррационального неравенства в степень . Таким образом, сформулируем теорему 2.

Теорема 2.Всякое иррациональное неравенство равносильно совокупности систем неравенств [14]:

Следовательно, всякое иррациональное неравенство равносильно совокупности систем неравенств:

Пример 2[17]. Решить неравенство .

Решение. Используя теорему 2, запишем:

Тогда,

Обозначим точки на числовой оси и решим аналитическим методом (рис 6).

Рис. 6

Ответ запишем из первой системы: , вторая система решений не имеет.

Ответ:

Иррациональное неравенство корнями нечетной степени: или . В левой и в правой части могут стоять любые числа, поэтому для их решения используют следующие равносильные преобразования:

или

Пример 3[19]. Решить неравенство

Решение: .

Ответ: .

Рассмотрим следующий вид неравенства . Решения данного неравенства удовлетворяют неравенствам и . Поскольку корни существуют и они неотрицательны, может обе части возвести в квадрат, получим [1].

Таким образом, неравенство равносильно системе неравенств:

Пример 4[25]. Решить неравенство .

Решение:

Ответ:

  1. Рассмотрим показательные и логарифмические неравенства, сводящиеся к алгебраическим.

Показательными неравенствами называются неравенства вида где положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду [9]. Для решения исходного неравенства необходимо вспомнить свойства истинных числовых неравенств. Разделим обе части неравенства на , получим неравенство , равносильное нашему неравенству, поскольку обе части неравенства мы разделили на положительное, при любых значениях , выражение, запишем:.

  1. Если , то , тогда и только тогда, когда . Следовательно, .

  2. Если , то, тогда и только тогда, когда . Следовательно, .

Таким образом, мы доказали следующие утверждения из теорем [16]:

Теорема 1.Если , то показательное неравенство равносильно неравенству того же смысла: .

Теорема 2. Если , то показательное неравенство равносильно неравенству противоположного смысла: .

Рассмотрим таблицу 1, в которой приведены простейшие логарифмические неравенства и равносильные системы их решений [7].

Таблица 1

Равносильные преобразования для решения логарифмических неравенств

         
         
         

Пример. Решить неравенство

Решение:

Ответ:

Логарифмическими неравенствами называют неравенства вида , где положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду [16].

Для решения исходного неравенства , где и , необходимо представить его в виде . Используя свойства логарифмов, запишем . Рассмотрим случаи, когда и

  1. Если , то неравенство тогда и только тогда, когда . Следовательно,

  2. Если то неравенство тогда и только тогда, когда . Следовательно,

Приведенными рассуждениями, мы доказали следующие утверждения из теоремы:

Теорема. Если и , то:

при логарифмическое неравенство равносильно неравенству того же смысла: . Поэтому его заменяют равносильной системой неравенств [7]:

при логарифмическое неравенство равносильно неравенству противоположного смысла: . В этом случае заменяют на следующую равносильную систему неравенств [9]:

Общее решение простейших логарифмических и показательных неравенств заключается в сведении к равносильному неравенству, на основе свойств функций. Для решения более сложных неравенств чаще всего применяют метод интервалов, но при этом необходимо совершить преобразования, позволяющие свести его к алгебраическому равносильному неравенству.

Таким образом, в теоретической части, мы рассмотрели типы алгебраических неравенств, изучаемых в школьном курсе алгебры и начала анализа, и методы их решения. Данное исследование также содержит алгоритмы применения графического метода решения квадратных неравенств, аналитического метода и метода интервалов для решения других типов алгебраических неравенств из представленной классификации. На наш взгляд, представленные алгоритмы успешно могут быть использованы школьниками при решении заданий ЕГЭ и заданий повышенной сложности.

В практической части будут рассмотрены методы решения алгебраических неравенств, а также различные приемы преобразования алгебраических неравенств, приводящие исходное неравенство к неравенству равносильному ему на некотором множестве чисел, которые часто встречаются в школьном курсе алгебры, на олимпиадах и в ЕГЭ.

Практическая часть

Обобщенный метод интервалов

Рассмотрев в теоретической части исследования различные типы алгебраических неравенств, встречающихся в курсе алгебры и начала анализа и методы их решения, мы определили, что для решения квадратных неравенств целесообразно использовать графический метод, а для других видов алгебраических неравенств – аналитический метод и метод интервалов.

Поскольку в процессе решения алгебраического неравенства может оказаться, что число сомножителей достаточно велико и непосредственное применение аналитического метода приводит к трудоемкому решению нескольких систем, поэтому достаточно эффективным методом решения таких неравенств является метод интервалов. Данный метод является универсальным и может быть применим для целого класса неравенств. Поэтому в практической части мы также покажем его применение для решения разных видов алгебраических неравенств.

Методом интервалов решают неравенства, приведенные к виду или , ( или

Метод интервалов основан на том, что непрерывная на промежутке функция может менять знак только в тех точках, где ее значения равно нулю (но может и не менять) [7,9].

Алгоритм применения метода интервалов

  1. Найти и промежутки, на которых непрерывна.

  2. Найти нули функции значения , при которых

  3. Нанести на числовую ось найденные промежутки и нули.

  4. Определить интервал знакопостоянства и в каждом из них поставить, найденный подсчетом знак.

  5. Выписать ответ.

Рассмотрим пример применения данного метода для решения неравенства

  1. Функциянепрерывна в каждой точке своей области определения (это дробно – рациональная функция). .

  2. Найдем точки, в которых наша функция , т.е. в данном случае задача сводится к решению соответствующих уравнений: . В результате получили точки , и .

  3. Нанесем на числовую ось найденные промежутки и нули (рис. 7).

Рис. 7

  1. Найдем знак правого промежутка. Берем любое число, которое больше, чем . Например, Тогда получим:

(рис. 8).

Рис. 8

Расставляем остальные знаки. В точке , уравнение четное, следовательно, знак остается без изменений в точке , нечетное, знак функции изменяется на противоположный (рис. 9).

Рис. 9

  1. Вернемся к нашему исходному неравенству , следовательно, нам необходимо записать в ответ интервалы отмеченные знаком плюс.

Ответ:

Как известно, существуют различные примы преобразования алгебраических неравенств, приводящие исходное неравенство к неравенству равносильному ему на некотором множестве чисел :

  1. Прием рационализации.

  2. Прием замены переменной.

  3. Прием разложения многочлена на множители.

  4. Прием возведения обеих частей иррационального неравенства в одну и ту же степень.

  5. Прием логарифмирования при решении показательных и логарифмических неравенств.

  6. Прием логарифмирования при решении показательных и логарифмических неравенств.

Поэтому в рамках нашего исследования, мы рассмотрим и покажем их применение при решении различных видов алгебраических неравенств: рациональных, дробно – рациональных, иррациональных, показательных и логарифмических, сводящихся к алгебраическим.

Приемы решения алгебраических неравенств

Прием рационализации

Данный прием заключается в том, что показательное, логарифмическое или другое неравенство, содержащее монотонную функцию, сводится рациональному неравенству [21].

Итак, функция называется возрастающей, если для любых двух значений из области ее определения большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то есть если , то функция

Из определения следует, что для возрастающей функции

если ;

если ;

Следовательно, разности и имеют один и тот же знак. Аналогично для убывающей функции можно сделать вывод и всегда имеют противоположные знаки.

Данные свойства используют при решении неравенств, содержащих в себе любые монотонные функции (показательные, логарифмические, иррациональные и другие).

К примеру, рассмотрим неравенство вида: .

Поскольку основание логарифма может быть больше или меньше 1, функции и могут, как возрастать, так и убывать, следовательно, знак неравенства сохранится или поменяется на противоположный.

Учитывая, что основание логарифма и , запишем совокупность двух систем [26]:

Преобразуем данную совокупность к равносильной системе:

Пример [6]. Решить неравенство:

Решение: Воспользовавшись приемом рационализации неравенства, запишем систему неравенств и решим ее :

Обозначим, полученные решения данных неравенств на числовой оси (рис. 10).

Рис. 10

Ответ:.

Прием замены переменной

Мощным средством решения различных видов алгебраических неравенств является прием введения новой переменной, или «прием замены переменной». Данный прием необходимо применять в случае, если в исходном неравенстве неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой переменной и решить неравенство сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную[6].

Пример [5]. Решить неравенство:

Решение: Данное показательное неравенство решается приемом замены переменной. Введем замену , тогда неравенство примет вид:

Приведем к общему знаменателю:

В результате преобразований получим квадратное неравенство вида:

Для его решения применим графический метод решения. Поскольку ветви параболы направлены вверх. Начертим эскиз графика, необходимо найти дискриминант трехчлена:, следовательно, парабола пересекает ось абсцисс в двух точках: и .

Рис. 11

Поскольку нам необходимо взять только те значения , при которых квадратное неравенство принимает отрицательные значения (знак неравенства ), то получаем (рис. 11). Сделаем обратную замену:

В результате получим два неравенства: и .

Решим первое неравенство:

.

Решим второе неравенство:

Ответ: .

Прием разложения многочлена на множители

Разложить многочлен на множители – это значит преобразовать многочлен так, чтобы он был представлен в виде произведения нескольких сомножителей [15]. При разложении многочленов на множители применяют три основных приёма: вынесение множителя за скобку, использование формул сокращённого умножения и способ группировки. Данный прием является достаточно универсальным, поскольку его можно применять для решения алгебраических неравенств любого вида. К примеру, рассмотрим решение показательного неравенства с его применением.

Пример [5]. Решить неравенство: .

Решение: Представим в виде произведения множителей .Запишем исходное неравенство . Вынесем за скобку, получим и преобразуем, получившееся неравенство:

Воспользуемся свойством и запишем

Получили рациональное неравенство решение которого сводится к применению метода интервалов. Найдем точки, в которых наша функция , т.е. в данном случае задача сводится к решению соответствующих уравнений: . В результате получили , . Отметим полученные корни на числовой оси и определим знаки функции на каждом из получившихся интервалов (рис. 12).

Рис. 12

Поскольку нам необходимо взять только те значения , при которых функция равна нулю или принимает отрицательные значения, то получаем .

Ответ: .

Прием возведения обеих частей иррационального неравенства в одну и ту же степень

Данный прием, как правило, применяется для решения иррациональных неравенств. В основе преобразований лежит утверждение: если обе части неравенства неотрицательны, то оно равносильно неравенству, полученному из него почленным возведением в степень [15]. При решении таких неравенств необходимо следить затем, чтобы не приобрести посторонних решений. Поэтому необходимо учитывать область определения неравенства и область возможных значений решения.

Пример [6]. Решить неравенство: .

Решение: Поскольку левая часть неравенства может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то возводить обе части неравенства без определенных условий в квадрат нельзя. Необходимо рассмотреть два случая: и , следовательно, неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:

Решим первую систему:

Для решения неравенства воспользуемся методом интервалов (рис. 13).

Рис. 13

Следовательно,

Рассмотрим вторую систему:

.

Объединим полученные промежутки и получим

Ответ:

Прием логарифмирования при решении показательных и логарифмических неравенств

Если некоторое выражение составлено из положительных чисел с помощью операций умножения, деления и возведения в степень, то, используя свойства логарифмов, можно выразить через логарифмы входящих в выражение . Такое преобразование называют логарифмированием. Следует учесть, что при знак неравенства сохраняется, при меняется [4].

Пример [18]. Решить неравенство:

Решение: Прологарифмируем обе части неравенства по основанию , поскольку знак неравенства не изменится, запишем:

Воспользуемся свойствами логарифмов и преобразуем неравенство к виду:

Поскольку :

Используем прием замены переменной, обозначив . Тогда

Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов. Обозначим точки и на числовой оси (рис. 14):

Рис. 14

Решением неравенства являются промежутки, на которых функция отрицательна: .

Вернемся к обратной замене, получили . Представим левую и правую части неравенства в виде логарифмов с десятичным основанием:

Ответ: .

Прием потенцирования при решении показательных и логарифмических неравенств

Под потенцированием понимается переход от неравенства, содержащего логарифмы, к неравенству, не содержащему их.

любой из знаков неравенства: где [4]

Пример [27]. Решить неравенство:

Решение: Поскольку основание логарифма следовательно,

Воспользовавшись приемом потенцирования данное неравенство равносильно следующему:

Получившееся квадратное неравенство решим графическим методом, воспользовавшись алгоритмом решения квадратных неравенств.

  1. Поскольку ветви параболы направлены вверх.

  2. Обозначим корни квадратного трехчлена на оси (рис. 15):

Рис. 15

Решением неравенства являются промежутки, на которых функция положительна: (.

Ответ: (.

Метод интервалов и различные приемы, основанные на его применении, также можно использовать и при решении алгебраических неравенств, содержащих параметры.

К примеру, рассмотрим неравенство Определить при каких значениях параметра , неравенство имеет решение.

Решение:

Функциянепрерывна в каждой точке своей области определения (это дробно–рациональная функция). . Найдем точки, в которых наша функция . Получили точки ,и (рис. 16).

Рис. 16

Ответ: при

Пример 2 [12]. Решить неравенство Определить при каких значениях параметра , неравенство имеет решение.

Решение: Для решения исходного неравенства воспользуемся приемом рационализации, учитывая основание логарифма и , запишем систему:

Поскольку и , рассмотрим два случая:

  1. Если , то и для того, чтобы неравенство было верно при любых значениях , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие . Тогда запишем систему:

  1. Если , то и , следовательно, при любых значениях не удовлетворяет условию неравенства .

Ответ:при .

Пример 3. Решить неравенство

Решение: Данное неравенство является иррациональным, поэтому для его решения воспользуемся приемом возведения обеих частей неравенства в натуральную степень.

Так как левая часть неравенства может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то возводить обе части неравенства без определенных условий в квадрат нельзя. Необходимо рассмотреть два случая: и , следовательно, неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:

Рассмотрим случаи, когда , и :

  1. Если , то решением системы является (рис. 16).

  2. Если , то решением системы является .

  3. Если , то решением системы также является.

Ответ:, при, при .

В заключительной части нашей работы мы рассмотрели, различные примеры алгебраических неравенств, в том числе и неравенств содержащие параметры, встречающихся в школьном курсе алгебры и начала анализа, а также показали методы их решения и детально изучили приемы, позволяющие упрощать неравенство, посредством равносильных преобразований.

Заключение

Целью курсовой работы было систематизация методов и приемов решения алгебраических неравенств и их применение при решении практических задач.

На начальном этапе нашего исследования мы рассмотрели простейшую классификацию типов алгебраических неравенств, встречающиеся в школьном курсе алгебры и начала анализа:

  1. Линейные неравенства;

  2. Квадратные неравенства;

  3. Рациональные и дробно-рациональные неравенства;

  4. Иррациональные неравенства;

  5. Показательные и логарифмические, сводящиеся к алгебраическим.

Для каждого типа неравенства из представленной классификации, изучили методы и приемы решения.

На основе материала, изученного в теоретической части, показали применение графического, аналитического и алгебраического метода (метода интервалов) для решения разных типов алгебраических неравенств. Поскольку одним из универсальных методов является метод интервалов, который позволяет решать целый класс неравенств, мы изучили различные приемы, основанные на его применении, и показали их применение не только для решения простейших алгебраических неравенств, но и неравенств, содержащих параметры.

Материал, изложенный в данной работе, может быть успешно использован обучающимися при решении заданий ЕГЭ и олимпиадных заданий повышенной сложности, так как он содержит подробные алгоритмы применения методов и приемов решения алгебраических неравенств, которые в большинстве случаев, вызывают трудности.

Список используемой литературы
  1. Антонов, В.И. Элементарная математика для первокурсника [Текст]: Учебное пособие для студентов вузов / В.И. Антонов, Ф.И. Копелевич. СПб.: «Лань», 2013. – 112 с.

  2. Белых, С.В. Справочник по математике [Текст]: Справочное пособие / С.В. Белых. Ростов н/Д.: «Феникс», 2015. – 224 с.

  3. Болтянский, В.Г. Лекции и задачи по элементарной математике [Текст]: Учебное пособие / В.Г. Болтянский. М.: «Наука», 1974. – 592 с.

  4. Гусев В. А. Математика [Текст]: Учебное пособие для учащихся средней школы / В.А. Гусев, А.Г. Мордкович. — М.: Просвещение, 1988.— 416 с.

  5. Гущин, Д.Д. Решу ЕГЭ [Электронный ресурс]: Образовательный портал. https://ege.sdamgia.ru/

  6. Егерев, В.К. Сборник задач по математике для поступающихся во втузы [Текст]: Учебник для вузов / В.К. Егерев, В.В. Зайцев. – М.: «Мир и образование», 2013. – 608 с.

  7. Звавич, Л.И. Алгебра в таблицах. 711 класс [Текст]: Справочное пособие / Л.И. Званевич, А.Р. Рязановский. М.: «Дрофа», 2012. – 95 с.

  8. Киселев, А.П. Алгебра [Текст]: Справочное пособие / А.П.Киселев. М.: «ФИЗМАТЛИТ», 2005. – 248 с.

  9. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала [Текст]: Учебное пособие для 9 – 10 кл. / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов и др. – М.: Просвещение, 1987. – 335 с.

  10. Колмогоров, А.Н. Алгебра и начала анализа [Текст]: учебник для 1011 кл. / А.Н. Колмагоров. М.: «Просвещение», 2001. – 384 с.

  11. Колягин, Ю.М. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс [Текст]: Учебное пособие для учащихся средней школы / Ю.М. Колягин. – М.: «Мнемозина», 2010. – 264 с.

  12. Кочетков, Е.С. Алгебра и элементарные функции [Текст]: Учебное пособие для учащихся средней школы / Е.С. Кочетков. .: «Просвещение», 1969. – 179 с.

  13. Крамор В.С. Задачи с параметрами и методы их решения [Текст]: Справочное пособие для вузов / В.С. Крамор. – М.: Оникс, 2007. – 416 с.

  14. Кытманов, А.М. Математика. Адаптационный курс [Текст]: Учебное пособие для вузов / А.М. Кытманов, Е.С. Лейнарта и др. СПб.: «Лань», 2013. 288 с.

  15. Макарычев, Ю.Н. Алгебра. 9 класс [Текст]: Учебник для обще-образоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, С.А. Теляковский. М.: «Просвещение», 2014. – 271 с.

  16. Мордкович, А.Г. Алгебра. 8 класс [Текст]: Учебник для обще-образоват. учреждений / А.Г. Мордкович. – М.: «Мнемозина», 2010. - 215 с.

  17. Мордкович, А.Г. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. 11 класс [Текст]: Учебник для обще-образоват. учреждений / А.Г. Мордкович, И.М. Смирнова. М.: «Мнемозина», 2015. 429 с.

  18. Мордкович, А.Г. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10 класс [Текст]: Учебник для обще-образоват. учреждений / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. М.: «Мнемозина», 2010. 311 с.

  19. Немченко, К.Э. Новейший полный справочник школьника: 5 – 11 классы [Электронный ресурс]: Справочное пособие. https://books.google.ru/books?id=EVCFAQAAQBAJ&pg=PA277&lpg=PA277

  20. Никольский, К.М. Алгебра. 9 класс [Текст]: учеб. для обще-образоват. учреждений / К.М. Никольский [и др.]. М.: «Просвещение», 2014. – 335 с.

  21. Пичурин, Л.Ф. За страницами учебника алгебры [Текст]: Учебное пособие для студентов вузов / Л.Ф. Пичурин. М.: «Просвещение», 1990. – 248 с.

  22. Стойлова, Л.П. Математика [Текст]: Учебное пособие для вузов / Л.П. Стойлова. – М.: «Академия», 1999. – 424 с.

  23. Стойлова, Л.П. Основы начального курса математики [Текст]: Учебное пособие вузов / Л.П. Стойлова, А.М. Пышкало. М.: «Просвещение», 1988. – 320 с.

  24. Фридман, Л.М. Как научиться решать задачи [Текст]: Учебное пособие для вузов / Л.М. Фридман. М.: «Едиториал», 2005. – 248 с.

  25. Хорошилова, Е.В. Элементарная математика: Теория чисел. Алгебра [Текст]: Учебное пособие для вузов / Е.В. Хорошилова. М.: «Москва», 2010. – 472 с.

  26. Цыпкин, А.Г. Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы [Текст]: Справочное пособие для вузов / А.Г. Цыпкин, А.И. Пинский. М.: «Оникс», 2007. – 640 с.

  27. Шестакова, С.А. ЕГЭ 2017. Математика. Неравенства и системы неравенств. Задача 15 (профильный уровень) [Текст]: Справочное пособие для учащ. средней школы / С.А. Шестакова. – М.:МЦНМО, 2017. – 352 с.

Просмотров работы: 1273