УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ЗНАК МОДУЛЯ - Студенческий научный форум

X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ЗНАК МОДУЛЯ

Ковылина А.А. 1
1Сургутский Государственный Педагогический Университет
 Комментарии
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение

Понятие абсолютной величины числа (модуля числа) является его существенной характеристикой как на множестве действительных, так и на множестве комплексных чисел.

Это понятие широко распространено в различных областях физико-математических и технических наук. Так, одно из фундаментальных понятий математического анализа – понятие предела – в своём определении содержит понятие модуля числа. Понятие абсолютной погрешности приближённого числа, которое является важнейшим понятием в теории приближённых вычислений, так же определяется через понятие абсолютной величины числа. Модуль вектора, является важнейшей характеристикой вектора, основного первоначального понятия в механике.

Термин «модуль» произошёл от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Толковый словарь терминов даёт следующее описание:

«Модуль – 1) название, даваемое какому-либо важному коэффициенту при величине; 2) абсолютная величина числа» [16].

Считается, что термин «модуль» предложил использовать ученик знаменитого учёного Исаака Ньютона, английский философ и математик Роджер Котс. Великий немецкий философ, математик, физик и изобретатель Готфрид Лейбниц так же в своих работах и трудах использовал функцию, которую называл «модулем». В начале девятнадцатого века французские учёные Жан Робер Арган и Огюстен Коши ввели данное понятие для комплексных чисел. Однако уже современное и общепринятое значение модуля как абсолютной величины было дано ещё в 1841 году выдающимся немецким математиком Карлом Вейерштрассом, в работах которого также появился символ модуля (||). Затем австрийский учёный Конрад Лоренц стал так обозначать длину вектора.

В элементарной математике задачи, в которых встречается модуль числа, занимают особое место. Встречаются уравнения и неравенства, а также графики функций, содержащие знак модуля. Задачи такого типа включены в контрольные измерительные материалы государственных итоговых аттестаций.

Таким образом, мы считаем, что изучение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля, является необходимым в курсе элементарной математики.

Изучению уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, посвящены работы следующих авторов: В. А. Далингер, И. И. Гайдуков, Ю. Н. Макарычев и др.

Целью нашего исследования является систематизация теоретического материала по теме «Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля» и его применение к решению задач.

Объект исследования – уравнения и неравенства.

Предмет исследования – уравнения и неравенства, содержащие знак модуля.

Методы исследования: анализ, синтез, обобщение, классификация, изучение литературы.

Объём и структура исследования определены логикой исследования. Общий объём исследования составляет 35 страниц, состоит из введения, теоретической части, практической части, заключения и списка источников.

Список обозначений:

□ ■ – начало и конец доказательства.

Теоретическая часть

Определение. Модулем (абсолютной величиной) действительного числа a называется само это число a, если a больше или равно нулю, или противоположное ему число если a меньше нуля.

Модуль числа а принято обозначать:

По определению:

Геометрически означает расстояние на координатной прямой от начала отсчёта до точки, изображающей число a(рис. 1).

Рис. 1

Если то на координатной прямой существует две точки a и , равноудаленной от нуля, модули которых равны.

Если то на координатной прямой изображается точкой 0.

Также геометрически величина означает расстояние между точками и

Теорема 1. Абсолютная величина действительного числа равна большему из двух чисел a или

□ 1. Если число a положительно, то отрицательно, т. е. Следовательно

В таком случае т. е. равен большему из двух чисел a и

2. Если a отрицательно, тогда положительно и т. е. большим числом является В этом случае, по определению, снова совпадает с большим из двух чисел и ■

Следствие 1. Из теоремы следует, что

□ В самом деле, как так и совпадают с большим из чисел и следовательно, равны между собой.

Также данное утверждение наглядно подтверждает геометрическое толкование смысла (см. рис. 1). ■

Следствие 2.Для любого действительного числа a справедливы неравенства

□ Умножая второе неравенство на (при этом знак неравенства меняется на противоположный), мы получим следующие утверждения: и справедливые для любого действительного числа а. Объединяя последние два неравенства в одно, получаем: ■

Теорема 2. Абсолютная величина любого действительного числа a равна арифметическому квадратному корню из , т. е.

□ В самом деле, если то, по определению модуля числа, будем иметь В свою очередь, при следовательно

Если тогда и значит и в этом случае ■

Теорема 3.Абсолютная величина суммы конечного числа действительных чисел не превосходит суммы абсолютных величин слагаемых, т. е.

□ Пусть – неотрицательные числа и – неположительные числа, где

Тогда

 

и

 

Сложив данные равенства и неравенства, получим:

(1)

или

(2)

Рассмотрим неравенство (1):

1. Если не все неположительные числа равны нулю, то будет иметь место строгое неравенство.

2. Если все неположительные числа – нули или то будет иметь место равенство. Очевидно, что при все слагаемые являются неотрицательными числами.

Рассмотрим неравенство (2), представив его в следующем виде:

1. Если не все неотрицательные числа равны нулю, то будет иметь место строгое неравенство.

2. Если или все слагаемые являются неположительными числами то будет иметь место равенство.

По определению модуля действительного числа, выражение

будет равно одному из двух выражений:

или

Тогда, принимая во внимание неравенства (1) и (2), получим:

Теорема 4.

□ По теореме 3 будем иметь:

учитывая, что теорема доказана. ■

Теорема 5.

□ Пусть и тогда, по теореме 3, и из чего следует и

По определению, выражение равно либо либо

Из чего следует, что

Так как и то т. е.

Следовательно, ■

Теорема 6. (теорема верна для любого конечного числа сомножителей).

□ 1. Если и или но или но то очевидно, что

2. Если и тогда и Следовательно,

3. Если и тогда и Следовательно,

4. Если и тогда и Следовательно и теорема доказана. ■

Теорема 7. где

□ 1. Если то и

2. Если и тогда Следовательно,

3. Если и тогда Следовательно,

4. Если и тогда Следовательно, и теорема доказана. ■

При анализе научных трудов по теме нашего исследования выяснилось, что часть авторов относят рассмотренные выше утверждения исключительно к свойствам модулей действительных чисел и не уделяют должного внимания их доказательству. Однако нам близка точка зрения И. И. Гайдукова, и мы полагаем целесообразным отнесение данных утверждений к теоремам о свойствах модуля, а также подробное рассмотрение их доказательств.

С учётом вышеизложенного выделим следующие основные свойства модуля:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

При решении уравнений и неравенств с модулем принято различать геометрический, алгебраический и графический способы решения.

Геометрическая интерпретация выражения как расстояния на числовой прямой между точками и позволяет решать задачи определённого типа графически, почти без выкладок.

Основным методом решения уравнений и неравенств с модулем является раскрытие модулей (алгебраический). Решение задач методом разбиения числовой прямой на интервалы с однозначным раскрытием всех модулей, входящих в уравнение или неравенство довольно прост, решение сводится к безошибочным алгоритмическим действиям. Однако мы придерживаемся точки зрения доктора педагогических наук, Виктора Алексеевича Далингера, который отметил, что весомым недостатком данного метода является громоздкость решения, что приводит к большой потере времени, которая в свою очередь является немаловажным фактором в условиях сдачи единого государственного экзамена [8].

Поэтому полезно использовать свойства модуля, а также удобно пользоваться правилами перехода к равносильной системе и (или) совокупности.

Начнём с наиболее простых равносильных переходов для уравнений и неравенств (таблица 1).

Таблица 1

Равносильные преобразования уравнений и неравенств вида

где ̶ некоторое число

           
 

решений нет

решений нет

решений нет

   
 

решений нет

       
           

Равносильные переходы при решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля следующие:

К основным равносильным преобразованиям при решении неравенств с модулем относят следующие:

Для нестрогих неравенств используются равносильные преобразования для соответствующих строгих неравенств.

Графический метод решения уравнений и неравенств подразумевает построение графиков функций, поэтому мы считаем обоснованным подробное рассмотрение способов построения графиков функций следующих видов:

Графики перечисленных функций строятся с помощью преобразования графика функции

которым в нашей работе будет являться кривая, изображённая на рис. 2.

Рис. 2

Функция является чётной, так как значит

Отсюда следует, что график этой функции симметричен относительно оси Следовательно, достаточно простроить график функции для а затем полученную в правой полуплоскости часть преобразовать на левую полуплоскость симметрично относительно оси

Так как графиком функции является кривая, изображённая на рис. 2, то графиком функции

будет кривая, изображённая на рис. 3.

Рис. 3

Под абсолютной величиной функции (т. е. под записью ) принято понимать функцию вида:

Отсюда вытекает практическое правило построения графика функции

Строим график функции (см. рис. 2), на участках, где он расположен в нижней полуплоскости, т. е. строим кривые, симметричные построенным относительно оси (рис. 4).

Рис. 4

Для того чтобы построить график функции

можно сначала построить график функции (см. рис.2), для Затем построенную часть симметрично отобразить относительно оси (см. рис. 3), после чего участки полученного графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовать на верхнюю полуплоскость симметрично оси (рис. 5).

Рис. 5

Графический способ является стандартным методом решения любых уравнений и, особенно, неравенств, в том числе содержащих переменную под знаком модуля. Данный метод можно заслуженно назвать наиболее эффективным и рациональным ввиду своей наглядности [8].

Для каждого вида уравнений и неравенств (линейных, тригонометрических и т.д.) можно составить уравнения и неравенства с модулем, однако наше исследование посвящено подробному рассмотрению способов решения рациональных уравнений и неравенств с одной переменной. Это оправданно тем фактом, что решение задач с модулем иных видов сводится к решению рациональных уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля и соответствующих элементарных уравнений и неравенств.

Практическая часть

При анализе научных трудов по теме нашего исследования выяснилось, что существует следующая типология уравнений и неравенств, соджержащий переменную под знаком модуля:

  • простейшие уравнения и неравенства с модулем;

  • уравнения и неравенства, содержащие композицию модулей [24].

В нашем исследовании мы придерживаемся вышеизложенной типологии.

Виды простейших уравнений и неравенств представлены в таблице 2.

Таблица 2

Простейшие уравнения и неравенства с модулем

Простейшие уравнения

Простейшие неравенства

   
   
   
   

Простейшие уравнения и неравенства решаются с помощью равносильных переходов, которые рассмотренны нами в теоретической части. При решении уравнений и неравнств, содержащих композицию модулей, с помощью равносильных преобразований последовательно применяются равносильные переходы при решении простейших уравнений и неравенств. Поэтому мы не будем приводить подробное решение уравнений и неравенств, относящихся к простейшим, а сразу перейдём к уравнениям и неравенствам, содержащим композицию модулей (сумму, разность, произведение, частное модулей, модуль в модуле и их различные сочетания).

Продемонстрируем геометрический, алгебраический и графический способы решений на одном из видов уравнений, содержащий знак модуля:

Способ 1. Начнём с основного, алгебраического, способа, т.е. решим уравнение методом последовательного раскрытия модулей.

Найдём нули каждого из выражений, стоящих под знаком модуля:

   

Числа и (нули модулей) разбивают числовую прямую на три промежутка (рис. 6).

Рис. 6

Определим знаки каждого из выражений, стоящих под знаком модуля, в каждом из промежутков. Составим таблицу знаков (таблица 3).

Таблица 3

Таблица знаков

Промежутки

Подмодульные

выражения

     
       
       

1) Если то имеем систему

Решение системы –

2) Если то имеем систему

Система не имеет решений.

3) Если то имеем систему

Решение системы –

Объединив решения всех пунктов, получаем решение исходного уравнения:

Ответ:

Способ 2 – графический.

В одной системе координат построим графики двух функций: и (рис. 7).

Графиком функции является ломаная (сплошная линия), для построения которой поступим одним из самых простых способов.

1) Найдём её вершины (абсциссы вершин – нули модулей).

Вершина Найдём значение функции при

Вершина Найдём значение функции при

2) Возьмём по одному значению – правее и левее абсцисс вершин и соответственно. Получим:

Точка

Точка

3) Соединим полученные точки ломаной:

В этой же системе координат строим график функции (пунктирная линия).

Графики функций пересекаются в двух точках, абсциссы которых являются решением уравнения.

Рис.7

Ответ:

Способ 3 – геометрический. Решим уравнение, используя геометрический смысл выражения как расстояния на числовой прямой между точками и

Чтобы было равно 10, необходимо и достаточно, чтобы точка была удалена от одного из концов отрезка (концы отрезка – нули модулей) на т. к. в этом случае равно длине отрезка плюс удвоенное расстояние от до ближнего конца, т.е. (рис. 8).

Рис. 8

По рисунку видно, что

Ответ:

Решение уравнений данного вида первым, алгебраическим, способом достаточно громоздкое, при этом данный способ является одним из самых простых и доступных. Графический метод так же не вызывает особых затруднений и является самым наглядным. Однако, стоит отметить, что наиболее рациональным способом решения уравнений (и неравенств) данного вида есть способ геометрический, т.к. он требует наименьшее количество выкладок, вместе с тем являясь наглядным.

Продемонстрируем три способа решений на следующем неравенстве, содержащем переменную под знаком модуля:

Способ 1 – метод последовательного раскрытия модулей (алгебраический).

Найдём нули каждого из выражений, стоящих под знаком модуля:

     

Числа и (нули модулей) разбивают числовую прямую на четыре промежутка (рис. 9).

Рис. 9

Определим знаки каждого из выражений, стоящих под знаком модуля, в каждом из промежутков. Составим таблицу знаков (таблица 4).

Таблица 4

Таблица знаков

Промежутки

Подмодульные

выражения

       
         
         
         

1) Если то имеем систему

Система не имеет решений.

2) Если то имеем систему

Решение системы – промежуток

3) Если то имеем систему

Решение системы – промежуток

4) Если то имеем систему

Система не имеет решений.

Объединив решения всех пунктов, получаем решение исходного неравенства: промежуток

Ответ:

Способ 2 – графический.

В одной системе координат построим графики двух функций: и (рис. 10).

Графиком функции является ломаная (сплошная линия), для построения которой поступим тем же способом, каким мы пользовались при решении предыдущей задачи (уравнения).

1) Найдём её вершины (абсциссы вершин – нули модулей).

Вершина Найдём значение функции при

Вершина Найдём значение функции при

2) Возьмём по одному значению – правее и левее абсцисс вершин и соответственно. Получим:

Точка

Точка

3) Соединим полученные точки ломаной:

Рис. 10

В этой же системе координат построим график функции (пунктирная линия), используя правило построения графиков функций вида

На интервале график функции расположен под графиком функции а это означает, что неравенство для данных значений справедливо.

Ответ:

Способ 3 – метод перехода к равносильной системе и (или) совокупности.

Решением системы является промежуток

Ответ:

Как отмечалось выше, основным методом решения уравнений и неравенств с модулем является последовательное раскрытие модулей, однако решение зачастую получается громоздким, поэтому мы рассмотрим приёмы, упрощающие решение.

Подемонстрируем решение уравнений с помощью замены

Пример 1.

Решение. Поскольку удобно сделать замену Получаем:

Обратная замена:

Ответ:

Пример 2.

Решение. Преобразуем неравенство:

Сделав замену получаем неравенство:

Обратная замена:

Ответ:

Рассмотрим пример,в решении которого так же используется свойство модуля:

Пример 3.

Решение. Приведём дроби к общему знаменателю и разложим получившихся в числителе трёхчлен на множители, используя вышеупомянутое свойство:

Учитывая, что при всех значениях получаем при условии

Тогда

Ответ:

Продемонстрируем решение уравнений, содержащих модули неотрицательных выражений.

Пример 4.

Решение. Рассмотрим выражение

и преобразуем его к виду

Очевидно, что числитель дроби при любых значениях переменной является положительным числом. Значит дробное выражение положительно, если (т.к. ). Преобразуем полученное выражение, при условии . Получим систему, равносильную исходному уравнению:

Решив данную систему получим ответ

Ответ: .

Пример 5.

Решение.Поскольку левая часть уравнения неотрицательна, при всех допустимых значениях переменной, на множестве корней уравнения правая его часть тоже должна быть неотрицательной, отсюда условие , на этом промежутке знаменатели обеих дробей равны. Получим систему равносильную исходному уравнению:

решив которую получим ответ

Ответ:

Рассмотрим решение уравнений и неравенств с использованием тождества:

Пример 6.

Решение. Дважды применим тождество

Полученное уравнение нетрудно решить одним из основных методов, таким образом получив ответ исходного уравнения

Ответ:

Пример 7.

Решение. Свернём подкоренные выражения слагаемых по формулам квадратов суммы и разности и применим вышеупомянутое тождество:

.

Ответ:

Продемонстрируем решение неравенства, применяя теорему о знаках, формулировка которой следующая: знак разности модулей двух выражений совпадает со знаком разности квадратов этих выражений.

Пример 8.

Решение.Воспользуемся вышеизложенной теоремой:

Используя формулу разности квадратов, разложим числитель и знаменатель на множители и решим полученное рациональное неравенство.

Ответ:

Рассмотрим решение неравенства путём домножения на положительных множитель.

Пример 9.

Решение.«Ловушка» заключается в том, что в задаче имеется несколько модулей, раскрывать которые – значит, получить громоздкое решение. Умножим дробь на некоторое выражение, принимающее лишь положительные значения и такое, чтобы упростить исходное неравенство:

Решив полученное рациональное неравенство методом интервалов получим решение первоначального неравенства

Ответ:

Уравнения и неравенства с модулем, содержащие параметры рационально решать одним из основных методов, а именно графическим.

Продемонстрируем решение сложной задачи с параметром, содержащую уравнение с модулем.

Задача. Найти такие значения параметра , при которых уравнение имеет ровно корней [4].

Решение. Построив график функции используя правило построения графиков функций вида и рассмотрев все случаи, в зависимости от параметра легко увидеть, что искомое равенство достигается только в случае (рис. 11).

Рис. 11

Ответ:

Таким образом, мы продемонстрировали многообразие способов и приёмов решения уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, и выделили наиболее рациональные в тех или иных случаях.

Заключение

В данной работе изложены вопросы, касающиеся понятия абсолютной величины числа, уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.

Выделена типология уравнений и неравенств, содержащих знак абсолютной велечины:

  • простейшие уравнения и неравенства с модулем;

  • уравнения и неравенства, содержащие композицию модулей.

Обобщение методов, используемых в решении задач по теме нашего исследования, позволило выделить следующие приёмы, упрощающие решение уравнений и неравенств с модулем:

  • использование геометрического смысла модуля;

  • применение правил перехода к равносильной системе и (или) совокупности;

  • использование замены в основе которой лежит свойство модуля:

  • использование тождества:

  • применение теоремы о знаках;

  • домножение на положительный множитель.

Приведённая типология задач, а также описанные приёмы и методы могут быть использованы в разработке методических рекомендаций к проведению факультативных занятий по алгебре в курсе средней общеобразовательной школы, а также на уроках в школах и классах с углублённым изучением математики.

Список использованных источников
  1. Антипина, Н. М. Вступительные экзамены в вузы [Текст] / Н. М. Антипина, М. М. Рассудовская // Математика в школе. – 2003. – № 2 – С. 33-36

  2. Виленкин, Н. Я. Алгебра. 9 класс: Учебник для школ и классов с углубленным изучением математики [Текст] / Н. Я. Виленкин, Г. С. Сурвилло, А. С. Симонов, А. И. Кудрявцев – 7-е изд. – М.: Просвещение, 2006. – 369 с.

  3. Гайдуков, И. И. Абсолютная величина: пособие для учителей [Текст] / И. И. Гайдуков. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1968. – 96 с.: ил.

  4. Глебова, М. В. Пособие по элементарной алгебре в 2 ч. Ч. 1 : учебно-методическое пособие [Текст] / М. В. Глебова. – Пенза: ПГПУ им. В. Г. Белинского, 2012. – 76 с.

  5. Глейзер, Г. И. История математики в школе. Пособие для учителей [Текст] / Г. И. Глейзер; под ред. В.Н. Молодшего. - М.: Просвещение, 1964. – 376 с.

  6. Голубев, В. Школа решения нестандартных задач. Занятие 3. Нестандартная техника решения неравенств с модулем [Текст] / В. Голубев // Математика. – 2005. – №5 – С. 24-31.

  7. Голубев, В. Школа решения нестандартных задач. Занятие 5. Сумма модулей [Текст] / В. Голубев // Математика. – 2005. – №12 – С. 41-48.

  8. Далингер, В. А. Различные способы решения неравенств вида [Текст] / В. А. Далингер, Е. А. Пустовит // Ученые записки ЗабГГПУ. – 2012. – № 6 – С. 124-128.

  9. Звавич, Л. И. Алгебра. 9 класс: задачник для учащихся общеобразоват. учреждений [Текст] / Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский, П. В. Семенов. – М.: Мнемозина, 2008. – 336 с.

  10. Зеленский, А. С. Использование специально сконструированных ошибочных и нерациональных решений задач для повторения и коррекции знаний учащихся [Текст] / А. С. Зеленский // Математика в школе. – 2012. – № 2 – С. 24-33

  11. Зеленский, А. С. Комментарии к задаче С5 из демонстрационного варианта ЕГЭ-2012 [Текст] / А. С. Зеленский // Математика в школе. – 2012. – № 4 – С. 27-28

  12. Иванова, Е. Ю. Об одном способе решения задач с модулем [Текст] / Е. Ю. Иванова // Математика в школе. – 2001. – № 4 – С. 53-54

  13. Канунников, А. Л. Уравнения и неравенства: методическая разработка для учащихся заочного отделения Малого механико-математического факультета [Текст] / А. Л. Канунников. – М.: Издательство ЦПИ при механико-математическом факульете МГУ, 2008. – 64 с.: ил.

  14. Карпик, В. В. Модуль действительного числа [Текст] / В. В. Карпик // Математика. Всё для учителя! – 2013. – № 7 – С. 17-21

  15. Макарычев, Ю. Н. Алгебра. 9 класс: Учебник для школ и классов с углубленным изучением математики [Текст] / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков – 6-е изд. – М.: Мнемозина, 2007. – 439 с.: ил.

  16. Математические термины: справ.-библиогр. словарь [Текст] / сост. Картавов С. А. - К. : Выш. шк. головное изд-во, 1988. – 295 с.

  17. Мордкович, А. Г. Алгебра. 9 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений [Текст] / А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев. – М.: Мнемозина, 2008. – 255 с.

  18. Решу ЕГЭ. Образовательный портал для подготовки к экзаменам. Математика. Профильный уровень [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/

  19. Садовничий, Ю. В. ЕГЭ. Практикум по математике: Решение уравнений и неравенств. Преобразование алгебраических выражений [Текст] / Ю. В. Садовничий. – М.: Издательство «Экзамен», 2015. – 128 с.

  20. Садовничий, Ю. В. ЕГЭ. Практикум по математике: Решение уравнений и неравенств. Преобразование алгебраических выражений [Текст] / Ю. В. Садовничий. – М.: Издательство «Экзамен», 2014. – 128 с.

  21. Садовничий, Ю. В. ЕГЭ. Практикум по математике: Решение уравнений и неравенств. Преобразование алгебраических выражений [Текст] / Ю. В. Садовничий. – М.: Издательство «Экзамен», 2012. – 128 с.

  22. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / В. К¸ Егерев, В. В. Зайцев, Б. А. Кордемский и др.; Под ред. М. И. Сканави. – 6-е изд. – М.: ООО «Издательство «Мир и Образование»: ООО «Издательство «ОНИКС-ЛИТ», 2013. – 608 с.: ил.

  23. Шестаков, С. Решаем неравенства. 2.3 Неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (модуля) [Текст] / С. Шестаков // Математика. – 2015. – № 2 – С. 56-60

  24. Шестаков, С. Решаем неравенства. 2.3 Неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (модуля). Более сложные неравенства [Текст] / С. Шестаков // Математика. – 2015. – № 3 – С. 56-62

  25. Яковлев, И. В. Уравнения и неравенства с модулем [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://mathus.ru/math/modul.pdf

Просмотров работы: 676