ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ - Студенческий научный форум

X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ

Тумба Н.Д. 1, Седакова В.И. 1
1СурГПУ
 Комментарии
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Понятие процента приводится в математике, а так же в других областях в качестве частного вида десятичной дроби или сотой части целого, которое берется за единицу.

Слово «процент» происходит от латинского «pro centum», что означает «на сотню» [1, С. 50].

С. И. Ожегов в своем толковом словаре даёт следующее определение данному термину:

«Процент – 1) Сотая доля числа, принимаемого за целое (обозначается знаком %). 2) Количество, измеряемое в сотых долях чего-нибудь принятого за единицу. 3) Плата за пользование взятыми в ссуду деньгами, уплачиваемая кредитным учреждением или заемщиком кредитору. 4) Вознаграждение, начисляемое кому-нибудь в зависимости от оборота, дохода предприятия» [17, С. 668].

Первое современное упоминание о проценте можно найти в кодификации римского права «Дигестах Юстиниана» от V в. [4]. Но употребление этого термина, как нормы русского языка, начинается с конца XVIII в. Этот факт описал О. О. Барабанов в своем сравнительном анализе текстов двух фундаментальных учебников по математике Е. Войтяховского (1795 г.) и Т. Ф. Осиповского (1802 г.). Оба данных учебника содержат несколько задач на проценты, но Е. Войтяковский оперирует лишь сотыми долями, а Т. Ф. Осиповский употребляет термин «процент».

В элементарной математике с понятием процент связаны, в основном, текстовые задачи. Задачи, решаемые с помощью процентов, могут быть с экономическим содержанием, на концентрацию (на смеси, на сплавы), на процентное соотношение, на нахождение числа от процента или процента от числа.

Изучению видов задач на проценты, способов и методов их решения посвящена данная работа по теме «Задачи на проценты».

Объект исследования – текстовые задачи.

Предмет исследования – способы решения задач на проценты.

Цель исследования – систематизация теоретического материала по теме «Задачи на проценты» и его применение на практике.

Теоретическая часть

Где же встречаются проценты в нашей жизни? Это не только в учебниках по математике, но и вокруг нас. Возьмите любой продукт из магазина, на упаковке вы увидите этот символ «%». Стоит включить телевизор и сразу в рекламе звучит фраза: «Скидки ...», «Снижение цен на …». В телевизионных новостях часто речь идёт о повышении/понижении зарплат, пенсий, стипендий, налогов и т. д.

А если обратиться в банк, то проценты просто «окутают» вас: ставки, кредиты, рассрочки, ипотека и многое другое. Да даже просто отправив или получив посылку, мы столкнемся с процентом, который получает почта от нашей посылки. Ну и, конечно же, результаты ОГЭ и ЕГЭ, ведь после окончания экзаменов, появляется статистика в процентах, по которой можно посмотреть, входят ли баллы выпускника в средний балл, чтобы поступить в тот или иной ВУЗ. И так, проценты везде, они буквально во всех сферах нашей жизни и разбираться в них просто необходимо.

Прежде чем научиться решать сами задачи, необходимо разбираться и понимать формулировки этих задач. Часто, одно и то же условие может быть записано по-разному и сбить с толку.

Например, увеличение в раза и увеличение на это одно и то же условие. Так, увеличение на – это увеличение в раза, увеличение на 200% – это увеличение в 3 раза, уменьшение на – это уменьшение в раза. Понимание разных форм выражения одного и того же условия значительно облегчит решение задач.

Так же, для успешного решения задач на проценты полезно запомнить следующие формулы:

  1. Если значение а выросло на , то новое значение будет 

  2. Если значениес уменьшилось на , то новое значение будет

.

Если  больше  на , то  отсюда  (эта формула даёт ответ на вопрос: на сколько процентов больше, чем ).

  1. Если В меньше А на q%, то  отсюда  (эта формула даёт ответ на вопрос: на сколько процентов меньше, чем ).

Здесь нужно запомнить, что если больше на , то это не означает, что меньшена .

В элементарной математике проценты употребляются для сравнения однородных положительных количеств.

Один процент – это, по определению, одна сотая часть:

Соответственно,

Один процент от количества – это одна сотая часть количества :

от равен .

Соответственно,

от равен , (1)

где – безразмерное число.

Вместо « составляет процентов от » говорят еще: «Процент от есть ».

Как видно из формулы (1), процентом задается коэффициент

перед данным количеством .

Процент всегда выступает в роли коэффициента-сомножителя перед некоторым количеством.

Чтобы сократить запись процентов, существует величина «промилле» - тысячная часть числа. Ее обозначают ‰.

Все задачи на проценты, по мнению О. О. Баранова [3, С. 51], сводятся к разрешению семи шаблонных вопросов (вычисление количества по процентам) и (вычисление процентов по количествам). Рассмотрим предложенные шаблонные вопросы и решение задач на использование этих шаблонов.

Вычисление количеств по процентам.

Первая группа шаблонных вопросов относится к той ситуации, когда даны и некоторый процент . Требуется найти количество, которое этот процент дает.

Вопрос .

Каково количество, составляющее от ? (Найти количества это найти от количества ).

Формула ответа:

.

Обсуждение. Здесь ключевое слово «От». То, что стоит за ним, принимается за базу в и подвергается умножению на коэффициент .

Для быстрого ответа на вопрос нужно знать, что:

Задача 1. В городе N, с численностью 420 тыс. человек, состоялись выборы в городскую думу. В самих выборах приняли участие 70% избирателей. За партию «КПРФ» проголосовали только 10% от числа принявших участия в выборах. Сколько жителей проголосовали за эту партию?

Решение. По условию задачи, в выборах приняли участие только

человек. Из них человек проголосовали за партию «КПРФ».

Ответ: 29 400.

Вопрос .

Какого количество, от которого есть ?

Формула ответа:

Обсуждение. Вопросы иродственны.

Первый способ: пусть искомое количество (в данном случае это стопроцентная база) есть . Тогда мы находим в ситуации вопроса :

Отсюда получаем формулу ответа на вопрос

Второй способ: если на приходится , то один процент от неизвестного количества есть , соответственно неизвестное количество (искомая стопроцентная база) есть

Задача 2. При переработке нефти получается 32% бензина. Сколько нужно переработать нефти, чтобы получить 840 л бензина?

Решение. л.

Ответ: .

Вопрос .

Каково количество, большее чем , на ? (Найти количество, превосходящее на ).

Формула ответа:

Обсуждение. Здесь ключевое слово «чем». То, что стоит за ним, принимается за базу в . В данном случае стопроцентная база – это Разница между неизвестным количеством и базой составляет, по условию, от , что по формуле ответа на вопрос дает . В результате искомое количество есть . Если в задаче отсутствует союз «чем», нужно переформулировать вопрос с участием этого союза и следующее за союзом «чем» количество принять за базу в .

Задача 3. В России средний размер пенсии составляет руб. В г. ожидается повышение на Сколько составит выплата после повышения?

Решение. руб.

Ответ: руб.

Вопрос .

Каково количество, меньшее чем , на ?

Формула ответа:

Обсуждение. Здесь ключевое слово «чем». То, что стоит за ним, так же, как в предыдущем случае, принимается за стопроцентную базу, и т.п.

Если ответ на вопрос приведет к отрицательному числу, то искомое количество следует считать несуществующим, а сам вопрос некорректным.

Задача 4. В магазине бытовой техники цена на холодильник снизилась на . Во сколько обойдется эта покупка, если первоначальная цена составляет руб.?

Решение. руб.

Ответ: .

Вычисление процентов по количествам.

Вопрос .

Сколько процентов составляет от ?

Форма ответа:

Обсуждение. Здесь ключевое слово «от». То, что стоит за ним, принимается за стопроцентную базу и записывается в знаменатель.

Задача 5.Из 20-процентного раствора поваренной соли испарилось 25% имеющейся в растворе воды. Найдите концентрацию получившегося раствора [5].

Решение. Пусть начальная масса раствора. По формуле соль составляет . Также по этой формуле останется воды:

.

Искомый процент равен .

Ответ: 25%.

Вопрос .

На сколько процентов больше, чем ?

Форма ответа:

Обсуждение. Здесь ключевое слово «чем». То, что стоит за ним, принимается за стопроцентную базу и записывается в знаменатель.

Задача 6.Цены на промышленность и продовольственные товары снизились на 25%. На сколько процентов повысилась реальная заработная плата [14]?

Решение. Реальная заработная плата – это сколько товаров можно купить на зарплату, составляющую в денежном выражении; в денежном выражении заработная плата не менялась. Опираясь на сказанное, получим: до снижения цен ; после снижения цен , где , - соответствующие цены. Искомая доля есть

По формуле . Поэтому искомый процент есть .

Ответ: на .

Вопрос .

На сколько процентов меньше, чем ?

Форма ответа:

Обсуждение. Конструкция ответа аналогична предыдущей ситуации. Следует отметить, что при формальных ответах на вопросы могут получаться отрицательные проценты.

Задача 7.Во время предвыборной кампании социологический центр «ЗЕВС» поднял цену социологических исследований на 300%. Но отсутствие спроса заставило вернуться к прежнему уровню цен. На сколько процентов была снижена цена [13]?

Решение. Пусть а – первоначальная цена социологический исследований. Тогда по формуле цена после повышения станет равна . Процент последующего снижения цены окажется равен .

Ответ: на .

Умение решать задачи на проценты – это, в первую очередь, умение быстро и без колебаний переводить ту или иную словесную формулировку с участием процентов в соответствующую математическую формулировку

В этом могут помочь тренинг-таблицы 1 и 2.

Таблица 1

Тренинг-таблицаК

p%

А

Количество,

составляющее p% от А

Количество,

p% которого

есть А

Количество, большее А

на p%

Количество, меньшее А

на p%

           

Таблица 2

Тренинг-таблицаП

А

В

Сколько % составляет

А от В

Сколько % составляет

В от А

На сколько % А больше, чем В

На

сколько %

В больше,

чем А

На сколько % А меньше, чем В

На

сколько % В меньше, чем А

               

Нами были рассмотрены только простые проценты, но помимо них есть и сложное проценты, чаще всего используемые в экономике, банковском деле. В своей статье А.С. Симонов сложным процентом называет способ расчета банка с вкладчиком, при котором проценты начисляются «на проценты» [19]. Если вкладчик не снимает со счета сумму начисленных процентов, то эта сумма присоединяется к основному вкладу, а в конце следующего года банк будет начислять p% уже на новую, увеличенную сумму. Сама операция присоединения начисленных процентов к основному вкладу называется капитализацией процентов. Существует формула сложных процентов при условии, что годовая ставка остается неизменной:

где - первоначальный вклад, - количество лет.

Рассмотрим задачи на сложные проценты.

Задача 8. В банк внесена сумма 50 000 руб. Банк начисляет сложные проценты по ставке годовых. Какая сумма будет на счете вкладчика через 8 лет [19]?

Решение. Применим формулу (2) при руб., , лет. Тогда

Ответ: руб.

Задача 9. В банк внесен вклад 64 000 руб. на три года. Какова годовая ставка сложных процентов, если через три года на счете вкладчика оказалось 216 000 руб. [19]?

Решение. При руб., руб. и из формулы (2) найдем . Имеем:

Ответ:

Редакционная коллегия в лице П. И. Соверткова, В. И. Седаковой и Л. Н. Носовой в сборнике кафедры высшей математики и информатики СурГПИ [1, С. 76] предлагает свой вариант решения задач на проценты, основываясь на формуле сложных процентов. Рассмотрим их подход и примеры задач.

Пусть – начальный капитал, - процентная ставка в банке в 1-ый, 2-ой, …, n-ый год. Тогда после 1-го года

после 2-го года

после n-го года

Если то после n-го года , если происходит уменьшение на P, то имеем .

Задача 10. При двух последовательных одинаковых повышениях заработной платы сумма 10 000 рублей обратилась в рублей. Определить на сколько процентов повышалась заработная плата.

Решение.

Ответ: на

Задача 11. После двух последовательных повышений цена на телевизоры увеличилась на от первоначальной цены. На сколько процентов повысилась цена в первоначальный раз, если во второй раз повышение было вдвое больше первого (в процентном отношении).

Решение.

Обозначим , тогда .

Учитывая, что , получаем .

Ответ: на

Задача 12. Как изменится цена товара, если ее сначала увеличили на , а затем уменьшили на ?

Решение.

т.е. цена уменьшается на величину . Тот же результат получится, если сначала цену уменьшить на , а затем увеличить на .

Ответ: цена уменьшается на величину .

Задача 13. Цену на товар увеличили последовательно на и На сколько процентов увеличилась первоначальная цена?

Решение.

Ответ: на

Во многих источниках, разные авторы представляют свою классификацию задач на проценты. Проанализировав их, мы выделили 7 типов.

  1. Нахождение процента от числа;

  2. Нахождение числа по проценту;

  3. Нахождение процентного отношения двух чисел;

  4. Увеличение числа на процент;

  5. Уменьшение числа на процент;

  6. Задачи на простые проценты;

Простые проценты начисляются многократно, но всякий раз к исходной сумме. Если обозначить исходную сумму за а, сумму, которая наращивается – S, процентную ставку – х% и количество периодов начисления процента – у, то получим следующую формулу:

.

  1. Задачи на сложные проценты.

Сложные проценты начисляются не к исходной сумме, а к сумме с уже начисленными раньше процентами. Пусть – наращиваемая сумма, а – исходная, - процентная ставка, – количество периодов начисления процента. Получим следующую формулу:

.

Нами была рассмотрена основная, классическая, классификация задач на проценты. Мы, проанализировав сборники задач, учебники и другую литературу, предлагаем свою классификацию по содержанию.

Все задачи на проценты можно распределить на типы в зависимости от ее фабулы. Предполагаем такие задачи:

  1. Проценты в жизненных ситуация (бытовые);

  2. Проценты и банковские операции (экономические);

  3. Задачи здоровье сберегающей направленности;

  4. Задачи на концентрацию и процентное содержание;

  5. Задачи на военно-историческую тематику;

  6. Задачи экономико-географического содержания.

Первая тема включает в себя задачи на стоимость товаров, процент прибыли, заработной платы, штрафы, тарифы и т.д.

Во второй теме будут рассматриваться задачи, связанные с банковскими расчетами: вычислением процентных ставок в банках, процентным приростом, определением начальных вкладов, суммы вклада и сроков вклада.

К задачам, направленным на здоровье сбережение, относят те задачи, которые направлены на воспитание культуры правильного питания, нетерпимости к вредным привычкам, а так же на расширение знаний о путях укрепления своего здоровья.

Задачи на концентрацию и процентное содержание включают в себя задачи на составление сплавов, растворов, смесей двух или нескольких веществ.

В задачах на военно-историческую тематику содержатся задачи на поражающий фактор военной техники и оружия, а так же на потери в исторических сражениях.

Задачи экономико-географической темы содержат задачи на валовой внутренний продукт (ВВП), а так же на природно-климатические зоны регионов и мира в целом и т.д.

Усвоив основные правила решения задач на проценты, и выучив несколько формул, этот раздел математики будет даваться вам без труда и пригодится не только в математике, других дисциплинах, но и в повседневной жизни.

Практическая часть

В XVIII веке содержание задач отличалось от современных, а значит и способы решения этих задач были иными. В основном, это были задачи на залоги, кредиты и торги. Рассмотрим три задачи того периода, с сохранением авторского языка.

Задача 14. Купец торговал положенными в торг 100 рублями с убытком, так что оставшаяся сумма после первого года без всего (начального) капитала, равна оставшейся сумме после двух лет. Спрашивается: поскольку он получит убытка от 100 руб. в каждый год [9]?

Ответ: 80 или 20 руб.

Задача 15. Отдан в ломбард капитал aпод pпроцентов; проценты сии в ломбардах оставляются, причисляя их к капиталу, и сверх сего вносится еще ежегодно по bруб. Спрашивается: сколь велик весь капитал будет по истечении nлет [18, С. 179]?

Ответ: , где .

Задача 16. Положим, например, что отдан в ломбард капитал, состоящий из 10 000 рублей по 5 процентов, и ежегодно еще вносится по 800 рублей. Спрашивается: после 12 лет сколь велик капитал сей будет [18, С. 181]?

Ответ: 30 692 руб. 26 коп.

В современном же мире задачи на проценты рассматриваются не только в экономике, но и в других областях. В теоретической части нами была рассмотрена классификация задач на проценты, взятая из различных источником и предложена своя классификация. Мы предлагаем, составленные нами, задачи на каждый тип, связанные с нашей страной, округом, районом.

  1. Нахождение процента от числа.

Задача 17. Сургутский процессинговый центр изготовил 600 приборов. 10% приборов не смогли пройти контроль качества. Сколько приборов не смогли пройти этот контроль?

Решение. Нужно найти от общего числа изготовленных приборов, т.е. от ; ;

Ответ: приборов не смогли пройти контроль качества.

  1. Нахождение числа по проценту.

Задача 18. При подготовке к ЕГЭ по математике, ученик 11 класс решил задание из сборника вариантов подготовки к экзамену, что составило числа всех заданий. Сколько всего заданий в сборнике?

Решение. Нужно найти число заданий, которое составляет

 отсюда выражаем .

Ответ: задания в сборнике.

  1. Нахождение процентного отношения двух чисел.

Задача 19. В Сургуте бассейнов. Из них три бассейна находятся в образовательных учреждениях: МБОУ СОШ № 9, МБОУ СОШ № 46 и МБОУ Гимназии Лаборатории Салахова. Сколько процентов бассейнов находятся в школах города Сургута?

Решение. Нужно найти процент числа бассейнов, находящихся в школах. Бассейны есть только в трех школах.

 отсюда выражаем x.

Ответ: бассейнов находятся в школах города.

  1. Увеличение числа на процент.

Задача 20. Средний балл за ЕГЭ по математике в году составлял . В средний балл увеличился на Какой средний балл за ЕГЭ по математике был в году? Ответ округлите до десятых.

Решение. Воспользуемся формулой , обозначив за – средний балл года, а за – средний балл года.



Ответ: средний балл за ЕГЭ по математике в году составил балла.

  1. Уменьшение числа на процент.

Задача 21. На август года средняя цена на топливо АИ-92 по г. Сургуту составляло руб. На март года цена уменьшилась на Сколько составляет средняя цена топлива АИ-92 на март года?

Решение. Воспользуемся формулой  обозначив за – среднюю цену топлива на март года, а за – среднюю цену топлива на август года. Ответ округлите до десятых.



Ответ: Средняя цена топлива АИ-92 на март года составляет руб.

  1. Задачи на простые проценты.

Задача 22. Родители взяли кредит в Сургутнефтегазбанке на сумму руб. с ставкой на 1 год. Сколько нужно будет заплатить банку через год, если банк начисляет простые проценты?

Решение. Воспользуемся формулой , обозначив за а – руб., за y – год, т. е. месяцев, за х



Ответ: руб. нужно будет заплатить банку через год.

  1. Задачи на сложные проценты.

Задача 23. Родители взяли кредит в Ханты-Мансийском банке на сумму руб. с ставкой на месяца. Сколько нужно будет заплатить банку через год, если банк начисляет сложные проценты?

Решение. Воспользуемся формулой , обозначив за а – ., за месяца, за

.

Ответ: руб. нужно будет заплатить банку через год.

Рассмотрим примеры задач на нашу классификацию.

  1. Проценты в жизненных ситуация (бытовые);

Задача 24. Власти планируют повысить штрафы за тонировку летом года. Итоговая стоимость санкций может достичь тыс. руб., что на выше текущего уровня. Найдите сумму штрафа на текущий период.

Решение. Пусть – сумма штрафа на текущий период. После повышения будет составлять , отсюда находим .

Ответ: Сумма штрафа за тонировку на данный период составляет 500 рублей.

  1. Проценты и банковские операции (экономические);

Задача 25. Анатолий Васильевич взял в начале года в банке кредит в 2 млн. рублей на пять лет. Условия погашения долга следующие: долг будет погашаться пятью платежами в конце каждого из пяти лет; имеющийся в начале года дог (начиная с первого года) будет в конце года увеличиваться на 10%; в конце года после начисления процентов часть долга необходимо погасить в таком размере, чтобы остаток был равен сумме, указанной в таблице 3.

Таблица 3

Величина долгов по годам

Год

1

2

3

4

5

Величина долга в рублях

1600 000

1200 000

800 000

400 000

0

На сколько процентов от взятого кредита общая сумма выплат превысит величину кредита [20, С. 148]?

Решение. Оформим в таблицу 4.

Таблица 4

Условия погашения долга

Величина долга на начало года

Увеличение долга на 10%

Величина платежа до указанного остатка

Остаток долга

1 год, 2 млн.

2,2 млн.

600 тыс.

1,6 млн.

2 год, 1,6 млн.

1,76 млн.

560 тыс.

1,2 млн.

3 год, 1,2 млн.

1,32 млн.

520 тыс.

0,8 млн.

4 год, 0,8 млн.

0,88 млн.

480 тыс.

0,4 млн.

5 год, 0,4 млн.

0,44 млн.

440 тыс.

0 млн.

   

 = 2,6 млн.

 

Переплата составила 0,6 млн. рублей, процент переплаты .

Ответ: на 30% от взятого кредита общая сумма выплат превысит величину кредита.

  1. Задачи здоровье сберегающей направленности;

Задача 26.Одна сигарета разрушает 5% дневной нормы витамина С. Дневная норма приема витамина С – 50 мг. Сколько витамина ворует у себя тот, кто выкуривает 14 сигарет в день?

Решение. Одна сигарета разрушает мг. дневной нормы витамина С. Соответственно 14 сигарет мг.

Ответ: Человек, выкуривающий 14 сигарет, разрушает в себе 35 мг. витамина С.

  1. Задачи на концентрацию и процентное содержание;

Задача 27.Имеются два сплава, в одном из которых содержится в другом олова. Сколько нужно взять первого и второго сплава, чтобы получить кг нового сплава, содержащего олова?

Решение. Пусть - масса первого сплава, тогда в нем содержится олова. Масса второго сплава , олова в нём будет . Составим уравнение:

Ответ: 3 кг первого и 7 кг второго.

  1. Задачи на военно-историческую тематику;

Задача 28.Во время наступательной операции бригада солдат разделилась на три батальона: первый батальон составлял бойцов, другой на бойцов меньше, а в третьем батальоне солдат было на меньше, чем в первом и во втором вместе взятых. Какова общая численность бригады солдат?

Решение. Во втором батальоне бойцов, в третьем батальоне бойца. Тогда всего бойцов .

Ответ: общая численность бригады составляет 924 бойца.

  1. Задачи экономико-географического содержания.

Задача 29.Площадь Ханты-Мансийского автономного округа – Югры составляет км2. Территория, не занятая лесами, составляет . Какова площадь лесистой местности округа?

Решение. Лесистая местность округа занимает , что составляет км2.

Ответ: в Ханты-Мансийском автономном округе 278 096 км2 занимают леса.

Задачи на проценты, как и многие другие задачи можно решить несколькими способами. Рассмотрим несколько примеров из сборника тренировочных материалов для подготовки к ЕГЭ по математике.

Задача 30. Тимофей хочет взять кредит в 1,1 млн. рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней суммы) после начисления процентов (т.е. увеличения долга на фиксированное число процентов). Цена кредита – 10% годовых. На какое минимальное количество лет может взять кредит Тимофей, чтобы ежегодные выплаты были не более 270 тыс. рублей [20, С. 124]?

Решение. Проблема состоит в том, чтобы найти неравенство наименьшей степени вида , или или , в общей случае где S – величина взятого кредита, x – величина ежегодного платежа, . Понятно, что минимальное количество лет погашения кредита будет при максимальном ежегодном платеже, т.е. надо взять рублей. Прикидка показывает, что за 4 года по 0,27 млн. кредит не выплатить, значит, надо проверять и т.д. Проверка показывает, что 5 не удовлетворяет неравенству, а 6 удовлетворяет.

Второй способ решения.

Второй способ основан на прямых вычислениях. В конце первого года, после увеличения долга в 1,1 млн. рублей на 10%, т.е. в 1,1 раза и выплате 0,27 млн. рублей долг станет равным: (млн. рублей). В конце второго: .

Поместим вычисления в таблицу 5:

Таблица 5

Сумма долгов по годам

1 год

 

2

 

3

 

4

 

5

 

6

 

Таким образом, кредит будет погашен за 6 неполных лет. При заданных ограничениях это минимальное количество лет погашения.

Ответ: На 6 лет.

Задача 31.Вклад планируется положить на пять лет, он составляет целое число сотен тысяч рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 20% по сравнению с его размером в начале года, кроме того, в начале четвертого и пятого годов вклад ежегодно пополняется на 100 000 руб. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через пять лет он будет меньше 800 000 рублей [20, С. 146].

Решение. Пусть S – целое число, равное величине первоначального вклада. По формуле сложных процентов в конце третьего года величина вклада станет равной , в начале четвертого - , а в конце четвертого . Аналогично, в начале пятого , в конце пятого . Требуется решить неравенство . Учитывая, что S наибольшее целое в сотнях тысяч, получает .

Второй способ решения.

Решим перебором. Из условия задачи ясно, что , остается перебрать пять вариантов: , со второй попытки повезет.

Ответ: Наибольший размер первоначального вклада составляет 200000 рублей.

Задача 32.Индивидуальному предпринимателю 15 марта выдан кредит на расширение производства. В таблице 6 указан график его погашения. Текущий долг указан в процентах от взятого кредита.

Таблица 6

График погашения кредита

Дата

15.03

15.04

15.05

15.06

15.07

15.08

15.09

Величина долга

100% от S

80% от S

65% от S

45% от S

30% от S

20% от S

0% от S

В конце каждого месяца, начиная с марта, банк увеличивает текущий долг на 5%. После этого в первой половине последующего месяца (т.е. не позднее 14 числа) предприниматель должен внести в банк такую сумму, чтобы оставшийся долг стал равным указанному в таблице проценту от взятого кредита. На сколько процентов от взятого кредита общая сумма выплат превысит величину кредита [20, С. 147]?

Решение. Пусть S – величина взятого кредита. После увеличения долга на 5% в конце марта долг составит . Предположим, не ограничивая общность рассуждений, что долг оплачивается 14 числа, начиная с апреля и в последующие месяцы. Первый платеж обозначим , тогда, согласно условию имеет место равенство: , отсюда находим величину первого платежа: .

Аналогичные вычисления оформим в таблицу 7:

Таблица 7

Суммы платежей по месяцам

14.04

   

14.05

   

14.06

   

14.07

   

14.08

   

14.09

   
   

Таким образом, сумма выплат превысила размер кредита на , т.е. переплата составила 17%.

Второй способ решения.

Сложим почленно уравнения во втором столбце таблицы:

    .

Ответ: На 17% от взятого кредита общая сумма выплат превысит величину кредита.

Данные примеры показывают многообразие способов решения задач на проценты. В зависимости от вида задачи выбирает и способ решения.

Заключение

В работе нами были рассмотрены основные теоретические положения о задачах на проценты. Так, в литературе процент рассматривается, в основном, как сотая часть от числа и обозначается символом %. Так же существуют другие трактовки данного понятия, не относящиеся в полной мере к элементарной математике. Были рассмотрены различные подходы к решению задач на проценты таких авторов, как: О.О. Баранова, А.С. Симонова, Н.Я Виленкина, А.Г. Мордковича, И.И. Зубаревой, Г.В. Дорофеева, а так же преподавателей кафедры ВМиИ СурГПУ. Затем, проанализирована и представлена основная, классическая классификация задач на проценты, состоящая из 7 типов:

  1. Нахождение процента от числа;

  2. Нахождение числа по проценту;

  3. Нахождение процентного отношения двух чисел;

  4. Увеличение числа на процент;

  5. Уменьшение числа на процент;

  6. Задачи на простые проценты;

  7. Задачи на сложные проценты.

Так же мы предложили свою классификацию по содержанию задач, которая состоит из 6 типов:

  1. Проценты в жизненных ситуация (бытовые);

  2. Проценты и банковские операции (экономические);

  3. Задачи здоровье сберегающей направленности;

  4. Задачи на концентрацию и процентное содержание;

  5. Задачи на военно-историческую тематику;

  6. Задачи экономико-географического содержания.

Данная классификация показывает многообразие тем, которые охватывают задачи на проценты, а значит имеют высокую значимость в жизни, так как могут применяться не только в решении задач на учебном уровне, но и в бытовых ситуациях.

Результаты исследования докладывались на IV внутривузовской студенческой научно-практической конференции «Молодежь в мире науки» (ноябрь, 2016 г., Сургут), на XXI студенческой научно-практической конференции «Студенчество в научном поиске» (апрель, 2017 г., Сургут), на которой в секции «Элементарная математика» доклад был признан лучшим и занял I место. Кроме того, по итогам исследования написана статья «Задачи на проценты. Легко это или сложно?», которая приняла участие во Всероссийской заочной научно-практической конференции «Актуальные вопросы математического образования: Состояние, проблемы и перспективы развития».

Список используемых источников
  1. Куланин, Е.Д. 3000 конкурсных задач по математике [Текст] / Е.Д. Куланин. – 5-е изд., испр. – М. : Айрис-пресс, 2003. – 624 с.

  2. Актуальные проблемы преподавания математики и информатики [Текст]: сборник научно-методических работ кафедры высшей математики и информатики СурГПИ. Выпуск 1 / отв. ред. П.И. Совертков. – Сургут: РИО СурГПИ, 2005. – 92 с.

  3. Баранов, О.О. Задачи на проценты как проблема нормы словоупотребления [Текст] // Математика в школе. – 2003. – № 5. – С. 50 – 59.

  4. Дигесты Юстиниана [Текст]. – М.: Наука, 1984. – 589 с.

  5. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса [Текст] / Б. М. Ивлев, С. М. Саакян, С. И. Шварцбурд. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2000. – 136 с.

  6. Дидактические материалы по математике [Текст]: 5 класс: к учебнику И. И. Зубаревой, А. Г. Мордковича «Математика. 5 класс» / В. Н. Рудницкая. – М. : Издательство «Экзамен», 2014. – 159 с.

  7. Дроби и проценты. 5-7 классы [Текст] / С. С. Минаева. – М. : Издательство «Экзамен», 2012. – 125 с.

  8. ЕГЭ 2017. Математика. Базовый уровень. 50 вариантов типовых тестовых заданий [Текст] / А.В. Антропов, А.В. Забелин, Е.А. Семенко, Н.А. Сопрунова, С.В. Станченко, И.А. Хованская, Д.Э. Шноль, И.В. Ященко; под ред. И.В. Ященко. – М. : Издательство «Экзамен», 2017. – 279 с.

  9. Курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Штык – Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу и употребление юношества и упражняющихся в Математике. Том 4. [Текст] – М.: Университетская типография, 1808.

  10. Математика. 5 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений [Текст] / под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина; Рос. акад. Наук, Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение». – 12-е изд. – М. : Просвещение, 2011. – 303 с.

  11. Математика. 5 класс [Текст] : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбург. – 31-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2013. – 280 с.

  12. Математика. 5 класс [Текст] : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. – 14-е изд., испр. и доп. – М. : Мнемозина, 2013. – 270 с.

  13. Математика [Текст] : Путеводитель абитуриента и старшеклассника / Авт. – сост. А.С. Зеленский, Н.В. Нетребко. – М.: Научно – технический центр «Университетский», 1999.

  14. Нагибин, Ф.Ф., Канин, Е.С. Математическая шкатулка [Текст]: пособие для учащихся 4-8 кл. сред. шк. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 1988. – 94 с.

  15. ОГЭ 2017. Математика. 9 класс. 3 модуля. Основной государственный экзамен. 30 вариантов типовых тестовых заданий [Текст] / И.Р. Высокий, Л.О. Рослова, Л.В. Кузнецова, В.А. Смирнов, А.В. Хачатурян, С.А. Шестаков, Р.К. Гордин, А.Т. Трепалин, А.В. Семенов, П.И. Захаров; под ред. И.В. Ященко. – М. : Издательство «Экзамен», МЦНМО, 2017. – 167 с.

  16. ОГЭ 2017. Математика. 9 класс. Основной государственный экзамен. Сборник экзаменационных тестов [Текст] / А.Р. Рязановский, Д.Г. Мухин. – М. : Издательство «Экзамен», 2017. – 96 с.

  17. Ожегов, С.И., Шведова, Н.Ю. Толковый словарь русского языка [Текст] : 80 000 слов и фразеологических выражений. – 4-е изд., М.: Высшая школа, 1993. — 944 с.

  18. Осиповский, Т.Ф. Курс математики. Т. 1. [Текст] / Т.Ф. Осиповский. – СПб. : Императорская Академия Наук, 1802.

  19. Симонов, А.С. Сложные проценты [Текст] // Математика в школе. – 1998. – № 5. – С. 30 – 41.

  20. Тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену по математике [Текст] – 2017. / сост. В.В. Липилина, В.П. Кузнецов. – Самара: ГОУ СИПКРО, 2017 – 156 с.

  21. Финансовые вычисления. Теория и практика [Текст]: учебно-справочное пособие. – М. : ИНФРА-М, 2002. – 383 с.

Просмотров работы: 868