X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Введение

На протяжении многих столетий человечество пополняло свои знания в разнообразных областях наук. Стереометрия – наука о пространственных фигурах – неотъемлемо связана со многими дисциплинами, такими как математика, информатика и программирование, физика, биология, химия. В архитектуре также используются теоремы и следствия стереометрии.

Учёных геометров и обычных людей всегда интересовали такие сложные фигуры пространства как многогранники, особенно потому, что они обладают симметрией. Вообще, наш мир полон большим разнообразием красивых и сложных фигур, что имеют форму многогранников. В природе существуют вирусы, кристаллы, одноклеточные вещества (например, радиолярии по форме напоминают правильные и звёздчатые многогранники), органические соединения, молекулы и ещё много того, что имеют многогранную форму. В архитектуре, изобразительном искусстве, скульптуре, дизайне, флористике, ювелирном деле, кристаллографии, играх-головоломках («кубик Рубика», «Молдавская пирамидка») можно увидеть такие выпуклые тела, а также просто в обычных вещах в качестве упаковок и предметов для дома.

Тема «правильные и полуправильные многогранники» актуальна в наше время. На сегодняшний день продолжается их изучение. В основном мотивами современных исследований являются красота и симметрия этих тел, но особое внимание им уделяется в кристаллографии. Также в начале нынешнего столетия идёт изучение новых семейств многогранников, использование для тестирования программ с трёхмерной графикой. Современные программы (Mathlab, Stella, Mathematica), приложения (A Plethora of Polyhedra, World of Polyhedra), где есть возможность перемещать многогранники и создавать геометрические композиции, используются в дизайне и при создании виртуальных реальностей, охватывающих разные области (молекулярная химию, видеоигры, спецэффекты для кино).

Многогранники изучаются школьниками в 10-11 классах. Задания, связанные с правильными и полуправильными многогранниками, вызывают наибольшую трудность у ребят, особенно задачи на построение сечений. Знания об этих пространственных фигурах пригодятся на экзамене.

Многогранники имеют богатую историю, и всё же они включены в современный раздел математики. Теория многогранников имеет большое значение не только для теоретических исследований по геометрии, но и для областей прикладной математики – линейного программирования, теории оптимального управления и др. Наиболее необычными, интересными, гармоничными и красивейшими формами обладают правильные, полуправильные и звёздчатые многогранники.

Объект исследования – многогранники.

Предмет исследования – методы и приёмы решения задач по теме «Правильные и полуправильные многогранники».

Цель исследования – систематизация теоретического материала и его применение к решению задач по теме «Правильные и полуправильные многогранники».

Работа состоит из введения, двух частей и заключения.

Список использованных источников включает 25 наименований.

Теоретическая часть 1. История многогранников

Знания о многогранниках применялись ещё с древнейших времён цивилизаций Египта, Месопотамии, Африки: например, были найдены ювелирные украшения в форме многогранников, а их возраст насчитывает несколько тысяч лет, а также игральные кости (археологами была найдена игральная кость в форме додекаэдра, датируемая 1000 годом до н. э.).

Пифагор Самосский (около 582 года до н. э. – 507 год до н. э.) создал космологическое учение, связавшее правильные многогранники с устройством Вселенной. Пифагорейцы считали, что элементы первооснов бытия имеют форму правильных многогранников, а именно: огонь – тетраэдр, земля – гексаэдр, воздух – октаэдр, вода – икосаэдр. Вся Вселенная, по мнению древних, имела форму додека­эдра [10].

Первая теория о пяти правильных телах принадлежит великому греческому математику Теэтету Афинскому. Его основные открытия были изложены в «Началах» Евклида (правильным многогранникам посвящена последняя XIII книга).

Подробно описал свойства правильных многогранников древнегреческий ученый Платон, который рассказал о многогранниках в знаменитом диалоге «Тимей». Именно поэтому правильные многогранники называются также телами Платона.

Согласно «Математическому собранию» Паппа Александрийского, Архимед создал трактат о 13 полуправильных (Архимедовых) многогранниках. Кеплер первым опубликовал полный список 13 Архимедовых тел и дал им названия, которые известны поныне (усеченный тетраэдр, усеченный октаэдр, усеченный икосаэдр, усеченный куб, усеченный додекаэдр, кубооктаэдр, икосододекаэдр, ромбокубооктаэдр, ромбоикосододекаэдр, усеченный кубооктаэдр, усеченный икосододекаэдр, курносый куб и курносый додекаэдр). Бельгийский математик Эжен Шарль Каталан открыл 13 многогранников (Каталановых тел), получаемых на основе 13 Архимедовых тел.

Четырнадцатый многогранник Архимедовых тел был найден в 1957 году московским математиком В. Г. Ашкинузе, что иногда называют «псевдоархимедовым» телом [21].

Иоганн Кеплер в своей работе "Тайна мироздания" в 1596 году, используя правильные многогранники, вывел принцип, которому подчиняются формы и размеры орбит планет Солнечной системы [6].

В 1854 году Артур Кэли дал имена двум многогранникам Кеплера (что пытался описать звёздчатые многогранники): малый звёздчатый додекаэдр и большой звёздчатый додекаэдр. Луи Пуансо обнаружил ещё два новых: большой додекаэдр и большой икосаэдр. В 1812 году Огюстен Луи Коши смог доказать гипотезу Пуансо о том, что существуют только 4 единственно возможных правильных звёздчатых многогранника (4 многогранника Кеплера-Пуансо) [3].

2. Определения многогранника, многогранной поверхности, развёртки многогранника и его элементов (рёбер, граней, вершин, двугранных углов и диагоналей)

Существуют различные определения понятия многогранник, которые можно встретить в известных учебниках.

Ж. Адамар называет многогранником тело, ограниченное со всех сторон плоскостями [1].

А В. Погорелов даёт такое определение понятию многогранник: «многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников» [18, С. 68].

Многогранник имеет рёбра, грани, вершины, двугранные углы и диагонали, определения которых можно увидеть в учебниках А. П. Киселева и А. Ю. Калинина [14, 13]:

Общие стороны смежных многоугольников называются рёбрами многогранника.

Многоугольники, которые ограничивают многогранник, называются его гранями.

Грани многогранника, сходящиеся в одной точке, образуют двугранный угол;

Вершины таких многогранных углов называются вершинами многогранника.

Отрезки, соединяющие вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, называются диагоналями этого многогранника.

Многогранной поверхностью называется поверхность, составленная из многоугольников. Процесс составления многогранной поверхности из многоугольников можно представить себе как операцию склеивания этой поверхности из многоугольников [15].

Набор многоугольников, из которых склеивается многогранная поверхность, называется развёрткой этой поверхности» [15]. Правила составления развёрток и построения моделей правильных и полуправильных многогранников можно найти в сборнике Факультативных курсов по математике [15] и в практическом пособии М. Венниджер «Модели многогранников» [9].

3. Теорема Эйлера

Теорему Эйлера историки математики называют первой теоремой топологии – раздела геометрии, который изучает свойства фигур, не меняющихся при непрерывных деформациях, допускающих любые растяжения и сжатия, но без разрывов или дополнительных склеек. Соотношение Эйлера

В + Г – Р = 2

для выпуклых многогранников является как раз таким топологическим свойством [20]. Сформулируем и докажем данную теорему Эйлера:

Теорема 1. Для любого выпуклого многогранника сумма числа его вершин В и числа его граней Г без числа рёбер Р равна двум, т. е.

В + Г – Р = 2.

Доказательство [22]. Представим поверхность данного многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим (вырежем) одну из его граней и оставшуюся поверхность растянем на плоскости. Получим сетку (рис. 1, а), содержащую Г' = Г – 1 многоугольников (которые по-прежнему будут называться гранями), В вершин и Р рёбер.

Если для этой сетки выполняется соотношение

В – Р + Г' = 1, (**)

То для исходного многогранника будет справедливо требуемое соотношение (*).

Покажем, что требуемое соотношение (**) не изменится, если в каком-нибудь многоугольнике сетки провести диагональ. Действительно, после проведения такой диагонали в сетке будет В вершин, Р + 1 рёбер и Г' + 1 граней, и, следовательно,

В – (Р + 1) + (Г' + 1) = В – Р + Г'.

Пользуясь этим свойством, проведём в сетке диагонали, разбивающие входящие в неё многоугольники на треугольники (рис. 1, б), и для полученной сетки покажем выполнимость соотношения (**). Для этого будем последовательно убирать внешние рёбра сетки, уменьшая в ней количество треугольников.

Рис. 1

При этом возможны два случая:

а) для удаления треугольника АВС требуется снять два ребра, в нашем случае АВ и ВС;

б) для удаления треугольника MKN требуется снять одно ребро, в нашем случае MN.

В обоих случаях соотношение (**) не изменится. Например, в первом случае после удаления треугольника сетка будет состоять из В – 1 вершин,

Р – 2 рёбер и Г' – 1 граней, (В – 1) – (Р – 2) + (Г' – 1) = В – Р + Г'.

Таким образом, удаление одного треугольника не меняет соотношение (**). Продолжая этот процесс удаления треугольников, в конце концов мы придём к сетке, состоящей из одного треугольника. Для такой сетки В = 3,

Р = 3, Г' = 1, и, следовательно, В – Р + Г' = 1. Значит соотношение (**) имеет место и для исходной сетки, откуда окончательно получаем, что для данного многогранника справедливо соотношение (*).

4. Правильные многогранники 4.1. Теорема о существовании пяти правильных многогранников

Перед тем, как дать определение понятию «правильный многогранник», важно знать, какой многогранник называют выпуклым:

Многогранник называется выпуклым, если он лежит с одной стороны от плоскости любой своей грани, т. е. плоскость его любой грани является его опорной плоскостью [2].

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и, кроме того, в каждой его вершине сходится одно и то же число рёбер [5].

Многогранник называется правильным, если [19]:

1) все его грани равны и правильны;

2) все его многогранные углы равны и правильны.

Докажем, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще

n-угольники при . Каждая вершина правильного многоугольника может быть вершиной любо трёх, четырёх или пяти равносторонних треугольников, либо трёх квадратов, либо трёх правильных пятиугольников

Доказательство [5]. В самом деле, угол правильного n-угольника при n не меньше 120. С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трёх плоских углов. Поэтому если бы существовал правильный многогранник, у которого грани – правильные

n-угольники при n, то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не меньше чем 120. Но это невозможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше .

Рассмотрим важную теорему о существовании ровно пяти правильных многогранников:

Теорема 2. Существует только пять видов правильных многогранников.

При этом мы относим к одному виду те многогранники, у которых многогранные углы имеют одно и то же число рёбер, а грани – одно и то же число сторон.

Доказательство [1]. Пусть m – число сторон каждой грани правильного многогранника; n – число рёбер каждого многогранного угла.

Если принять прямой угол за единицу, то каждый угол какой-либо грани выразится числом ; но сумма n плоских углов, примыкающих к одной вершине, должна быть меньше четырёх прямых; следовательно, каждый из них должен быть меньше .

Отсюда имеем:

,

или

. (1)

Причём равенство исключено.

Это неравенство и даёт искомое решение. Действительно, каждое из чисел m и n больше или равно 3, но оба они не могут быть больше 3; так как для и , имеем .

Следовательно, по крайней мере одно из чисел m и n равно 3. Допустим, что это будетm: в равенстве (1) можно переставить числа m и n, так как оно симметрично относительно этих двух чисел.

При этом будем иметь:

,

откуда .

Следовательно, n может иметь только значения 3, 4 и 5.

Симметрия неравенства (1) относительно чисел mи n не должна нас удивлять; в самом деле, каждое из этих чисел становится на место другого, если от некоторого многогранника перейти к многограннику, ему сопряжённому. Каждый раз, как m и n будут различны, мы будем иметь пару сопряжённых решений – всего-навсего получим следующие пять решений:

1) m = n = 3;

2) m, n = 3, 4;

3) m, n = 3, 5.

В соответствие с теоремой получаем следующие правильные многогранники (Платоновы тела): тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр (табл. 1).

Таблица 1

Правильные многогранники

Правильный многогранник	Количество граней	Количество рёбер	Количество вершин	Количество граней, сходящихся при вершине	Сумма плоских углов при каждой вершине	Площадь	Объём
Тетраэдр	4 равносторонних треугольника	6	4	3
Куб	6 квадратов	12	8	3
Октаэдр	8 равносторонних треугольников	12	6	4
Додекаэдр	12 правильных пятиугольников	30	20	3
Икосаэдр	20 равносторонних треугольников	30	12	5

4.2. Элементы симметрии правильных многогранников

Все правильные многогранники обладают симметрией [12], что представлено в таблице 2.

Таблица 2

Элементы симметрии правильных многогранников

Правильный многогранник	Элементы симметрии
Тетраэдр	3 оси симметрии, которые проходят через середины скрещивающихся рёбер. 6 плоскостей симметрии, каждая из которых проходит через ребро тетраэдра перпендикулярно скрещивающемуся с ним ребру.
Куб	Ось симметрии куба может проходить либо через середины параллельных рёбер, не принадлежащих одной грани, либо через точку пересечения диагоналей противоположных граней. Центром симметрии куба является точка пересечения его диагоналей. Через центр симметрии проходят 9 осей симметрии. Плоскостей симметрии у куба 9 и проходят они либо через противоположные рёбра (таковых плоскостей 6), либо через середины противоположных рёбер (таких – 3).
Октаэдр	3 из 9 осей симметрии октаэдра проходят через противоположные вершины, 6 – через середины рёбер. Центр симметрии – точка пересечения осей симметрии октаэдра. 3 из 9 плоскостей симметрии проходят через каждые 4 вершины октаэдра, лежащие в одной плоскости. 6 плоскостей симметрии проходят через 2 вершины, не принадлежащие одной грани, и середины противоположных рёбер.
Додекаэдр	Имеет центр симметрии и 15 осей симметрии. Каждая из осей проходит через середины противолежащих параллельных рёбер. 15 плоскостей симметрии. Любая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани через вершину и середину противоположного ребра.
Икосаэдр	15 осей симметрии, каждая из которых проходит через середины противоположных параллельных рёбер. Точка пересечения всех осей симметрии – центр симметрии икосаэдра. Плоскостей симметрии также 15, которые проходят через 4 вершины, лежащие в одной плоскости, и середины противолежащих параллельных рёбер.

4.3. Двойственные правильные многогранники

Каждый вид правильного многогранника двойственен какому-то другому правильному многограннику.

Теорема 3. Каждому правильному многограннику соответствует другой правильный многогранник, который имеет столько вершин, сколько данный имеет граней, и обратно, причём число рёбер у того и у другого многогранника одинаково.

Число рёбер каждого многогранного угла одного из многогранников равно числу сторон каждой грани другого.

Соотношение между обоими многогранниками взаимно.

Этот новый правильный многогранник называется сопряжённым данному [1].

Центры граней правильного многогранника служат вершинами взаимного многогранника [4].

Два правильных многогранника называются двойственными, если центры граней одного из них являются вершинами другого [8]. Покажем это в таблице 3.

Таблица 3

Двойственность правильных многогранников

Куб и октаэдр	Додекаэдр и икосаэдр	Тетраэдр и тетраэдр
центры граней куба являются вершинами октаэдра	центры граней икосаэдра являются вершинами додекаэдра	тетраэдр двойственен сам себе (центры его граней являются вершинами тетраэдра)

Продолжение Таблицы 3

Куб и октаэдр	Додекаэдр и икосаэдр	Тетраэдр и тетраэдр
центры граней октаэдра являются вершинами куба	центры граней додекаэдра являются вершинами икосаэдра

4.4. Правильный многогранник, сфера и шар

Внутри каждого правильного многогранника существует точка, которая служит центром трёх сфер: описанной сферы (т.е. проходящей через все вершины многогранника); вписанной сферы (т.е. касающейся всех его граней); полувписанной сферы (т.е. касающейся всех его рёбер) [4].

Отметим теоремы, касающиеся многогранника, сферы и шара [1]:

Теорема 4. Около всякого правильного многогранника можно описать шар.

Теорема 5. Многогранные углы, общей вершиной которых служит центр этого шара, а плоскости сечениями – грани данного многогранника, делят поверхность шара на равные между собой правильные сферические многоугольники. (Обратная теорема. Если поверхность шара разделена на равные между собой правильные сферические многоугольники, то вершины этих многоугольников служат вершинами правильного многогранника.)

Теорема 6. Во всякий правильный многогранник можно вписать шар; центр этого шара совпадает с центром описанного шара.

4.5. Теоремы правильных многогранников

Обозначим другие теоремы правильных многогранников, которые представим без доказательств [1]:

Теорема 7. Два правильных многогранника, обладающих тем свойством, что одна из граней первого многогранника (а, следовательно, и каждая его грань) равна одной из граней второго, и один из многогранных углов первого равен одному из многогранных углов второго, равны между собой.

Если, кроме того, одна из граней первого многогранника совпадает с гранью второго и если оба многогранника расположены по одну сторону от этой общей грани (или, иначе, если один из многогранных углов первого совпадает с многогранным углом второго), то многогранники совпадают.

Теорема 8. Правильный многогранник допускает всякое перемещение, при котором одна из граней данного многогранника переходит в грань того же многогранника и внутренняя область многогранника располагается после перемещения с той же стороны от грани , с которой она располагалась до перемещения.

Обратная теорема. Если выпуклый многогранник допускает перемещение, с помощью которого можно преобразовать любую данную грань в произвольно выбранную его грань и любое данное ребро АВ грани в произвольно выбранное ребро АВ грани , то этот многогранник правильный.

4.6. Тела Кеплера-Пуансо и тела Фёдорова

Кроме Платоновых тел выделяют и другие группы правильных многогранников.

Тела Кеплера-Пуансо – правильные звёздчатые многогранники, которые получают с помощью продления рёбер или несмежных граней Платоновых тел до пересечения друг с другом: малый звёздчатый додекаэдр, большой звёздчатый додекаэдр, большой додекаэдр, большой икосаэдр (табл. 4).

Огюстен Луи Коши смог доказать гипотезу Пуансо о том, что существуют только 4 единственно возможных правильных звёздчатых многогранника (4 многогранника Кеплера-Пуансо) [22].

Таблица 4

Звёздчатые многогранники

Звёздчатый многогранник	Получение звёздчатого многогранника
Малый звёздчатый додекаэдр	Продолжение ребер додекаэдра приводит к замене каждой грани звездчатым правильным пятиугольником. Этот многогранник можно также получить из додекаэдра, установкой на его гранях правильных пятиугольных пирамид.
Большой звёздчатый додекаэдр	Этот многогранник получается при продолжении граней додекаэдра. При этом каждая грань заменяется на правильный звездчатый пятиугольник. Его можно также получить из икосаэдра, установкой на его гранях правильных треугольных пирамид.
Большой додекаэдр	Этот многогранник получается при продолжении граней додекаэдра. Его можно также получить из икосаэдра, вырезанием из его граней правильных треугольных пирамид.
Большой икосаэдр	Получается продолжением граней икосаэдра. Его можно также получить из малого звездчатого додекаэдра вырезанием из его граней треугольных пирамид.

Существуют также и тела Фёдорова:

тела Фёдорова – выпуклые многогранники, параллельными переносами которых можно заполнить пространство так, чтобы они не входили друг в друга и не оставляли пустот между собой (т. е. являются параллелоэдрами). Существует 5 типов Фёдорова тела. Найдены Е. С. Федоровым в 1881 году [7].

5. Полуправильные многогранники 5.1. Определение

Выпуклый многогранник называется полуправильным, если его гранями являются правильные многоугольники, возможно, с разным числом сторон, и все многогранные углы равны, причем один из них в другой можно перевести движением самого многогранника.

К полуправильным многогранникам относятся правильные n-угольные призмы, все ребра которых равны и антипризмы с равными рёбрами [22].

5.2. Архимедовы и Каталановы тела

Известно 13 Архимедовых тел. Перечислим их названия в таблице 5 и соответствующее число треугольных (), квадратных (), пятиугольных (), шестиугольных (), восьмиугольных (), десятиугольных граней (), общее количество этих граней (Г), вершин (В) и рёбер (Р).

Таблица 5

Архимедовы тела

Название	Г							В	Р
Кубооктаэдр	14	8	6	-	-	-	-	12	24

Продолжение Таблицы 5

Название	Г							В	Р
Икосододекаэдр	32	20	-	12	-	-	-	30	60
Усечённый тетраэдр	8	4	-	-	4	-	-	12	18
Усечённый куб	14	8	-	-	-	6	-	24	36
Усечённый октаэдр	14	-	6	-	8	-	-	24	36
Усечённый додекаэдр	32	20	-	-	-	-	12	60	90

Продолжение Таблицы 5

Название	Г							В	Р
Усечённый икосаэдр	32	-	-	12	20	-	-	60	90
Ромбоусечённый кубооктаэдр	26	-	12	-	8	6	-	48	72
Ромбоусечённый икосододекаэдр	62	-	30	-	20	-	12	120	180
Ромбокубооктаэдр	26	8	18	-	-	-	-	24	48
Ромбоикосододекаэдр	62	20	30	12	-	-	-	60	120

Продолжение Таблицы 5

Название	Г							В	Р
Курносый куб	38	32	6	-	-	-	-	24	60
Курносый додекаэдр	92	80	-	12	-	-	-	60	150

Для Архимедовых тел характерно [24]:

все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов;

грани не одинаковы;

тело относится к одному из трёх существующих типов пространственной симметрии (тетраэдрическому, октаэдрическому или икосаэдрическому);

для любой пары вершин существует симметрия многогранника, переводящая одну вершину в другую;

все многогранные углы при вершинах конгруэнтны.

Есть также 13 и Каталановых тел, двойственных Архимедовым телам, которые представлены в таблице 6.

Таблица 6

Каталановы тела

Название	Г	В	Р	Форма граней
Ромбододекаэдр	12	14	24	Ромбы
Ромботриаконтаэдр	60	32	90	Ромбы
Триакистетраэдр	12	8	18	Равнобедренные треугольники
Триакисикосаэдр	24	14	36	Равнобедренные треугольники
Тетракисгексаэдр	24	14	36	Равнобедренные треугольники

Продолжение Таблицы 6

Название	Г	В	Р	Форма граней
Триакисоктаэдр	60	32	90	Треугольники
Пентакисдодекаэдр	60	32	90	Треугольники
Гекзакисоктаэдр	48	26	72	Неправильные треугольники
Гекзакисикосаэдр	120	62	180	Неправильные треугольники
Дельтоидальный икоситетраэдр	24	26	48	Четырёхугольники

Продолжение Таблицы 6

Название	Г	В	Р	Форма граней
Дельтоидальный гексеконтаэдр	120	62	180	Четырёхугольники
Пентагональный икоситетраэдр	24	38	60	Пятиугольники
Пентагональный гексеконтаэдр	60	92	150	Пятиугольники

Для Каталановых тел характерно [24]:

все грани не являются правильными многоугольниками;

все грани одинаковы;

тело относится к одному из трёх существующих типов пространственной симметрии (тетраэдрическому, октаэдрическому или икосаэдрическому);

двугранные углы равны;

есть правильные многогранные углы.

Главные отличия между этими двумя группами полуправильных многогранников, которые стоит запомнить: у Каталановых тел все грани одинаковы, но не все они являются правильными многоугольниками, в то же время у Архимедовых тел наоборот грани не одинаковы, при этом все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов.

Практическая часть 1. Вычисление элементов правильного многогранника

Обозначим через радиус вписанного шара, через – радиус описанного шара и через – радиус окружности, описанной около грани.

Отношения этих трёх отрезков друг к другу имеют для двух сопряжённых многогранников одни и те же значения.

Действительно, пусть А (рис. 2) – вершина первого многогранника Р, b – центр одной из граней, которой принадлежит эта вершина, S – центр описанного шара. Сопряжённый многогранник Р можно рассматривать как имеющий вершину в некоторой точке В прямой Sb; при этом центром одной из граней, в которой лежит вершина В, будет проекция а точки В на прямую SA. Величинамиr, R и будут соответственно: для первого многогранника – длины отрезков Sb, SA и bA; для второго – длины отрезков Sa, SB и aB. Доказываемое предложение вытекает из подобия прямоугольных треугольников Sab и SaB.

Рис. 2

Обозначим теперь через m число сторон каждой грани многогранника Р; через n – соответствующее число для P; через с – середину ребра, проходящего через А и лежащего в грани многогранника Р, имеющей своим центром точку b; через с – середину соответствующего ребра (проходящего через точку B и расположенного в грани с центром a) многогранника P, так что точки с и с лежат на одном радиусе, перпендикулярном к Ас и к Bc; кроме того, bc перпендикулярно к Sb, а ac перпендикулярно к Sa.

Обозначим через и соответственно сторону и апофему правильного многоугольника, имеющего m сторон и вписанного в окружность, радиус которой равен 1; будем иметь:

, ; (1)

, . (2)

Но из подобия прямоугольных треугольников Sbc и SBc, с одной стороны, и прямоугольных треугольников SAc и Sac, с другой, следует:

, ;

Заменяя здесь отрезки bc, BC, Ac и ac их значениями (1), (2) и деля почленно получившиеся равенства, чтобы исключить Sc, будем иметь:

.

Так как, кроме того, равняется , то можно написать:

,

Причём выражение, стоящее под радикалом в последнем знаменателе, может быть заменено (в силу соотношения ) через , или , или .

Если известны отношения величин r, R и , то рёбра многогранника можно, очевидно, вычислить из равенств (1) и (2) [1].

Выражая все величины черезR, получим таблицу 7:

Таблица 7

Вычисление элементов правильного многогранника

Тетраэдр	Куб, октаэдр	Додекаэдр, икосаэдр
ребро:	рёбра: (куб) (октаэдр)	рёбра: (додекаэдр) (икосаэдр)

2. Примеры задач с решениями

Представленный в теоретической части материал помог составить нам классификацию задач по теме «Правильные и полуправильные многогранники». К каждому из видов мы предложили примеры таких задач с решениями.

Виды задач для правильных и полуправильных многогранников:

1. Задачи на вычисление величин:

1) задачи на вычисление элементов;

2) задачи на вычисление площадей;

3) задачи на вычисление объёмов.

2. Задачи на нахождение и построение сечений, нахождение их площади.

3. Задачи на комбинации со сферой и шаром.

1. Задачи на вычисление величин:

1) задачи на вычисление элементов

Задача 1. Ребро правильного октаэдра равно а. Найдите расстояние между: а) двумя его противоположными вершинами; б) центрами двух смежных граней.

Дано: ABCDEF – правильный октаэдр; АВ = a.

Найти: a) BD; б) KL – расстояние между центрами двух смежных граней [25].

Решение.

a) Расстояние между противоположными вершинами для всех вершин одинаково. – прямоугольный (рис. 3);

.

Рис. 3

б) Расстояние между центрами двух смежных граней одинаково для всех смежных граней.

В грани DEA проведём высоту EP, в грани AEВ проведём высоту EQ. Точки K, L – центры граней. KL – расстояние между центрами граней.

В плоскости POE проводим KN⏊PO; в плоскости EQO проводим LM⏊QO. Тогда MN – проекция искомого отрезка KL на основание,KLMN – прямоугольник.

В △PEН по теореме косинусов:

△ЕНВ – прямоугольный.

PK – радиус окружности, вписанной в правильный △EAD;

; из △PNK: PN=PK,

.

– прямоугольный и равнобедренный.

Тогда .

Ответ: а) ; б) .

Задача 2. В кубе ABCD точки Е и К – середины рёбер соответственно и . Найдите косинус угла между прямыми АЕ и ВК.

Данную задачу удобнее решить векторно-координатным методом [16].

Решение. Куб поместим в систему координат и построим чертёж (рис. 4).

Рис. 4

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между АЕ и ВК от неё не зависит. Поэтому возьмём единичный куб, все рёбра которого равны 1. Прямые АЕ и ВК – скрещивающиеся. Найдём угол между векторами и . Для этого нужны их координаты: А (0; 0; 0), В (1; 0; 0), Е(; 0; 1), К (1; ; 1). Запишем координаты векторов: , . И найдём косинус угла между векторами и :

Ответ: .

Эту задачу можно решить и поэтапно-вычислительным методом.

Решение. Пусть a – ребро куба, F – середина ребра . Так как AF∥BK, то α – искомый угол при вершине A в .

Рассмотрим : =. По теореме Пифагора найдём EF:

.

Рассмотрим : , . По теореме Пифагора найдём EA=BF:

.

В используем теорему косинусов:

.

Ответ: .

2) задачи на вычисление площадей

Задача 3. Площадь поверхности правильного октаэдра равна S. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого служат центры граней данного октаэдра [20].

Решение. Многогранник, вершинами которого служат центры граней данного октаэдра – куб. Пусть а – сторона правильного октаэдра, b – сторона куба, EABCD – верхняя половина октаэдра, К и L – центры граней AED и DEC.

Рассмотрим : , , угол Е – общий, следовательно, по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Отсюда .

В по теореме Пифагора найдём АС:

. Следовательно, .

Зная, что и , составим пропорцию:

.

Ответ: .

2) задачи на вычисление объёмов

Задача 4. Найдите объём правильного тетраэдра с ребром, равным 2 [17].

Решение. Найдём объёма правильного тетраэдра по формуле:

.

Ответ: [17].

Задача 5. Во сколько раз увеличится объём куба, если его рёбра увеличить в 6 раз? [17]

Решение. Объём куба с ребром а равен . Объём куба с ребром в 6 раз большим равен . Разделим на и получим искомую величину:

Объём куба увеличится в 216 раз.

Ответ: 216.

2. Задачи на нахождение и построение сечений, нахождение их площади

Задача 6. Дано: DABC – правильный тетраэдр; АВ = a. Построить: (MKP) – сечение: М – середина AD, (МКР)(DBC), МР∥ВС, (КМР – искомое сечение). Найти: [25].

Решение.

Построение: 1) МК∥DB, МР∥DC (по свойству секущей плоскости). Значит, (МКР) – искомое сечение (рис. 5).

Рис. 5

2) МК – средняя линия в △ABDМК = ;КР, МР – средние линии в △АВС и △ADC соответственно, значит, КР = MР =

Ответ: .

Задача 7. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, G, лежащие на рёбрах куба [11].

Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E, F,G, найдём точку Pпересечения прямой EF и плоскости грани ABCD. Обозначим Q, R точки пересечения прямой PG сAB и CD (рис. 6). Проведём прямую RF и обозначим S, T её точки пересечения с и . Проведём прямую ТЕ и обозначим U её точку пересечения с . Соединим точки Е и Q, G и S, U и F. Полученный шестиугольник EUFSGO будет искомым сечением.

Рис. 6

Задача 8. Найдите сечение додекаэдра плоскостью, проходящей параллельно двум противоположным граням и равноудалённой от них [23].

Решение. Исследуем сечения додекаэдра плоскостью . Искомое сечение – правильный десятиугольник (рис. 7). Все его вершины лежат на серединах рёбер. Плоскость проходит через центр симметрии додекаэдра.

Рис. 7

3. Задачи на комбинации со сферой и шаром

Задача 9. Найти радиус сферы, описанной около единичного икосаэдра [22].

Решение. В прямоугольнике ABCDAB = CD = 1, BC и AD – диагонали правильных пятиугольников со сторонами 1 (рис. 8).

Рис. 8

Следовательно, BC = AD =

По теореме Пифагора Искомый радиус равен половине этой диагонали, т. е.

Ответ: .

Задача 10. Объем прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы, равен 10648 (рис. 9). Найдите радиус сферы [11].

Решение. Прямоугольный параллелепипед, описанный вокруг сферы, является кубом. Поэтому 10648 = а³, где а – ребро куба. Откуда а = 22.При этом радиус сферы есть . Значит, радиус сферы есть R = = 11.

Рис. 9

Ответ: 11.

Заключение

В данной работе мы рассмотрели основную теорию о правильных и полуправильных многогранниках, а также показали использование этой теории на практике.

В теоретической части работы систематизирован материал по теме исследования: были изучены исторические сведения о правильных и полуправильных многогранниках, известные группы этих выпуклых тел, сформулированы основные определения и теоремы, рассмотрены важные свойства и особенности симметрии таких многогранников.

В практической части приведены формулы для вычисления элементов правильного многогранника, а также представлены задачи с подробными решениями на основе составленной нами классификации задач по теме «Правильные и полуправильные многогранники».

Виды задач:

1. Задачи на вычисление величин:

1) задачи на вычисление элементов;

2) задачи на вычисление площадей;

3) задачи на вычисление объёмов.

2. Задачи на нахождение и построение сечений, нахождение их площади.

3. Задачи на комбинации со сферой и шаром.

Таким образом, мы достигли цели исследования, которая была поставлена в начале курсовой работы.

Список использованных источников

Адамар, Ж. Элементарная геометрия. – Ч.2.: Стереометрия [Текст]: пособие / Ж. Адамар. – 3-е изд. – М.: Учпедгиз, 1958. – 760 с.

Александров, А.Д. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10-11 классы [Текст]: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. – М.: Просвещение, 2014. – 255 с.

Альсина, К. Тысяча граней геометрической красоты. Многогранники [Текст] / К. Альсина; пер. с исп. – М.: Де Агостини, 2014. – 144 с.

Аргунов, Б.И. Элементарная геометрия [Текст] / Б.И. Аргунов, М.Б. Балк. – М.: Просвещение, 1966. – 366 с.

Атанасян, Л.С. Геометрия: 10-11 классы [Текст]: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 22-е изд. – М.: Просвещение, 2013. – 255 с.

Березин, В.Н. Правильные многогранники [Текст] / В.Н. Березин // Квант. – 1973. – №5. – С. 28-29.

Большая Советская энциклопедия [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://enc-dic.com/enc_sovet (дата обращения: 10.04.2017).

Вагутен, В.Н. Правильные многогранники и повороты [Текст] / В.Н. Вагутен // Квант. – 1989. – №10. – С. 46-51.

Венниджер, М. Модели многогранников [Текст] / М. Венниджер; пер. с англ. В.В. Фирсова. – М.: Мир, 1974. – 236 с.

Глейзер, Г.И. История математики в школе VII-VIII кл. [Текст]: пособие для учителей / Г.И. Глейзер. – М.: Просвещение, 1982. – 240 с.

Готман, Э.Г. Стереометрические задачи и методы их решения [Текст] / Э.Г. Готман. – М.: МЦНМО, 2007. – 160 с.

Долбилин, Н.П. Жемчужины теории многогранников [Текст] / Н.П. Долбилин. – М.: Издательство Московского центра непрерывного математического образования, 2000. – 40 с.

Калинин, А.Ю. Геометрия. 10-11 классы [Текст] / А.Ю. Калинин, Д.А. Терешин. – новое изд., испр. и доп. – М.: МЦНМО, 2011. – 640 с.

Киселев, А.П. Геометрия [Текст] / А.П. Киселев – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014. – 328 с.

Колягин, Ю. М. Факультативные курсы по математике для 10-11 классов [Текст] / Ю.М. Колягин, Н.Е. Федорова. – М.: НИИ школ МНО РСФСР, 1989. – 374 с.

Малкова, А.Г. Подготовка к ЕГЭ по математике [Электронный ресурс] / А.Г. Малкова. – Режим доступа: http://ege-study.ru (дата обращения: 12.11.2016).

Образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru (дата обращения: 27.05.2017).

Погорелов, А.В. Геометрия. 10-11 классы [Текст]: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и профил. уровни / А.В. Погорелов. – 13-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – 175 с.

Потоскуев, Е.В. Геометрия. 11 класс [Текст]: учеб. для общеобразоват. учреждений с углубл. и профильным изучением математики / Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич. – 2-е изд., испр. – М.: Дрофа, – 2013. – 368 с.

Потоскуев, Е.В. Геометрия. 11 класс [Текст]: задачник для общеобразоват. учреждений с углубл. и профильным изучением математики / Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич. – 2-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, – 2007. – 240 с.

Савченко, В. Полуправильные многогранники [Текст] / В. Савченко // Квант. – 1979. – №1. – С. 3.

Смирнова, И.М. Геометрия. 10-11 класс [Текст]: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений (базовый и профильный уровни) / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.

Шарыгин, И.Ф. Геометрия 10-11 классы [Текст]: учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / И.Ф. Шарыгин. – М.: Дрофа, 2013. – 240 с.

Шишова, А.Б. Полуправильные многогранники [Электронный ресурс] / А.Б. Шишова // Концепт. – 2015. – Т. 25. – С. 191-195. – Режим доступа: http://ekoncept.ru/2015/65341.htm (дата обращения: 02.11.2016).

Яровенко, В.А. Поурочные разработки по геометрии: 11 класс [Текст] / В.А. Яровенко. – М.: ВАКО, 2010. – 336 с.

Код для цитирования: Скопировать