ЗАДАЧИ НА РАЗРЕЗАНИЕ - Студенческий научный форум

X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Личный портфель

ЗАДАЧИ НА РАЗРЕЗАНИЕ

Иманова К.Н. 1
1СурГПУ
 Комментарии
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение

Искать решение задач на разрезание ученые начали еще с древнейших времен. Возникли они из потребностей практиков-землемеров и строителей архитектурных сооружений древнего мира. Первые попытки к решению были разработаны древними греками, китайцами. Так, в древнем Китае зародилась головоломка «Танграм», а в Греции – «Пентамино», где используется метод комбинаторной геометрии. Но систематизировать подход к решению задач на разрезание смог арабский математик, астроном Абул Вефа, который жил в X веке. Он разработал приемы решения геометрических задач, связанных с разложением фигур. В конце XX века ученые вновь занялись изучением, а также поиском новых путей решения задач на разрезание фигур на наименьшее число частей и последующее составление из них новой фигуры. Известные специалисты в этой области – Генри Эрнест Дьюдени и Гарри Ландгрен. Например, в своей книге «Занимательные задачи на разрезание» Ландгрен приводит пример, как составить новую фигуру, при этом разрезав начальную на наименьшее число частей, а также дает возможность разработать свой подход к решению задач и найти новые способы их решения.

В 1832 году на основе полученных знаний о разрезании фигур, была разработана теорема Бояи-Гервина, в основу которой вошло положение о том, что любые два равновеликих многоугольника равносоставлены. Эта теорема позволила сократить и упростить ход решений и доказательств в различного рода задачах.

Возможности для решения практических проблем и математическое «изящество» задач на разрезание вызывает постоянный интерес к этой теме. Однако остается не до конца исследованным вопрос о системе задач на разрезания и методах решения этих задач. Обозначенная проблема определила актуальность нашего исследования по теме «Задачи на разрезание».

Объект исследования: многоугольники.

Предмет исследования: задачи на разрезание многоугольников.

Цель исследования: систематизировать теоретический материал по теме «Задачи на разрезание» и исследовать возможности его применения к решению задач.

Задачи исследования:

  1. систематизировать основные определения и теоремы по данной теме;

  2. рассмотреть примеры задач, применив изложенный материал.

Результаты исследования были представлены на конференциях:

1) IV внутривузовская студенческая научно-практическая конференция «Молодежь в мире науки» (ноябрь 2016 год, г. Сургут). По итогам выступления опубликована статья (Иманова К. Задачи на разрезание / Молодежь в мире науки : материалы IV внутривузов. студенч. науч.-практ. конф., 25 нояб. 2016 г. / Бюджет. учреждение высш. образования ХМАО – Югры «Сургут. гос. пед. ун-т», фак. соц.-культур. коммуникаций ; [редкол.: С.С. Богдан (отв. ред.) и др.]. – Сургут : РИО СурГПУ, 2017. – С. 61-63).

2) XXI студенческая научно-практическая конференция «Студенчество в научном поиске» (апрель 2017 год, г. Сургут), по итогам которой доклад занял первое место в секции.

Работа состоит из введения, двух частей и заключения. Список используемой литературы включает 25 наименований.

Теоретическая часть

Определение 1.Простая замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, ограниченной ею, называется многоугольником. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону.

Свойство 1.У выпуклого многоугольника все углы меньше 180̊

Свойство 2.Отрезок, соединяющий любые две точки выпуклого многоугольника (в частности, любая его диагональ), содержится в этом многоугольнике.

Свойство 3.Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180̊ ∙ ( n − 2)

Определение 2. Определить площадь многоугольника – значит поставить в соответствие каждому плоскому многоугольнику величину («площадь»), обладающую следующими свойствами:

  1. Два равных многоугольника имеют одну и ту же площадь.

  2. Многоугольник, составленный из нескольких многоугольников, имеет площадь, равную сумме их площадей.

  3. За единицу площади принимается площадь квадрата со стороной, равной единице длины.

Площадь многоугольника F будем обозначать S(F).

Аксиомы площади:

1) Равные фигуры имеют равные площади.

2) Площадь некоторого квадрата, сторона которого является единицей длины, равна единице.

3) Если фигура F разбита на две части B и C то S (F) = S (B) + S (C)

Определение 3. Фигуры, имеющие одну и ту же площадь, называются равновеликими.

Приведем формулы для вычисления площадей некоторых многоугольников.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны: .

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. А именно, если – прямоугольник со сторонами a и b, то его площадь: .

Площадь треугольника равна половине произведения любой из его сторон и проведенной к ней высоты: .

Площадь трапеции равна произведению полу суммы оснований и высоты, т. е, если а и b – основания трапеции, – высота и – площадь трапеции, то .

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны и проведенной к ней высоты: .

Пусть дан многоугольник F. Соединим точки Н и К, принадлежащие контуру его простой ломаной, все точки которой, исключая ее концы, лежат внутри этого многоугольника. В результате мы получим два многоугольника F1 и F2) имеющих общей частью указанную ломаную (рис. 1).

Рис. 1

Множество точек, принадлежащих многоугольнику F, представляет соединение множеств точек многоугольников F1 и F2. Поэтому мы скажем, что многоугольник F разложен на многоугольники F1 и F2, и условно запишем это так: F~F1+F2.

В свою очередь каждый из многоугольников F1 и F2 можно разложить на два новых многоугольника и так далее. Таким путем мы можем получить некоторые многоугольники Q1, Q2, ..., Qk, соединение множеств точек которых даст нам множество точек прямоугольника F. Ясно при этом, что любые два многоугольника Qi и Qj или не имеют общих точек, или общие точки этих многоугольников принадлежат их контурам. Будем говорить в этом случае, что многоугольник F разложен на многоугольники Q1, Q2, …, Qk и условно писать: Q~Q1+Q2+…+Qk[7].

Определение 4. Будем говорить, что многоугольник F представляет соединение многоугольников Q1, Q2, …, Qk. Два многоугольника F1 и F2 называются равносоставленными, если каждый из них можно разложить на одно и то же конечное число многоугольников так, что каждому многоугольнику одного разложения соответствует равный ему многоугольник другого разложения, и обратно. Из определения следует, что равносоставленные многоугольники обладают свойством симметрии.

Прямоугольник равносоставлен параллелограмму, зная формулу площади прямоугольника, находим, что площадь параллелограмма равна произведению длин его стороны и соответствующей высоты.

Треугольник равносоставлен параллелограмму, который имеет то же основание, и его высота в два раза меньше. Из этого свойства можно вывести формулу площади треугольника. В изучении равносоставленных фигур ключевую роль играет теорема Бояи-Гервина.

Теорема Бояи-Гервина. Два многоугольника, имеющих равные площади, равносоставлены.

Доказательство теоремы распадается на ряд лемм.

Лемма 1. Две многоугольные фигуры P и Q, равносоставленные с третьей фигурой R, равносоставлены.

Доказательство. Так как P~R,то найдутся такие разбиения фигур P и R на многоугольные фигуры P1,…,Pkи R1,…,Rk, что P1=R1,…,Pk=Rk. Аналогично, так как Q~R, то найдутся такие разбиения фигур Q и R на многоугольные фигуры Q1,…,Qnи R′1,…,R′n что Q1 = R′1,…,Qn=R′n.

Каждое разбиение многоугольной фигуры осуществляется некоторой сетью отрезков. На фигуре R «нарисованы» две сети: от разбиения R1,..,Rkи от разбиения R′1,…,R′n. Объединение этих двух сетей даст новую сеть из отрезков, которая разобьет фигуру R на более мелкие многоугольные фигуры. Эти многоугольные фигуры Rijполучаются в пересечении фигуры Ri с фигурой R′j. Каждая из фигур R1,…,Rk разбита на эти фигуры .R1

R1=R11+R12+…+R1n,

R2=R21+R22+…+R2n,

…………………….

Rk=Rk1+Rk2+…+Rkn

Так как P1=R1,то фигуруP1 можно разбить также, как иR1: P1=P11+…+P1n. Аналогичные разбиения получаем и для остальных фигурP2,…,Pk: P2=P21+P22+…+P2n,Pk=Pk1+…+Pkn. При этом для любых индексов iи j фигуры Pij и Rij равны.

Но и фигуры Q1,…,Qn, равные фигурам R′1,…,R′n , так же можно разбить на фигуры Qij , равные фигурам Rij:

Q1=Q11+Q21+…+Qk1,

…………………….

Qn=Q1n+Q2n+…+Qkn.

Так как Qij=Rij и Pij=Rij , то Qij=Pij . Следовательно, P~Q, что и требовалось доказать.

Лемма 2.Равновеликие параллелограммы P и Q,имеющие равную сторону, равносоставлены.

Доказательство. Расположим параллелограммы P и Q так, что их равные стороны АВ совпадают, а сами параллелограммы лежат с одной стороны от прямой АВ. Так как параллелограммы P и Q равновелики, то их высоты на сторону AB равны. Поэтому их стороны CD и KL, противоположные стороне AB, лежат на одной прямой, параллельной прямой АВ (рис. 2).

Рис. 2

Возможны два случая:

Случай 1. Боковые стороны параллелограммов P и Q не пересекаются. Пусть точка K лежит на стороне СD. Тогда параллелограмм P составлен из трапеции ABCK и треугольника ADK, а параллелограмм Q составлен из той же трапеции ABCK и треугольника BCL. Так как ∆ADK=∆BCL, то P~Q.

Случай 2. Боковые стороны параллелограммов P и Q пересекаются. Например, стороны AK и BC пересекаются в точке O. В параллелограммах P и Q разместим одинаковое число треугольников T, равных треугольнику AOB.

Если эти треугольники не заполняют полностью параллелограммы P и Q , то в P и Q, кроме треугольников T, останутся еще два параллелограмма A′B′CD и A′′B′′LK, соответствующие случаю 1. A′B′CD ~ A′′B′′LK, поэтому P~Q, что и требовалось доказать.

Лемма 3. Два равновеликих прямоугольника равносоставленные.

Доказательство. Пусть прямоугольник P со сторонами и прямоугольник Q со сторонами равновелики. Тогда . Можно считать, что и , а также что . Так как , то . Построим параллелограмм R со сторонами и c и высотой а на сторону (рис. 3). Поскольку S(P)=S(Q) и параллелограммы P и R имеют по стороне, равной , то P~R (по лемме 2).

Рис. 3

Далее, S(Q)=S(P)=S(R) и параллелограммы Q и R имеют по стороне, равной c. Поэтому Q~R (по лемме 2). А тогда P~Q по лемме 1, что и требовалось доказать.

Лемма 4.Каждый треугольник равносоставлен с прямоугольником, одной из сторон которого можно выбрать любой заданный отрезок.

Доказательство. В треугольнике ABC проведем высоту AD на большую сторону и среднюю линию KL || BC. Построим прямоугольник P, одной стороной которого является BC, а другая сторона лежит на прямой KL. Очевидно, что P~∆ABC. По лемме 3 прямоугольник Р равносоставлен с Q вытекает, что ∆ABC~Q, что и требовалось доказать.

Теорема 1. Равновеликие многоугольные фигуры, равносоставлены.

Доказательство. Пусть многоугольные фигуры P и Q равновелики. Они составлены из некоторых треугольников. Пусть фигура Р составлена из треугольников Т1,...,Тk. Фиксируем некоторый отрезок АВ и построим на нем прямоугольник АВВ1А1=Р1, равновеликий треугольнику Т1 (т.е. ). По лемме 4 P1~T1. Затем на А1В1 строим прямоугольник Р2=А1В1В2А2, равновеликий треугольнику Т2 (рис. 4). По лемме 4 Р2~Т2. Продолжая эти построения, построим прямоугольник Р′=ААkBkB=P1+P2+…+Pk. Так как S(T)=S(P1),…,S(Tk)=S(Pk),то S(P)=S(P′). Поскольку P=T1+…+Tk, P ′=P1+…+Pk, то P~P′ (T1~P1,…,Tk~Pk).

Рис. 4

Проведем теперь аналогичное построение для фигуры Q , строя на АВ прямоугольник, равновеликий фигуре Q. Так как S(Q)=S(P′), то в итоге построим тот же самый прямоугольник P′. Но тогда по лемме 1 P~Q. Теорема доказана.

Равносоставленность позволяет находить множество решений задач и доказательств теорем. Благодаря свойствам равносоставленных фигур стало возможным применение задач на разрезание. А они, в свою очередь, позволяют сократить и упростить ход решений и доказательств, особенно, если речь идет о площадях [7].

Решение задач на разрезание предполагает владение специальными приемами, с помощью которых проводятся дополнительные линии, разбивающие фигуры на части.

Так, Г. Лингрен в своей книге: «Занимательные задачи на разрезание» предлагает выделить некоторые виды разрезания, опишем далее три базовых разрезания.

  1. Разрезание типа S– преобразование одного параллелограмма в другой.

Сначала мы проводим разрез AB, равный по длине стороне второго параллелограмма. Затем, прикладываем часть С к противоположной стороне DE (рис. 5).

Рис. 5

В некоторых случаях полученные углы могут не совпадать с углами требуемого параллелограмма. Поэтому, мы проводим второй разрез DF (равный другой стороне искомого параллелограмма) и прикладываем часть G к противоположной верхней стороне (рис. 6).

Рис. 6

  1. Разрезание типа P-сдвиг.

Сначала мы проводим разрез NO и сдвигаем часть Р вверх вправо вдоль линии разреза, до тех пор, пока точка О не попадет на продолжение правой стороны параллелограмма. Затем мы проводим разрез, вдоль пунктирной линии и вставляем полученный треугольник в выемку, расположенную ниже О. В итоге получили новый параллелограмм, стороны которого отличны от прежнего, но углы равны (рис. 7).

Рис. 7

  1. Ступенчатое разрезание.

При использовании такого разрезания, прямоугольник размерностью 9×4 можно преобразовать в квадрат, при этом, число частей окажется равным не трем, а двум (рис. 8).

Рис. 8

Если часть X передвинуть на одну ступеньку вверх, поместив ее над частью Y, то сразу получим квадрат [14].

Таким образом, мы исследовали понятие многоугольника. Дали его определение, вывели свойства. Изучили определение площади многоугольника и требования, которым она должна соответствовать. Привели формулы площадей многоугольников (квадрата, прямоугольника, треугольника, параллелограмма и трапеции). Увидели связь между равносоставленностью и равновеликостью многоугольников, используя теорему Бояи-Гервина. С помощью разрезания можно разбить один многоугольник на множество, используя разрезы типа S-сдвиг, P-сдвиг, ступенчатое разрезание.

Практическая часть

Для решения задач на разрезание необходимо знать: основы планиметрии, теорию геометрии, геометрические фигуры (их признаки и свойства).

Исследуя материал, выделим следующие виды задач на разрезание:

  1. танграм;

  2. пентамино;

  3. задачи на клетчатой бумаге;

  4. разбиение плоскости;

  5. задачи на площади фигур (равносоставленность);

  6. превращение фигур;

  7. задачи на разрезание в пространстве;

  8. другие задачи на разрезание.

1. Танграм – головоломка, которая состоит из семи плоских геометрических фигур, полученных делением квадрата на семь частей. Существуют разновидности танграмов. Цель задачи – получение новых фигур (рис. 9).

Рис. 9

Задача 1.Сколько различных частей танграма потребуется, чтобы из них можно было составить прямоугольник.

Решение. Прямоугольник можно составить из следующих частей: из двух маленьких треугольников параллелограмма (рис. 10, а), из двух маленьких треугольников и квадрата (рис. 10, б), из пяти частей танграма (рис. 10, в).

Рис. 10

2. Пентамино состоит из плоских фигур, каждая из которых содержит пять одинаковых квадратов.

Задача 2. Сложить из всех фигурок, без перекрытий и зазоров, прямоугольник.

Решение. Каждая из 12 фигур состоит из пяти квадратов. Получается, что прямоугольник должен быть площадью 60 единичных квадратов. Это значит, что возможны прямоугольники 6×10, 5×12, 4×15 и 3×20

Для случая 6×10 эту задачу впервые решил в 1965 году Джон Флетчер. Существует 2339 различных укладок пентамино в прямоугольник 6×10.

Для прямоугольника 5×12 существует 1010 решений, для 4×15 –368 решений, а для 3×20 – всего 2 решения. В частности, существует 16 способов сложить два прямоугольника 5×6, из которых можно составить как прямоугольник 6×10, так и 5×12 (рис. 11).

Рис. 11

3. Задачи на клетчатой бумаге

Основываются на разрезании фигур:

а) на заданное число равных частей;

б) на заданное число равных и подобных ей фигур ;

в) определённым количеством прямых на максимально возможное число частей, не обязательно равных.

Задача 3. Квадрат включает в себя 16 клеток. Разбейте квадрат на две равные части таким образом, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток [11].

Решение. Ломаная линия, которая делит квадрат на две равные части, симметрична относительно центра квадрата, это позволяет рисовать ломаную с двух концов. Например, если начало ломаной в точке A, то конец ее будет в точке B (рис. 12).

Рис. 12

Задача 4.Разрежьте фигуру на четыре равные по форме части (рис. 13).

Рис. 13

Решение. Маленькие фигуры будут состоять из трех клеток, Их всего два вида: «уголок» и прямоугольник 1×3 (рис. 14).

Рис. 14

  1. Разбиение на плоскости. Включают в себя следующие задачи:

  1. Сплошные разбиения прямоугольников на плитки прямоугольной формы. Разбиение прямоугольника называется сплошным (сплошным паркетом), если в нём нет «линий разрыва», т. е. любая линия, проходящая от стороны до стороны, пересекает, хотя бы одну плитку.

  2. Задачи на составление паркетов.

  3. Задаче о наиболее удобной укладке фигур в прямоугольнике или квадрате.

Задача 5. Покройте плоскость одинаковыми фигурами, изображенными на рисунке 15.

Рис. 15

Решение. Первый способ: «Паркет с линиями разрыва».

Сначала из двух фигур складываем прямоугольник, а ими затем покрываем всю плоскость (рис. 16).

Рис. 16

Второй способ: «Сплошной паркет».

Укладываем части плотно друг к другу, как показано на рисунке 17. Далее покрываем ими всю плоскость.

Рис. 17

Задача 6.Выложить плитками 2×1 пол в комнате размером 5×6.

Решение. Если пол в прямоугольной комнате p×q выложен плитками 2×1, то p ∙ q четно. И обратно: если p ∙ q четно, то пол можно выложить плитками 2×1.

Задача 7.Есть четыре квадрата со сторонами 1, восемь – со стороной 2, двенадцать – со стороной 3. Можно ли из них сложить один квадрат?

Решение. Должен получиться квадрат 12×12. По его периметру уложится двенадцать квадратов 3×3. Останется квадрат 6×6, по его периметру уложим восемь квадратов 2×2, и останется квадрат 2×2 – как раз четыре квадрата 1×1.

Задача 8.Можно ли прямоугольник 35×23 клетки разрезать без остатка на прямоугольники размером 5×7?

Решение. Это не возможно, потому что число 23 нельзя представить в виде суммы пятерок и семерок.

5. Задачи на площади фигур. Цель – доказать равносоставленность фигур, путем их разрезания.

Задача 9.Преобразовать один параллелограмм в другой, равновеликий ему параллелограмм [17].

Решение. Сначала проведем разрез AB, который будет равен длине стороне второго параллелограмма, далее мы прикладываем часть С к противоположной стороне DE.

У получившегося путем преобразований параллелограмма сторона AB и высота, опущенная на AB, имеют уже нужную нам длину, но углы могут еще не совпадать с углами требуемого параллелограмма. Поэтому мы проводим второй разрез DF (равный другой стороне искомого параллелограмма) и прикладываем часть G к противоположной, верхней стороне. При этом, у полученного параллелограмма ни одна из сторон и ни один из углов не совпадут со сторонами и углами исходного параллелограмма (рис. 18).

Рис. 18

Задача 10. Известно, что для некоторого выпуклого шестиугольника AB1CA1BC1 выполнены равенства

AB1=B1C, CA1=A1B, BC1=C1A,

∠ A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1.

Докажите, что площадь треугольника A1B1C1 составляет половину площади всего шестиугольника.

Решение. Сумма всех углов шестиугольника равна 720̊, так, что ∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1=360̊, получается, что из треугольников B1CA1,A1BC1 и C1AB1 можно сложить треугольник. Его стороны будут равны A1B1, B1C1,A1C1, то есть треугольник A1B1C1 распадается на треугольники, соответственно равные B1CA1, A1BC1, и C1AB1, ч.т.д.

6.Задачи на разрезание в пространстве.

Задача 11.Какое минимальное число плоских разрезов нужно сделать, чтобы разделить куб на 64 маленьких кубика? После каждого разреза разрешается перекладывать части куба как угодно.

Решение. После каждого разреза число частей может возрасти не больше, чем в два раза. После первого разреза куб распался на 2 части, затем после второго – на 4, затем эти четыре части складываем в столбик и разрезаем их плоским разрезом, получается 8 частей, затем 16, затем 32, и, наконец, 64.

Ответ: 6 разрезов.

  1. Другие задачи на разрезание

Задача о разрезанном треугольнике – известная оптическая иллюзия. Два прямоугольных треугольника составлены из одинаковых частей 13×15, но в одном из них есть дыра размером 1×1.

Задача 12.Треугольник составлен из четырех частей. После того, как переставили части, визуально сохранив изначальные пропорции, внутри треугольника появился квадрат, который не занят ни одной частью (рис. 19).

Рис. 19

Решение. Синий и красный треугольники имеют неравные углы, что визуально незаметно из-за слишком малой разницы. Поэтому на первом рисунке создаётся излом внутрь, а на втором – наружу. Это можно проверить вычислениями.

Площадь каждого треугольника 13×5 не равна площади частей, из которых они составлены.

"Гипотенуза" на самом деле является ломаной линией. Действительно, общая площадь четырёх частей (жёлтой, красной, синей и зелёной) равна кв. ед., а площадь треугольника 13×5 равна 32,5 кв. ед. Отношение длин катетов синего треугольника 5:2, а красного – 8:3, поэтому эти треугольники не являются подобными, а значит, имеют разные углы. Гипотенузы в обоих треугольниках 13×5 на самом деле являются ломаными линиями. Если наложить треугольники 13×5 друг на друга, то между их гипотенузами образуется параллелограмм, в котором и содержится "лишняя" площадь.

Задача 13. На листе бумаги нарисовали произвольный многоугольник. Можно ли так сложить лист бумаги, чтобы вырезать многоугольник одним прямолинейным разрезом?

Решение. Рассмотрим простейший случай – произвольный треугольник. Проведём биссектрисы и из точки их пересечения опустим перпендикуляры на стороны треугольника (рис. 20).

Рис. 20

По этим лучам и будем сгибать лист бумаги. Все границы треугольника – стороны – оказались лежащими на одной прямой. Сделаем вдоль неё прямолинейный разрез. Развернём отрезанный уголок – это наш изначальный треугольник (рис. 21).

Рис. 21

Если развернуть оставшуюся часть листа, то видно, что ничего лишнего не вырезано - дырка тоже имеет вид изначального треугольника (рис. 22).

Рис. 22

Задача 14. Сложить лист бумаги так, чтобы можно было вырезать многоугольник одним прямолинейным разрезом?

Решение. Нарисуем пятиконечную звезду. Это невыпуклый многоугольник с 10 вершинами. Однако в этом случае задача облегчается симметричностью звезды.

Проведём лучи, исходящие из центра и проходящие через вершины. По этим лучам сложим лист бумаги (рис. 23).

Рис. 23

Отрежем уголок. После разворачивания получим вырезанную звезду и дырку в виде звезды [25].

Таким образом, в практической части исследования рассмотрены 8 видов задач на разрезание.

Заключение

Исследуя теоретический вопрос о системе задач на разрезания многоугольников, а также методы решения этих задач, мы поставили цель – систематизировать данный материал и найти возможность его применения.

За основу было взято понятие «многоугольник», мы дали определение данного понятия, рассмотрели его свойства, выяснили, что такое площадь многоугольника. Далее мы ввели понятия равновеликости и равносоставленности, рассмотрели площади некоторых многоугольников, привели доказательство теоремы Бояи-Гервина. Затем мы привели примеры некоторых типов разрезаний.

В практической части работы мы выделили некоторые виды задач на разрезание и рассмотрели их решение.

В совокупности мы пришли к выводу, что данные задачи составляют основу для решения многих практических задач, а приемы их решения используются в доказательстве серьезных математических утверждений. Они имеют различный уровень трудности, тем самым помогая развивать комбинаторные навыки, формировать геометрические представления о разнообразном материале, проявлять свою смекалку, интуицию, способность творчески мыслить.

Список использованных источников

  1. Александров, А.Д. Геометрия [Текст]: Учеб. Пособие для 8 кл. с углубл. Изучением математики / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. – М.: Просвещение, 2008. – 240 с.

  2. Атанасян, Л.С. Геометрия, 7–9 [Текст]: учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.В. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2008. – 384 с.

  3. Балк, М.Б. Математика после уроков [Текст] / М.Б Балк, Г.Д. Балк. – М.: Просвещение, 1971 – 360 с.

  4. Барр, С. Т. Россыпи головоломок [Текст] / С. Т. Барр. – М.: Мир, 1987. – 207 с.

  5. Болтянский, В.Г. Равновеликие и равносоставленные фигуры [Текст] / В.Г. Болтянский. – М.: 1956. – 241 с.

  6. Бугаенко, В.О. Математический кружок. 9 класс. Методическая разработка вечернего отделения МММФ [Текст] / В.О. Бугаренко. – М.: Изд–во механико–математического факультета МГУ и центра прикладных исследований, 2011. – 72 с.

  7. Вернер, А.Л. Геометрия. Ч.1 [Текст]: учеб. пособие для физико-мат. фак. пед. ин-тов / А.Л. Вернер, Б.Е. Кантор, С.А. Франгулов. – СПб.: Спец.лит., 1997. – 351 с.

  8. Гарднер, М. Есть идея! [Текст] / М. Гарднер. – М.: Мир, 1982. – 367 с.

  9. Григорьева, Г.И. Подготовка школьников к олимпиадам по математике: 5 – 6 классы [Текст]: Метод. Пособие / Г.И. Григорьева. – М.: Глобус, 2009. – 287 с.

  10. Дьюдени, Г.Э. 250 головоломок [Текст] / Сост. и ред. амер. изд. М. Гарднер. Пер. с анг. Ю.Н. Сударева. – М.: Мир, 1975. – 426 с.

  11. Екимова, М.А. Задачи на разрезание [Текст] / М.А. Екимова, Г.П. Кукин. – М.: МЦНМО, 2014. – 120 с.

  12. Кордемский, Б.А. Удивительный квадрат [Текст] / Б. А. Кордемский. – М.: Книга по Требованию, 2012. – 158 с.

  13. Жарковская, Н.М. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика [Текст] / Н.М. Жаровская, Е.А. Рисс // Математика, 2009, № 17, с. 24–25.

  14. Лингрен, Г. Занимательные задачи на разрезание [Текст]. Пер. с анг. Ю.Н. Сударева. Под ред. и с послесл. И.М. Яглома. – М.: Мир, 1977. – 341 с.

  15. Погорелов, А.В. Геометрия. 7 – 9 кл [Текст] / А.В. Погорелов. – М.: Просвещение, 2004. – 132 с.

  16. Прасолов, В.В. Задачи по планиметрии. – 2-е изд. – Часть II [Текст] / В.В. Прасолов. – М.: Наука, 2007. –87 с.

  17. Савин, А.П. Задачи на разрезание [Текст] / А.П. Савин // Квант. - 1987. – № 7.

  18. Савин, А.П. Задачи на разрезание [Текст] / А.П. Савин // Квант. – 1987. – № 8

  19. Смирнова, И.М. Геометрия. 7 – 9 классы [Текст]: учеб. Для общеобразоват. Учреждений –2-е изд., испр / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. – М: Мнемозина, 2007. – 376 с.

  20. Смирнова, И.М. Геометрия на клетчатой бумаге [Текст] / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. – М.: Чистые пруды, 2009. – 241 с.

  21. Чулков, П.В Математика: Школьные олимпиады [Текст] / П.В. Чулков. – М: Энас, 2004. – 88 с

  22. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7-9 кл [Текст] / И.Ф. Шарыгин. – М.: Дрофа, 2015. – 464 с

  23. Шарыгин И.Ф. Математика. Наглядная геометрия 5–6 классы. 2-е изд [Текст] / И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева. – М: 2015. – 192 с.

  24. Шашкин, Ю.А. Паркеты [Текст] / Ю.А. Шашкин // Миф. – 1998. – № 3. – С. 99.

  25. Фонд «Математические этюды»: [Электронный ресурс]. М., 2002–2017. – Режим доступа: http://www.etudes.ru, свободный. (Дата обращения: 17. 03. 2017).

Просмотров работы: 1074