ВРП является основным результативным показателем, который зависит от каждого из рассматриваемых ресурсов. Если между двумя экономическими показателями существует зависимость, то она может быть точной и однозначной или корреляционно-регрессионной. В первом случае значению независимого показателя соответствует строго определенное значение зависимого показателя и описывается точной математической формулой, во втором случае зависимость является приближенной (а не точной и однозначной) и описывается математической формулой, вид которой заранее не задан.
Зависимости ВРП от каждого из ресурсов относятся к зависимостям второго вида. Такие зависимости справедливы только для статистической совокупности данных, в качестве которой нами выбрана совокупность 13-ти регионов ЮФО и СКФО.
Статистическую совокупность формируют по определенным правилам, в частности:
- количество объектов совокупности должно быть достаточно представительной, с нашей точки зрения таких объектов должно быть не менее пяти;
- объекты должны быть сопоставимыми, т.е. нельзя, например, сформировать совокупность из наугад выбранных регионов.
Исследование о наличии или отсутствии зависимости между парой показателей целесообразно начать с построения графиков. Такие графики для корреляционно-регрессионных связей и зависимостей принято называть графиками «точек рассеивания». Корреляционная связь (зависимость) может существовать не только результативных показателей от затратных, но и наоборот (затратных показателей от результативных) и даже между самими результативными и самими затратными показателями. Такие графики нами построены для зависимостей ВРП от каждого из ресурсов, а также для зависимостей между ресурсами. Анализ таких графиков показывает, что в трех случаях (Y от L; K от I и L от I) одна из точек графиков расположена на значительном расстоянии от других. Это означает, что регион, который представлен этой точкой существенно отличается от других. В нашем случае в качестве особого региона выступает Краснодарский край – самый благополучный и самый крупный из регионов ЮФО и СКФО.
Сравнение показателей Краснодарского края с показателями самого малого (Республика Ингушетия) и самого крупного после Краснодарского края (Ростовская область) регионов показывает, что показатели Краснодарского края многократно (много раз) превышает показатели Республики Ингушетия и от 1,2 до 4,4 раза превышает показатели Ростовской области. Сказанное достаточный аргумент для рассмотрения Краснодарского края как особого региона. В настоящем исследовании нами показано влияние Краснодарского края на рассматриваемые связи и зависимости путем сравнения статистических характеристик и параметров построенных корреляционно-регрессионных уравнений для всех 13-ти регионов ЮФО и СКФО и для 12-ти регионов без Краснодарского края.
Анализ графиков «точек рассеивания» показывает, что между всеми рассматриваемыми парами показателей имеет место корреляционно-регрессионные зависимости или связи.
Математические формулы, выражающие корреляционные связи и зависимости, называются уравнениями регрессии. Поэтому выявить корреляционные связи и зависимости означает построить уравнения регрессии, а построить уравнение регрессии означает рассчитать его параметры и статистические характеристики, а также провести их анализ [1, 2, 3, 4, 5].
Построение уравнений регрессии требует выполнения множества математических расчетов. Для выполнения таких расчетов в настоящее время разработаны и широко применяются различные прикладные программные средства. В частности, все расчеты, связанные с построением уравнений регрессии можно выполнить средствами MS Excel [1, 6]. Отметим, что MS Excel представляет возможность выполнения расчетов параметров и характеристик двумя способами: при первом способе исследователь может по своему усмотрению выбирать и рассчитывать каждый параметр и статистическую характеристику в отдельности; при втором способе с помощью встроенных функций ЛИНЕЙН и ЛГРФПРИБЛ можно одновременно в виде массивов данных рассчитывать по десять показателей (для парных связей и зависимостей) – два параметра уравнения и восемь статистических характеристик.
С помощью функции «ЛИНЕЙН» рассчитываются параметры и статистических характеристик уравнений регрессии линейного вида и нелинейных уравнений, которые могут быть приведены к линейному виду. Согласно MS Excel функция «ЛИНЕЙН» рассчитывает параметры и статистические характеристики для уравнения прямой линии, имеющий вид , а ЛГРФПРИБЛ - для показательного уравнения вида , где y, x – величины зависимого и независимого экономического показателей; b, m – параметры, величины которых требуется рассчитать.
Нами рассчитаны и сведены в отдельные аналитические таблицы величины параметров и характеристик уравнений парной регрессии для исследуемых нами зависимостей, рассчитанные двумя выше описанными способами. В одной из таблиц приведены величины обоих параметров (b, m) и восьми статистических характеристик, выведенные в виде двухмерных массивов данных с помощью функции «ЛИНЕЙН» из «Мастера функций…», в другой таблице – те же параметры и статистические характеристики в удобном для анализа виде, а в третьей таблице – семь показателей, пять из которых рассчитываются в отдельности по встроенным функциям, имена которых записаны в соответствующие ячейки первого столбца. Два показателя введены в третью таблицу авторами: первый – среднее арифметическое значение результативного (зависимого) показателя, а второй - средняя ошибка аппроксимации (A) - очень важная статистическая характеристика, отсутствующая в наборе MS Excel, которую можно рассчитать по формуле:
, где .
Средняя ошибка аппроксимации измеряется в процентах и ее величина в пределах 5-7% свидетельствует об очень хорошем подборе модели к исходным данным [1,2,4].
В таблице 1 приведены параметры и статистические характеристики построенных нами уравнений регрессии для 13-ти регионов. Анализ принято начинать с оценки приемлемости построенных уравнений по величинам статистических характеристик. Напомним, что для каждой пары зависимости нами рассматривается возможная приемлемость уравнений регрессии четырех видов: линейного, показательного, гиперболического и степенного. Напомним также, что нами проверяется наличие зависимости (связи) между шестью парами показателей: Y от K, Y от L, Y от I, K от I, K от L, L от I.
Таблица 1
Величины параметров и ключевых статистических характеристик уравнений парной регрессии, выражающих взаимозависимости ВРП и трех основных ресурсов для совокупности 13-ти регионов Южного и Северо-Кавказского федеральных округов по данным за 2014 г., рассчитанные по статистическим функциям MS Excel
линейн |
Y от K |
Y от L |
Y от I |
K от I |
K от L |
L от I |
отрезок |
-29,7 |
-42,2 |
85,9 |
284,9 |
-23,5 |
373,0 |
наклон |
0,4445 |
0,3956 |
1,5041 |
3,1470 |
0,8834 |
3,3355 |
квпирсон |
0,9723 |
0,9518 |
0,8254 |
0,7344 |
0,9645 |
0,6676 |
стошух |
51,5 |
67,9 |
129,3 |
353,7 |
129,4 |
439,9 |
F-критерий |
385,6 |
217,4 |
52,0 |
30,4 |
298,6 |
22,1 |
срзнач |
244,7 |
244,7 |
244,7 |
617,2 |
617,2 |
725,3 |
А |
21,1 |
27,8 |
52,8 |
57,3 |
21,0 |
60,7 |
степ |
||||||
отрезок |
0,3528 |
0,1578 |
4,7155 |
14,0402 |
0,5769 |
22,9822 |
наклон |
1,0072 |
1,1006 |
0,8668 |
0,8426 |
1,0517 |
0,7747 |
квпирсон |
0,9540 |
0,9835 |
0,9242 |
0,9287 |
0,9549 |
0,9094 |
стошух |
0,1220 |
0,0730 |
0,1566 |
0,1473 |
0,1171 |
0,1543 |
F-критерий |
228,0 |
656,1 |
134,2 |
143,3 |
233,0 |
110,4 |
срзнач |
2,0909 |
2,0909 |
2,0909 |
2,5252 |
2,5252 |
2,6282 |
А |
5,8 |
3,5 |
7,5 |
5,8 |
4,6 |
5,9 |
Анализ четырех статистических характеристик из таблицы 1 (квпирсон, стошух, F-критерий, средняя ошибка аппроксимации (А)) показывает, что все уравнения линейного, степенного и показательного видов приемлемы для описания и оценки всех шести зависимостей. Не приемлемыми можно считать все уравнения гиперболического видов.
Важным является, с нашей точки зрения, тезис о приемлемоти различных видов математических уравнений для описания и оценки одних и тех же зависимостей. Однако при этом следует иметь в виду различная степень такой приемлемости. В нашем случае по совокупности четырех рассматриваемых статистических характеристик предпочтительнее для всех исследуемых зависимостей уравнения степенного вида, затем уравнения показательного вида [1].
Наибольшую аналитическую ценность из рассматриваемых в таблице 1 показателей представляют параметры уравнений: отрезок (b) и наклон (m). С их помощью, во-первых, можно математически записать уравнения регрессии; во-вторых, определить степень эффективности использования ресурсов.
Ниже приведена математическая запись семи уравнений регрессии, выражающих зависимость ВРП (Y) от каждого из трех ресурсов (K, L, I), которые являются, с нашей точки зрения, приемлемыми:
степенного вида - ; ;
.
показательного вида - ; ;
линейного вида - ; ;
На основе уравнений парной регрессии можно определить величины двух важных экономических показателей: предельного эффекта; коэффициентов эластичности. Первый из этих показателей представляет собой производная, величины которой в нашем случае определяются по формулам: , . Величины второго показателя (коэффициента эластичности) определяются по формулам:
; ; .
Нами рассчитаны и сведены в отдельную таблицу величины предельного эффекта и коэффициентов эластичности для семи вышеприведенных уравнений регрессии. Экономический смысл показателей состоит в следующем:
- предельный эффект показывает на какую абсолютную величину (в млрд.руб.) увеличится ВРП (Y), если величина включенного в модель ресурса увеличится на одну абсолютную единицу (в нашем случае K на 1 млрд.руб., L на 1 тыс.чел., I на 1 млрд.руб.);
- коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов увеличится ВРП (Y), если величина включенного в модель ресурса увеличится на один процентный пункт (т.е. в нашем случае K, L или I на 1 %).
Уравнения регрессии линейного и степенного видов имеют предпочтение по сравнению с другими видами уравнений, которое состоит в том, что показатели экономического эффекта для линейных уравнений и коэффициентов эластичности для степенных уравнений представляют собой числовые величины. По другим видам уравнений регрессии рассматриваемые показатели эффекта и эластичности представляют собой переменные величины, выраженные формулами.
Величины предельного эффекта использования основных фондов ( от 0,3653 (Республика Ингушетия) до 0,3755 (Краснодарский край). Разница является не значительной. Разница между максимальной и минимальной величинами для предельного эффекта использования численности занятых в экономике ( заметно выше: от 0,2657 (Республика Ингушетия) до 0,3781 (Краснодарский край). Еще значительнее разница в величинах предельного эффекта использования инвестиций (: 1,7159 (Краснодарский край) до 3,3454 (Республика Ингушетия).
Показатели предельного эффекта и коэффициентов эластичности нами определены и для уравнений, выражающих корреляционные связи (зависимости) между тремя парами ресурсов.
Возникает вопрос, что означают в этом случае:
а) предельный эффект , ;
б) коэффициент эластичности ; ; ?
Очевидно, что они не могут означать то же самое, что и в уравнениях для зависимости ВРП (Y) от каждого из ресурсов (K, L, I). В литературных источниках мы не столкнулись с подобными исследованиями, которые, с нашей точки зрения, заслуживают внимания. В корреляционных зависимостях (или связах) между ресурсными показателями не корректно говорить о предельном эффекте одного ресурса по отношению к другому. Поэтому предельный эффект (коэффициент эластичности) следует трактовать иначе. Например, в уравнении коэффициент регрессии m при показателе-факторе L означает количество единиц, на которое должно увеличиться ресурс K (в млрд.руб.), если ресурс L увеличит на одну единицу (на 1 тыс.чел.). Дело в том, что говорить об увеличении или уменьшении ресурсов K и L без увязки с зависимым от них результативным показателем ВРП (Y) бессмысленно. Однако следующие суждения справедливы: если одновременно оба ресурса K и L увеличить первый на 1 млрд.руб., второй на 1 тыс.чел., то по построенным нами формулам зависимости ВРП (Y) от K и от L величина ВРП увеличится на 0,8401 млрд.руб. (0,4445+0,3956). Отсюда не сложно подсчитать, что, если L увеличится на 1 тыс.чел., а K - на 0,8834 млрд.руб. (это следует из уравнения корреляционной связи K от L), то ВРП (Y) увеличится на 0,7828 млрд.руб. (0,4445*0,8834+0,3956).
Вторая трактовка смысла параметра m является, на наш взгляд, более обоснованной. Если корреляционную связь K от L выразить уравнением, например, линейного вида , то правомерно утверждение, что коэффициент m показывает количество ресурса K (в млрд.руб.), которое может заменить одна единица ресурса L (1 тыс.чел.). В нашем примере m, равное 0,8834, представляет собой стоимость основных фондов (в млрд.руб.), которая может заменить 1 тыс.чел. работников, т.е. 1 тыс.чел. как ресурс равна 0,8834 млрд.руб.основных фондов.
Как известно, в экономике ресурсы взаимозаменяемы. Классическим примером такой взаимозаменяемости являются основные фонды и численность работников. Следовательно, в нашем случае численность работников в 1 тыс.чел. можем заменить основные фонды на 0,8834 млрд.руб. Аналогично можно проводить анализ величин предельного эффекта уравнений регрессии других видов.
Заслуживает внимания и рассмотрения и такой важный вопрос как корреляционная зависимость или связь ресурсов от ВРП. С математической точки зрения, если задана зависимость y от x, то всегда можно найти и зависимость x от y. Пусть, например, заданы два уравнения, выражающие зависимость функции y от независимой переменной x:
а) - линейная зависимость;
б) - степенная зависимость.
Тогда справедливы и следующие два уравнения, полученные основе вышеприведенных:
а) ; б) .
Однако напомним, что в этих случаях математика имеет дело с функциями (а не корреляционными зависимостями). Тем не менее, мы убеждены в правомерности применения описанного математического подхода к эконометрическим уравнениям.
Так, в нашем случае было получено следующее линейное уравнение регрессии, выражающее корреляционную зависимость ВРП (Y) от стоимости основных фондов (K):
.
Приняв в этом уравнении K за зависимую переменную, а Y - за независимую переменную, можно получить следующее уравнение регрессии:
.
Выполнив вычисления, окончательно получим:
.
Согласно коэффициенту регрессии при Y, чтобы увеличить ВРП на 1 млрд.руб. требуется увеличить основные фонды (K) на 2,2496 млрд.руб.
Однако более приемлемым является построение и анализ уравнений регрессии для корреляционной зависимости (связи) объемов каждого ресурса (K, L, I) от ВРП (Y), а также зависимостей I от K, L от K и I от L.
Хотим обратить внимание на одну очень существенную деталь: если наиболее приемлемой зависимостью для Y от K оказалась, например, линейная, то отсюда не следует, что наиболее приемлемой зависимостью для K от Y тоже окажется линейная. В этом и заключается особенность и отличие корреляционных (эконометрических) уравнений от уравнений математических функций.
Выше рассмотрены зависимости, выявленные нами для 13-ти регионов. Аналогичные расчеты и анализ результатов проведены нами и для 12-ти регионов (без Краснодарского края) с целью проверить степень влияния самого экономически крупного и благополучного региона на корреляционные связи и зависимости. Из трех приемлемых линейных связей в двух случаях величина A для 13-ти и 12-ти регионов существенно различаются (L от Y и L от K): для L от Y степень приемлемости корреляционной связи после исключения из рассмотрения Краснодарского края усилилась, для L от K – снизилась. Все шесть рассматриваемых пар корреляционных связей показательного и степенного видов примерно можно считать приемлемыми по величине средней ошибки аппроксимации (A). После исключения из рассмотрения Краснодарского края приемлемость двух парных связей показательного вида усилилась (K от Y, L от Y), приемлемость одной (I от L) – снизилась.
Степень приемлемости корреляционных связей степенного вида для пяти пар практически не изменилась. Лишь для пары I от K исключение Краснодарского края заметно усилила приемлемость связи для этой пары.
В таблице 2 приведены величины параметра m для совокупности 13-ти и 12-ти регионов ЮФО и СКФО для приемлемых (по основным статистическим характеристикам) уравнений регрессии, а также отношения величин этого параметра для 13-ти регионов к их величинам для 12-ти.
Таблица 2
Величины коэффициента регрессии (m) для приемлемых корреляционных взаимосвязей
ВРП (Y) и ресурсов (K, L, I), а также между ресурсами по данным
13-ти и 12-ти регионов ЮФО и СКФО за 2014 г.
Y от K |
Y от L |
Y от I |
K от I |
K от L |
L от I |
||
ВРП (Y) от ресурсов (K, L, I) и одних ресурсов от других |
|||||||
линейн |
Для 13-ти |
0,4445 |
0,3956 |
0,8834 |
|||
Для 12-ти |
0,3909 |
0,3292 |
0,8158 |
||||
степен |
Для 13-ти |
1,0072 |
1,1006 |
0,8668 |
0,8426 |
1,0517 |
0,7747 |
Для 12-ти |
0,9736 |
1,0628 |
0,9231 |
0,9349 |
1,0384 |
0,8649 |
|
Отношение для 13-ти регионов к для 12-ти |
|||||||
линейн |
1,1371 |
1,2017 |
1,0829 |
||||
степен |
1,0345 |
1,0356 |
0,9390 |
0,9013 |
1,0128 |
0,8957 |
|
K от Y |
L от Y |
I от Y |
I от K |
L от K |
I от L |
||
Ресурсов (K, L, I) от ВРП (Y) и одних ресурсов от других |
|||||||
линейн |
Для 13-ти |
2,1872 |
2,4058 |
1,0918 |
|||
Для 12-ти |
2,4778 |
2,9704 |
1,1611 |
||||
степен |
Для 13-ти |
0,9472 |
0,8936 |
1,0663 |
1,1022 |
0,9080 |
1,1738 |
Для 12-ти |
0,9692 |
0,926 |
0,9837 |
1,0008 |
0,9088 |
1,0579 |
|
Отношение для 13-ти регионов к для 12-ти |
|||||||
линейн |
0,8827 |
0,8099 |
0,9403 |
||||
степен |
0,9773 |
0,9650 |
1,0840 |
1,1013 |
0,9991 |
1,1096 |
Параметр b, как уже отмечалось выше, ни для одного из построенных видов уравнений регрессии (линейного, показательного, гиперболического и
степенного) не поддается экономической интерпретации. Поэтому нет необходимости в сравнительной оценке величин этого параметра.
Особый интерес представляет сравнительная оценка величин параметров для совокупности 13-ти и 12-ти регионов уравнений регрессии линейного и степенного видов, поскольку в этих случаях параметр m всегда имеет экономический смысл и представляет собой числовую величину. Напомним, что в случае линейной регрессионной зависимости величина параметра m равна величине предельного эффекта показателя–фактора по отношению к результативному показателю, т.е. , где y – величина
результативного показателя (в нашем случае – ВРП), xi – величина i-го показателя-фактора (в нашем случае x1=K, x2=L, x3=I). В случае степенной регрессионной зависимости величина параметра m равна величине коэффициента эластичности показателя–фактора по отношению к результативному показателю, т.е. и представляет собой числовую величину, измеряемую в процентах. В нашем случае: ; ; .
Как видно из таблицы 2, исключение Краснодарского края в случае линейной и степенной видов зависимостей привело к уменьшению предельного эффекта и величин коэффициента эластичности для уравнений регрессии Y от K и Y от L; коэффициент эластичности для зависимости Y от I после исключения Краснодарского края увeличился. Одной из причин этого является особенность инвестиций как ресурса для производства по сравнению с двумя другими ресурсами (основными фондами и численностью работников). Как правило, регионы, имеющие больше ресурсов K и L (основных фондов и работников занятых в экономике) при прочих равных условиях производят больше продукции (в нашем случае ВРП). Кроме того без ресурсов K и L производство как таковое невозможно. Иначе обстоит дело с инвестициями. Здесь тезис чем больше объем инвестиций, тем больше ВРП не всегда справедлив: во-первых, объем инвестиций по тому или иному региону в один временной период могут быть значительно большими, чем в предыдущий или следующий период; во-вторых, инвестиции влияют на ВРП не непосредственно (как основные фонды и численность работников), а через основные фонды, поскольку основная часть инвестиций используется на создание новых объектов основных фондов или на их обновление(инвестиции вкладываются и в рабочую силу - на обучение работников и на повышение их квалификации); в-третьих, отдача от вложения инвестиций в виде увеличении объемов продукции происходит, как правило, с некоторым запаздыванием во времени, т.е. с лагом времени в 1, 2 и более лет; в-четвертых, чтобы создать объекты относящиеся к основным фондам требуются затраты инвестиций не за один, а несколько временных периодов.
Сказанное об особенностях инвестиций нами проверена путем построения таблицы с данными об удельном весе каждого из 13-ти регионов ЮФО и СКФО в суммарных величинах четырех рассматриваемых показателей. Анализ этих данных показывает, что четыре самых крупных регионов ЮФО и СКФО занимают по удельному весу во всех четырех показателях 1-е - 4-е места: Краснодарский край и Ростовская область 1-е и 2-е места по каждому показателю, Волгоградская область по показателям Y, K, L, I – соответственно 3-е, 3-е, 4-е, 4-е и Ставропольский край - 4-е, 4-е, 3-е, 3-е. Но эти места характеризуют экономику регионов не однозначно.
Иная картина наблюдается по четырем самым малым регионам, занимающим 13-е – 10-е места (республики Ингушетия, Калмыкия, Карачаево-Черкесская и Адыгея). Так, по Республике Ингушетия доля в Y, K, L примерно равны, но доля в инвестициях в два раза меньше, чем в ВРП. Удельные веса республик Калмыкия, Карачаево-Черкесская и Адыгея в ВРП меньше, чем в двух основных ресурсах, но заметно больше, чем в инвестициях.
В уравнениях для корреляционной зависимости ВРП (Y) от ресурсов (K, L, I) увеличение или уменьшение величины параметра m в уравнениях регрессии линейного и степенного видов можно однозначно оценить словами «положительно», «отрицательно».Так, если при исключении Краснодарского края величина m увеличилась (уменьшилась), то можно утверждать, что в Краснодарском крае ресурсы используются менее эффективно (более эффективно), чем по всем остальным регионам, поскольку m означает рост ВРП при увеличении ресурса на одну абсолютную величину. В принципе для зависимости Y от K параметр m означает предельная величина фондоотдачи (величина ВРП в млрд.руб., приходящаяся на 1 млрд.руб.основных фондов).
Аналогично для зависимости Y от L параметр m означает предельная величина производительности труда (величина ВРП в млрд.руб., приходящаяся на 1 тыс.чел. численности занятых в экономике), а для зависимости Y от I параметр m – предельная инвестиционноотдача (величина ВРП в млрд.руб., приходящаяся на 1 млрд.руб. инвестиций).
После исключения Краснодарского края из рассмотрения величина составила 0,8158 млрд.руб. (для 13-ти регионов она равна 0,8834 млрд.руб.), т.е для совокупности 12-ти регионов, чтобы заменить численность в 1 тыс.чел. требуются меньше основных фондов, чем для совокупности 13-ти регионов. Вывод: на 1 тыс.чел. работников в Краснодарском крае приходится больше основных фондов, чем в среднем по остальным регионам ЮФО и СКФО, что является фактом положительным.
Литература
1. Адамадзиев К.Р., Адамадзиева А.К. Компьютерное моделирование в экономике: учебное пособие. -Махачкала: Издательско-полиграфический центр ДГУ, 2014.-211с.
2. Адамадзиев К. Р., Джаватов Д. К. Эконометрика. Краткий курс: учебное пособие. - Махачкала: Изд. Дом «Народы Дагестана», 2003. – 83с.
3. Дайитбегов Д.М. Компьютерные технологии анализа данных в эконометрике. –М.: ИНФРА-М – Вузовский учебник, 2008. –XIV, 578 с. –(Научная книга)
4. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ- ДАНА, 2002. - 311с.
5. Макарова Н.В., Трофимец В.Я. Статистика в Excel: Учеб. пособие. –М.: Финансы и статистика, 2002. -368с.