IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Через трубу, шарнирно закрепленную по концам, прогоняется жидкость удельного веса γ. Покажем, что при определенном значении скорости жидкости труба те­ряет устойчивость, подобно тому как теряет устойчивость стержень по Эйлеру.

Предположим, что труба по какой-либо причине несколько искривилась. Покажем это искривление, причем кривизну возьмем положительной в данный момент времени.

Найдем инерционную силу.

Пусть ,

Плотность жидкости в трубе равна , где масса жидкости в трубе, а объем жидкости.

Также, плотность можно определить как , где — удельный вес жидкости в трубе, — ускорение свободного падения.

Из соотношения , получаем: или .

На бесконечно малом отрезке трубы dx: ,

откуда . (1)

Инерционная сила на участке dx: ,где нормальное ускорение. (2)

Найдем связь между линейной и угловой скоростями.

, где угловая скорость, радиус кривизны канала.

тангенциальное ускорение, где

Линейная скорость: , откуда угловая скорость: .

Угловое ускорение .

Следует (3)

Подставив в уравнение (2) уравнения (1) и (3), получим:

При кривизне канала текущая жидкость на участке dxдаст инерционную силу , направленную от центра кривизны.

Интенсивность инерцион­ной силы, т. е. сила, отнесенная к единице дуги, будет:

Знак минус взят, поскольку сила q при положительной кривизне направлена против перемещения у.

По определению критической силы Эйлера

Кривизна главной центральной оси трубы:

где,

.

Продифференцировав два раза, получим:

Обозначив

Получаем линейное однородное дифференциальное уравнение:

Общий интеграл которого:

Здесь A, B, C, D - постоянные интегрирования , определяемые из граничных или краевых условий , в зависимости от способа закрепления стержня.

При и имеем и .

Горизонтальное смещение левого конца равно нулю, т.е. при , это условие выполняется если , аналогично из граничных условий определяем константы интегрирования и . Следовательно, труба изгибается по синусоиде: .

Вертикальное смещение правого конца также равно нулю:

Из этих условий получаем: , , ,

Константа A, представляющая собой наибольший прогиб стержня, не может быть равна 0, так как при возможна только прямолинейная форма равновесия, а нам необходимо условие, при котором возможна и криволинейная форма равновесия, поэтому . Отсюда следует, что криволинейные формы равновесия стержня могут существовать, если принимает значения . Величина не может быть равна 0, так как это соответствует случаю

Приняв и подставив , получаем:

преобразовав, получаем:

Таким образом , существует бесчисленное множество значений критических сил, соответствующих разным формам искривления стержня. С практической точки зрения интерес представляет лишь наименьшее значение критической силы, при котором происходит потеря устойчивости стержня Критические силы, соответствующие и более, могут быть достигнуты только при наличии промежуточных опор. Для данного случая реальный смысл представляет первая критическая сила.

При получаем наименьшее значение критической силы:

Любопытно, что потеря устойчивости происходит по синусоиде , т. е. так же, как и при осевом сжатии.

Кроме того, потеря устойчивости происходит при той скорости, при которой отдача струи численно равна критической силе Эйлера: .

Действительно, отдача струи, т. е. реактивная сила струи, равна:

где:

/ секундный расход массы

В формулу подставляем , получаем, что сила отдачи струи равна критической силе Эйлера:

Не следует, однако, полагать, что труба сжимается силой отдачи. Труба теряет устойчивость, не испытывая сжимающего усилия.

Рассмотрим примеры, в которых через трубу длиной и общим диаметром трубы и диаметром трубы "в свету" равными 10 см и 8 см соответственно, изготовленную из стального сплава, шарнирно закрепленную по концам, прогоняются жидкости (нефть, вода, ртуть) удельного веса γ.

Покажем, что при некотором значении скорости жидкости , для каждой из жидкостей, труба те­ряет устойчивость, подобно тому как теряет устойчивость стержень по Эйлеру.

Задача 1. Нефть

Дано:

Решение:

Ответ: труба теряет устойчивость, подобно тому как теряет устойчивость стержень по Эйлеру, в тот момент, когда нефть преобретает скорость равную

Задача 2. Вода

Дано:

Решение:

Ответ: труба теряет устойчивость, подобно тому как теряет устойчивость стержень по Эйлеру, в тот момент, когда вода преобретает скорость равную

Задача 3. Ртуть

Дано:

Решение:

Ответ: труба теряет устойчивость, подобно тому как теряет устойчивость стержень по Эйлеру, в тот момент, когда ртуть преобретает скорость равную

Код для цитирования: Скопировать