IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Будем рассматривать график функции как место точек плоскости, абсциссы и ординаты связанных уравнением . Функция может быть описана своим графиком.

В 18 веке итальянский геометр Гвидо Гранди (1671-1742) создал кривые линии с правильными плавными очертаниями. Они были похожи на цветок. Семейство этих кривых было названо семейством роз Гвидо Гранди.

Розы предопределены подобранными математическими зависимостями.

Роза — плоская кривая, напоминающее символическое изображение цветка. Данная кривая описывается уравнением в полярной системе координат в виде

Где и — постоянные, определяющие размер и количество лепестков . Вся кривая располагается внутри окружности радиуса и в случае состоит из одинаковых по форме и размеру лепестков. Тогда количество лепестков определяется величиной k. Для дробного k вида , количество лепестков розы равно , если оба числа нечётные и , если хотя бы одно - чётно. При иррациональном лепестков бесконечно много.

При значениях роза является гипотрохоидой, а при — эпитрохоидой.

Вдохновившись результатами Гранди, немецкий геометр, математик-натуралист 19в. Б. Хабенихт решил развить труды Гранди. И он путем экспериментов разнообразил виды Роз Гранди. Полагая, что очертание листа или цветочного лепестка в полярных координатах описывается выражением , где для каждого отдельного растения представляет определённую комбинацию тригонометрических функций.

Хабенихт в своих работах приводит ряд полученных им уравнений, которые аналитически выражают очертания различных листьев и плодов. Если предположить, что кривая, изображающая контур листа, симметрична относительно оси, а функция является конечной суммой, то эта сумма должна состоять из косинусов или синусов. Исходя из этого общего уравнения, Хабенихт исследует его частные случаи. Постепенно усложняя уравнение он получает большое количество уравнений контуров листьев.

Рассмотрим уравнение кривой

Если взять любое и - чётное число, тогда получим «розу» с количеством лепестков , и длина от начала координат до вершины лепестков будет равна радиусу описанной окружности . Кривые симметричны относительно оси ординат, оси абсцисс и начала координат.

Рис. 1 график описанныу уравнением при - четное

Если возьмём любое и - нечётное число, то получим цветок из лепестков. В одном случае есть лепесток, направленный по оси ординат вверх, а в другом вниз. Это зависит от значения . Вниз лепесток будет направлен при и при всех последующих нечётных через одно число, вверх– при и при всех следующих нечетных числах через одно.

Рис. 2 график описанныу уравнением при - нечетное

Рассмотрим уравнение кривой

Количество лепестков стало зависеть от и . Если , а получаем кривую, напоминающую 2 кардиоиды. Если , то мы получим кардиоиду с петлей "внутри себя". Если мы получим закольцованную спираль, в центре которой будет кардиоида. Если , c-любое нечётное число, - любое нечётное число и получившаяся дробь не сокращается до целого числа, тогда мы получаем «розу» с - лепестков, у которого они находят друг на друга. При всех последующих нечётных числах через один, один лепесток «розы» будет направлении вниз по оси ординат. По аналогии при и при всех последующих нечётных числах один лепесток направлен вверх по оси ординат. Кривая симметрична относительно оси ординат.

Если , - любое чётное число, - любое нёчетное и получившаяся дробь не сокращается до целого числа, то мы имеем «розу» из лепестков количеством . Они ложатся друг на друга. Кривые симметричны относительно начала координат, оси ординат и абсцисс.

Если мы зададим значения , - любое нечётное число, - любое чётное и получившаяся дробь не сокращается до целого числа, тогда увидим цветы с количеством лепестков . Они будут накладываться друг на друга. Кривые симметричны относительно начала координат, оси ординат и абсцисс.

Рассмотрим уравнение кривой

Если - чётное число, и мы будем прибавлять , то наша «роза» из лепестков будет переходить в кривую, стремящуюся к форме окружности. Чем больше и чем меньше, тем более округленный цветок мы получим

Если - нечётное число, и если будем прибавлять числа , то наша кривая в форме цветка будет переходить в окружность. Чем больше и чем меньше , тем более округленный цветок мы получим.

Список литературы

1. Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 223-224, 1987.

2. Hall, L. "Trochoids, Roses, and Thorns--Beyond the Spirograph." College Math. J. 23, 20-35, 1992.

3. Lawrence, J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover, pp. 175-177, 1972.

Код для цитирования: Скопировать