V1пр V1пр
V1расх Переток V1расх
Рисунок 1 – Схема технологического процесса
Поставим задачу построения математической модели этой системы как объекта управления, при этом будем считать расходы воды на притоке в первую V1пр(t)и вторую V2пр(t)емкости являются возмущающими воздействиями. Управляющими воздействиями служат расходы воды на выходе емкостейV1расх(t) и V2расх(t).
Известно, что скорость истечения жидкости через отверстие пропорциональна квадратному корню из высоты уровня жидкости над отверстием, а количество жидкости, вытекающее в единицу времени и называемое расходом, можно представить в виде , где — коэффициент гидравлического сопротивления, — ускорение свободного падения, z— текущая высота уровня жидкости в сосуде, отсчитываемая от дна сосуда.
Пусть в момент t уровни жидкости в емкостях были H1(t), H2(t).
Считаем , что за малое время Δtскорости не изменяются, тогда:
за время Δtизменение уровней жидкости составят:
1. Начальные уровни H1(0)> H2(0)
1-я емкость:
2-я емкость:
Переходя к пределу при
(1)
Линеаризуем эти уравнения (формула Тейлора) [1]:
Примем
Подставим А и В в систему (1),получим:
Преобразуем получившуюся систему:
Полученная система дифференциальных уравнений описывает динамику рассмотренной системы емкостей и может быть положена в основу разработки системы автоматического регулирования уровней жидкости.
Список источников:
1. Бесекерский, В.А. Теория систем автоматического регулирования / В. А. Бесекерский, Е. П. Попов.– 4-е изд., перераб. и доп. М.: СПб Изд-во, «Профессия», 2004.- 747 с.
2. Отведение и очистка сточных вод Санкт-Петербурга / под общ. ред. Ф. В. Кармазинова. — СПб.: Новый журнал, 2002. — 683 с.