В данной работе мы предлагаем рассмотрение нечеткой однородной цепи Маркова с дискретными состояниями и дискретным временем на основе нечеткой математики.
Нечеткий случайный процесс будем называть нечеткой маркавской цепью, если для каждого k-го шага случайная последовательность событий (состояний) S(0), S(1),…,S(k),…,нечеткая вероятность переходаиз любого состояния в любое не зависит от того, когда и как система в состояние .Начальное состояние S(0) может бытьзаданным заранее или случайным.
Нечеткими вероятностями цепи Маркова будем называть вероятности того, что после k-гошага (и до (k+1)-го) система S будет находится в состояние . Очевидно, что для любого k
, (1)
где – нечеткие числа, –нечеткая единица, модальное значение (ядро) которой равно 1.
Если начальное состояние системы Sв точности известно S(0)=, то начальная вероятность , а все остальные равны нулю.
Нечеткой вероятностью перехода (переходной вероятностью) на k-ом шаге из состояния в состояние будем называть нечеткую условную вероятность того, что система Sпосле k-го шага окажется в состоянии при условии, что непосредственно перед этим (после k-1 шага) она находилась в состоянии .
Поскольку система может пребывать в одном из n состояний, то для каждого момента времени t необходимо задать нечетких вероятностей перехода , которые удобно представить в виде следующей нечетной матрицы:
A=()=, (2)
где - нечеткая вероятность перехода за один шаг из состояния в состояние ; – нечеткая вероятность задержки в состоянии . Здесь являются нечеткими гауссовыми числами с соответствующими функциями принадлежности:
,
где - модальное значение (ядра) нечетных чисел , – коэффициенты концентрации (носители).
Матрица (2) называется нечеткой переходной или матрицей нечетких переходных вероятностей.
Если нечеткие переходные вероятности не зависят от номера шага (от времени), а зависят только от того, из какого состояния в какое осуществляется переход, то соответствующая нечеткая марковская цепь называется однородной.
Отметим некоторые особенности нечеткой матрицы, которые образуют переходные вероятности нечеткой однородной цепи Маркова.
Каждая строка характеризирует выбранное состояние системы, а её элементы представляют собой нечеткие вероятности всех возможных переходов за один шаг из выбранного (из і-го) состояния, в том числе и переход в самое себя.
Элементы столбцов показывает нечеткие вероятности всех возможных переходов системы за один шаг в заданное (j-е) состояние (иначе говоря, строки характеризируют нечеткую вероятность перехода системы из состояния, столбец – в состояние).
Сумма нечетких вероятностей каждой строки нечетко равна нечеткой единице, так как переходы образуют полную группу несовместных событий:
, i=. (3)
По главной диагонали матрицы нечетких переходных вероятностей стоят нечеткие вероятности того, что система не выйдет из состояния , и останется в нем.
Если для нечеткой однородной марковской цепи заданы нечеткое начальное распределение переходимых вероятностей (), то нечеткие вероятности состояний системы (k) (i=; j=) определяются рекуррентной формуле:
(k), (i=; j=) (4)
Так как в данной работе вероятности являются гауссовыми нечеткими числами, то для нахождения их численных значений требуется определить основные операции над этими числами. В работе [3] представлены правила выполнения этих операций (правила суммирования и вычитания, правила умножения и деления). Сформулируем эти правила.
При суммировании двух нечетких чисел и с функциями принадлежности соответственно равными
,, (6)
получим число Bс функцией принадлежности
,. (7)
2.Разность двух гауссовых нечетких чисел с функциями принадлежности (6) равны числу В с функцией принадлежности
(8)
3. При умножении двух нечетких чисел и с функциями принадлежности (6) получим число В с функцией принадлежности
(9)
4. При делении нечеткого числа на нечеткое число с функциями принадлежности (6) получим число В с функцией принадлежности
(10)
Список литературы
1.Раскин Л.Г., Серая О.В. Нечеткая математика. Основы теории. Приложения. – Х.: Парус, 2008. – 352 с.
2. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб.пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2005. – 432 с.
3. Барышевский С.О. Графоаналитический метод решения нечетким матричных игр.// Сучасні проблемі моделювання: зб. наук. праць / МДПУ ім.. Б. Хмельницького; гол. ред. кол. А.В Найдиш – Мелітополь: Видавництво МДПУ ім.. Б. Хмельницького, 2016. – С. 3-8.