IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Факультативный курс состоит из четырех разделов:

1. комплексные числа в алгебраической форме(10 часов);

2. геометрическая интерпретация комплексных чисел(5 часов);

3. комплексные числа в тригонометрической форме (10 часов);

4. решение уравнений 3-й степени (5 часов).

Структура курса представлена в таблице

Номера занятий	Содержание занятий	Кол-во часов
		Лекция	Практика
1 2-3 4-5 6 7-8 9 10 11-14 15 16-18 19-22 23-24 25 26-29 30	1. Комплексные числа в алгебраической форме (10 часов) Введение понятия комплексного числа. Сравнение, сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел и их степени Операция сопряжения и ее свойства. Модуль комплексного числа. Извлечение квадратного корня из комплексного числа. Действия с комплексными числами в алгебраической форме. Контрольная работа №1. 2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел (5 часов) Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Контрольная работа №2. 3. Комплексные числа в тригонометрической форме (10 часов) Связь тригонометрическая форма комплексного числа с алгебраической Действия с комплексными числами в тригонометрической форме. Действия с комплексными числами в тригонометрической форме. Контрольная работа №3 4. Приложение теории комплексных чисел к решению уравнений (5часов) Решение уравнений третьей степени. Контрольная работа №4	1 1 1 1 1 1 1 2 2	1 1 1 1 1 3 1 2 2 2 1 2 1

1. Комплексные числа в алгебраической форме

Введение понятия комплексного числа.

(Лекция)

Понятие числа прошло длинный исторический путь. В процессе развития математики числовая система расширялась не один раз. Уже на ранних этапах развития человечества в результате счета возникают натуральные числа. Постепенно складывае6тся представление о бесконечности множества натуральных чисел и появляется понятие натурального ряда – бесконечной последовательности чисел 1, 2, 3, 4, 5, . . . . Затем возникают дроби, нуль, отрицательные числа, необходимые для решения линейных уравнений вида

ax+ b = 0,

где a и b-целые числа.

Поскольку рациональных чисел было достаточно для того, чтобы с любой степенью точности выразить результат любого изменения, то долгое время считали, что результат измерения всегда выражается или натуральным числом, или отношением двух таких чисел, т.е дробью.

Однако, еще в школе Пифагора был обнаружен тот факт, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной и поэтому не может быть точно выражена рациональным числом. Это открытие привело, в конце концов, к тому, что в математику вошли иррациональные числа.

Рациональные числа вместе с иррациональными образуют множество действительных чисел, которое является расширением множества рациональных чисел, поскольку на нем также определены четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение и деление (кроме деления на нуль).

Важное место в алгебре занимает решение алгебраических уравнений, т.е уравнений вида

а₀xn + a₁x^n-1 + … + a_n-1x + an =0,

где a₀, a_1, …., an-действительные числа. Однако, оказалось, что для решения таких уравнений действительных чисел явно не достаточно. Например, действительных корней не имеет квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом. Простейшим таким уравнением является уравнение

х² + 1 = 0.

Для того, чтобы это уравнение имело решение, необходимо расширить множество действительных чисел путем присоединения к нему корня уравнения х² = -1. Обозначим этот корень через i

Таким образом, по определению

i² + 1 = 0, или i² = -1, следовательно i =√-1.

Символ i называется мнимой единицей. С его помощью и с помощью пары действительных чисел a и b составляется выражение вида

z = a + bi.

Полученные выражения назвали комплексными числами, поскольку они содержали как действительную, так и мнимую части (от французских слов «reel» - действительный и «imaginaire» - мнимый, воображаемый). Название 2комплексное» переводится как «составное» - по виду выражения a + bi.

Итак, комплексными числами называются выражения вида

z = a + bi,

где a и b – действительные числа, а i – некоторый символ, удовлетворяющий условию i = √-1. Число a называется действительной частью комплексного числа z = a + bi, a число b его мнимой частью. Для их обозначения используются символы

a = Re z, b = Im z.

Комплексные числа вида z = a + 0i = a являются действительными числами и, следовательно, множество комплексных чисел содержит в себе множество действительных чисел. Если потребовать, как мы сделаем это ниже, чтобы операции сложения и умножения комплексных чисел не выводили за пределы множества комплексных чисел и обладали всеми свойствами одноименных операций на множестве действительных чисел, то множество комплексных чисел будет расширением множества действительных чисел.

Теоретическое обобщение понятия числа можно проиллюстрировать следующей схемой.

 

Комплексные числа (С)

…, 0, -1 ,i, 3+7i, -2-0, 6i, е, 1/√2,….

 

 

Действительные числа (R)

…, -7, 3, …, -³√3, …, 0, …, √2, …, π, .

 

 

Целые числа (Z)

…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….

Рациональные числа (Q)

…, -3, …, -1/3, …, 0, …, 1,5, ….

Рациональные числа (Q)

 

 

Натуральные числа (N)

1, 2, 3, 4, 5, …

 

Комплексные числа вида z = 0 + bi называются чисто мнимыми.

Два комплексных числа z₁ = a₁ + b₁i и z₂ = a₂ + b₂i называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е если выполняются равенства

a₁ = a₂; b₁ = b₂.

Сравнение, сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел. Степени мнимой единицы

(Лекция)

На самом деле, если брать в расчет модель множества комплексных чисел, интуитивно понятно, что сложение (вычитание) и умножение двух комплексных числе производятся так же как соответственные операции над векторами. Причем имеется в виду векторное произведение векторов, потому что результатом этой операции является опять же вектор.

Два комплексных числа z₁ = a₁ + b₁i и z₂ = a₂ + b₂i называются равными, если равны их действительные и мнимые части т.е. a₁ = a_2b1= b₂.

Определим операции сложения и умножения комплексных чисел.

Суммой двух комплексных чисел z₁ = a₁ + b₁i и z₂ = a₂ + b₂i называется комплексное число z₁ = z₂ вида

z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + (b₁+b₂)i.

(Как видно, данная операции в точности соответствует покоординатному сложению векторов)

Вычитание, аналогично, производится по следующему правилу:

.

Произведение двух комплексных чисел z₁ = a₁ + b₁i и z₂ = a₂ + b₂i можно найти, почленно умножая числа z₁ и z₂:

z₁ z₂ = (a₁ + b₁i)( a₂ + b₂i) = (a₁ a₂ + b_1b2i²) + (a_1b2 + a_2b1) i =( a₁ a_{2 - b1b2}) + (a_1b2+ a₂ b1)i.

Таким образом, произведением двух комплексных чисел z₁ = a₁ + b₁i и z₂ = a₂ + b₂i называется комплексное число z₁z₂ вида

z₁ z₂ =( a₁ a₂ - b_1b2) + (a_1b2 + a_2b1) i.

(см. векторное произведение векторов)

Деление.

Определяется просто как обратная операция к умножению.

Пример. Найти сумму комплексных чисел z₁ =-1 +5 i и z₂ = 3- 6i.

Решение. z₁ + z₂ =(-1+5 i) + (3- 6i) = (-1+3)+ (5+(-6))i = 2 - i.

Ответ: 2- i.

Пример. Найти произведение комплексных чисел z₁ = 3+2i и z₂ = -1-i.

Решение. z₁z₂ = (3+2i)(-1-i) = (3(-1)-2(-1)) + (3(-1) +(-1)2) i = -1-5i

Ответ: -1-5i

Свойства операций сложения и умножения комплексных чисел

Все свойства напрямую следуют из определения операций над комплексными числами. Итак, какими бы ни были комплексные числа z₁, z₂, z₃, справедливы следующие равенства:

1. Коммутативный (переместительный) закон сложения:

z₁+ z_{2 =} z₂+ z_1.

1. Ассоциативный (сочетательный) закон сложения (z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃)

2. Коммутативный закон умножения:

z₁ z₂= z₂ z₁

1. Ассоциативный закон умножения:

(z₁ z₂) z₃= z₁(z₂ z₃).

1. Дистрибутивный (распределительный) закон умножения относительно сложения:

z₁(z₂+ z₃)= z₁z₂+ z₁z_3.

Проведем доказательства свойства 3 (остальные свойства доказываются аналогично).

Доказательство. Пусть z₁= a₁+ b₁i, z₂= a₂+ b₂i. Тогда поскольку ai и bi – действительные числа, для которых умножение коммутативно, имеем:

z₁ z₂=( a₁+ b₁i)( a₂+ b₂i)=( a₁ a₂+ b_1b2)+( a_1b2+ a₂ b1)i= (a₂ a₁- b_2b1)( b₂ a₁+ b1 a₂ )i=( a₂+ b₂i)( a₁+ b₁i)= z₂ z_1.

Кроме того, в множествекомплексных чисел есть «особые» элементы

0=0+0i и 1=1+0i,

которые обладают такими же свойствами, что и на множестве действительных чисел, а именно, для любого комплексного числа z = a + bi имеют место равенства.

1. z + 0 = z.

2. z 0 = z.

3. Произведение двух комплексных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Доказательство. Пусть z₁= a₁+ b₁i, z₂= a₂+ b₂i и z₁ z₂=0. Тогда по определению равенства и произведения двух комплексных чисел получаем систему уравнений:

a₁ a₂- b_1b2=0, (1)

a_1b2+ a_2b1=0, (2)

Умножив уравнение (1) на a₂ , а уравнение (2) на b₂ и сложив получаемые уравнения, приходим к системе:

a₁ a₂- b_1b2=0, a₁ a₂- b_1b2=0, (1)*

a₁ a₂²+ a_1b2=0; a₁(a₂²+ b₂²)=0. (2)*

Возможны два случая.

1 случай. a₁=0

Тогда из уравнения (1)* следует, что b_1b2=0. Если b₁=0, а b₂≠0 то z₁= a₁+ b₁i=0. Если b₂=0, а b₁≠0, то из уравнения (2) следует, что a_2b1 =0, значит, a₂=0, т.е. z₂=a₂+b₂i=0.

Если b₁=b₂=0, то z₁=0.

2 случай. a₁≠0.

Тогда из уравнения (2)* следует, что a₂²+b₂²=0, т.е. a₂=b₂=0, значит, z₂=0.

1. z1=z

10. Всякому комплексному числу z=a+bi соответствует противоположное комплексное число (-z) такое, что z+(-z)=0.

Доказательство. Вычислим (-z). Пусть (-z)=x+yi, тогда получаем систему: a+bi+x+yi=0+0i

a + x=0,

b + y=0;

откуда находим x = - a,

y= - b.

Таким образом, (-z)= - a- bi.

11.Всякому комплексному числу z= a + bi, отличному от нуля, соответствует обратное комплексное число z^-1 такое, что

zz^-1=1.

Доказательство. Условие z≠0 равносильно условию a² + b² ≠0. Вычислим z^-1

z = = = = = - i.

Значит, z^{-1 =} - i.

Пользуясь понятиями противоположного и обратного комплексного числа, определим операции вычитания и деления комплексных чисел.

Для того. Чтобы найти разность двух комплексных чисел z₁ = a₁ +b₁i и z₂ = a₂ + b₂ i, достаточно сложить число z₁ с числом, противоположным числу z₂, т.е.

z₁ - z₂ =(a₁- a₂) + (b₁ – b₂) i.

Пример. Вычислить z_1- z₂, если z₁=5-2 i, z₂=-3+ i.

Решение. z_1- z₂ = (5-(-3)) + (-2-1) i = 8-3i.

Ответ: 8-3i.

Для того, чтобы разделить комплексное число z₁=a₁+b₁i на комплексное число z₂=a₂+b₂i, не равное нулю, достаточно умножить число z₁ на число, обратное числу z₂, т.е

= z₁z₂^-1 = (a₁+b₁i)( - = = = +Пример. Вычислить .

Решение.

= (( - = )(-= = = --i.Ответ: -1,7 – 0,1i.

Степени мнимой единицы

Вычислим степени мнимой единицы i. Прежде всего, как и для действительных чисел, положим i⁰ = 1. Тогда

i ¹ = i;

i ² = -1(по определению мнимой единицы);

i³ = -i;

i⁴ = -i² =1;

i⁵ = i⁴ i= i;

i⁶= i⁵ i = i²=-1;

i⁷= i⁶ i=- i;

i⁸= i⁷ i=1; и т.д.

Если выписать все значения степеней числа i, то мы получим такую последовательность: i, – 1, – i, 1, i, – 1, – i, 1 и т. д. Легко видеть, что значения степеней числа i повторяются с периодом, равным 4.

Если натуральный показатель степени m при делении на 4 дает в остатке r. Т.е. если m=4n+r , где n-натуральное число, то i^m= i^4n+r = (i⁴)n i^r = i^r= i^r

При этом i^r =

Таким образом, если показатель степени числа i делится на 4, то значение степени равно 1; если при делении показателя степени на 4 в остатке получается 1, то значение степени равно i; если при делении показателя степени на 4 получается остаток 2, то значение степени равно – 1; наконец, если при делении на 4 остаток равен 3, то значение степени равно – i. Пользуясь этим, можно вычислять любую степень числа i.

Пример. Вычислить а) i²³³; b) i¹⁰²; c) i⁶⁷; d) i⁵¹⁶.

Решение. а) i²³³ = i²³²⁺¹ = i

b) i¹⁰²= i¹⁰⁰⁺²= i² = -1;

c) i⁶⁷ = c) i⁶⁴⁺³= c) i³ = i;

d) i⁵¹⁶ = i⁰ = 1.

Ответ: а) i; b) -1; c) –i; d) 1.

Операция сопряжения и её свойства. модуль комплексного числа

(Лекция)

Сопряженным называется число, действительная часть которого равна действительной части данного числа, а мнимая часть противоположна по знаку

Обозначение: если z = a + bi, то сопряженное число

_

z = a – bi.

____

Пример. 3+4i = 3-4i.

Свойства операции сопряжения

z = z.

1. Для любого действительного числа а справедливо равенство

__

a = а.

1. Для любого действительно числа b справедливо равенство

__

bi=-bi Справедливость свойств 1-3 следует непосредственно из определения операции сопряжения.

____ _ _

1. z₁+z₂=z+z₂. Пусть z₁ = а₁ + b₁i, z₂ = a₂ + b₂i. Тогда z₁ = а₁ - b₁i, z₂ = a₂ - b₂i.

Поэтому

_____ _______________ _______________ ____________

z₁ + z₂ = (а₁+ b₁i) + (a₂+ b₂i) = (а₁+ a₂)+( b₁+ b₂) i = ( а₁+ a₂)+( b₁+ b₂) i

_ _

=( а₁+ a₂) - ( b₁+ b₂) i = ( а₁- b₁i)+( a₂ - b₂i)= z₁+ z₂.

___ _ _

1. z₁ z₂ = z₁ z₂.

___ ______________

Если z₁= а₁+ b₁i, z₂= a₂+ b₂i, то z₁ z₂=( а₁+ b₁i)( a₂+ b₂i) = (а₁ a₂- b_1b2) – (а_1b2+ a_2b1) i.

С другой стороны,

___

z₁ z₂ = ( а₁- b₁i)( a₂- b₂i) = (а₁ a₂- b_1b2) – (а_1b2+ a_2b1)i.

Полученные одинаковые результаты доказывают справедливость свойства

Следствие из свойства 5. Для любого натурального числа n справедливость равенство.

__ __

zn= ( z)n.

_

1. = .

Из равенства

__ = 1

z

и свойства 5 следует, что

___

___ = 1 = 1.

Z

__

Но тогда = .

1. Сумма и произведение двух комплексно сопряжённых чисел являются действительными числами.

Действительно,

__

z + z = (a + bi) + (a- bi) = 2a;

__

z + z = (a + bi) + (a- bi) = a² – b²i² = a²+b².

Модулем комплексного числа z = a+bi называется действительное число вида

│z│= .

Непосредственно из свойства 7 следует, что

__

z² = z z

1. Теорема о сопряженном корне.

Если число z = a +bi является корнем уравнения

a₀xn+a₁x^n-1+…+a_n-1x +an = 0 (1),

с действительными коэффициентами a₀,a_1,…,an, то число

___

z = a – bi также является корнем уравнения (1).

Доказательство.

По определению корня имеем:

a₀zn+a₁z^n-1+…+a_n-1z +an = 0;

a₀(a+bi)n +a₁(a+bi)^n-1 +a_n-1(a+bi)+an = 0. (2)

Применим к обеим частям равенства (2) операцию сопряжения. Из свойств операции сопряжения следует, что

___

a_i = a_i, i = 0,1,2,…..,n,

так как все коэффициенты a_i– действительные числа ( по условию).

Кроме того,

______ _________

(a+bi)^k = (a+bi)^k = (a- bi)^k;

___

1. = 0.

Следовательно,____________________________________

a₀(a+bi)n +a₁(a+bi)^n-1 +………..+an = 0. =

a₀(a+bi)n +a₁(a+bi)n^-1 +………+an = 0.

Последнее равенство означает, что число __

z = a – bi является корнем уравнения (1).

Пример. Зная , что корнем уравнения

x³- 7x² +17x -15= 0 (3)

является число z₁=2+i , найти все корни данного уравнения.

Решение.

Поскольку все коэффициенты уравнения (3) – действительные числа, то на основании теоремы 8 делаем вывод, что число

z₂ = 2- i

также является корнем уравнения (3).

Пусть z₃ - неизвестный корень уравнения (3), тогда

x³-7x² + 17x -15 = (x-z₁)(x-z₂)(x-z₃) = (x-2-i)(x-2+i)(x-z₃) = (x² -4x+5)(x-z₃).

Разделив первую и последнюю части полученного равенства на

x² - 4x +5, получим x – z₃ = x-3, следовательно, z₃ =3.

Ответ: 2+i; 2-i; 3.

Извлечение квадратного корня из комплексного числа

(Лекция)

Найдем значение корня квадратного из числа z = a + bi. Пусть

x и y – неизвестные действительные числа. Возводя обе части этого равенства в квадрат, получаем:

a + bi =(х²-у²)+2хуi.

Последнее уравнение равносильно системе уравнений

х²-у²=а,

2ху=b.

Возведем каждое уравнение системы в квадрат и сложим полученные равенства. Решим систему:

х²-у²=а,

(х²+у² )=а²+b².

Из второго уравнения последней системы находим

х²+у²= а²+b², где в первой части равенства следует иметь в виду арифметический корень ибо сумма х²+у² неотрицательна. Учитывая, кроме того, что

х²-у²=а, получаем:

х²=; у²=.

Так как >а, то оба полученные числа положительны. Извлекая из них квадратные корни, получим действительные значения для х и у:

х= ±; у= ±.

Из соотношения 2ху=b следует, что при b>0 числа х и у имеют одинаковые знаки, а при b 3,

Re z 3 и х 2.

Множество точек – часть плоскости, ограниченная снизу прямой у=3 , справа прямой х=2 , исключая

указанные прямые. у

у=3 3i

0 2 х

Рис.11

g) Если z=x+yi , то iz= -y +xi, и условие Re(iz) =1 означает, что –у =1, т.е у = -1. у

Множество точек – прямая у = -1. 0 х

у=-1 - i Рис.12

h) Если z=x+yi , то при условии, что сумма х²+у²отлична от нуля, имеем

=- i, поэтому - = Im = 1.Следовательно, -у = х²+у², откуда получаем уравнение:

у²+у+х²=0, или у²+2у (1/2)+(1/4)- (1/4)+х²=0, (у+(1/2))²+х² = (1/2)².

Таким образом, множество точек – это окружность с центром в точке О(0; - 1/2) радиуса 1/2, у которой «выколота» точка (0;0) (см.рис.13).

Рис.13

i)│z│²=x²+y²; по условию │z│=1, следовательно,

x²+y²=1.

Множество точек- окружность с центром в начале координат ( 0;0) радиуса 1.

j) По условию z=│z│, поэтому z²=│z│², т.е.

(х+yi)²=x²+y²;

x²-y²+2хуi= x²+y²;

2у²-2хуi=0; 2у(х-хi) =0.

Последнее условие означает, что либо у=0, либо у-хi=0.

В первом случае получаем уравнение оси Ох, во втором случае точку (0;0). Учитывая, что z=│z│, т.е что действительная часть комплексного числа z неотрицательна, приходим к выводу:

Искомое множество точек – положительная полуось Ох с началом в точке (0;0).

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

(Практика 2)

Задача 1. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: .

Решение

Данное неравенство равносильно выполнению двух условий: и . Если положить , то получаем следующие неравенства: . Преобразуем его

, , ,

Получаем .

Искомая область – круг с центром в точке (0; 2) радиуса 2, включая границу круга и исключая точку (0; 1)

Задание 2 Докажите, что расстояние между точками и равно .

Решение

Так как , а это и есть, как известно из геометрии, формула расстояния между двумя точками и .

Задача 3. Доказать, что равенство | z – | = R задает уравнение окружности радиуса R с центром в точке .

Решение.

Как известно из геометрии, окружность с центром в точке радиуса R представляет собой множество точек плоскости, удаленных от точки на расстояние R. По задаче 1: расстояние между точками z и равно | z - |. Поэтому равенство

| z – | = R задает уравнение окружности радиуса R с центром в точке .

Задача 4. Среди комплексных чисел , удовлетворяющих условию: , найдите число с наименьшим модулем.

Решение

Воспользуемся геометрическим смыслом модуля комплексного числа. Как известно, для комплексных чисел и w величина равна расстоянию между точками комплексной плоскости, соответствующими числами и w. Точки, соответствующие числам , для которых выполняется равенство , равноудалены от точек (0; 0) и (0; 2) комплексной плоскости, а, следовательно, образуют прямую . Среди точек прямой наименее удаленной от начала координат является точка (0; 1). Она соответствует числу – числу с наименьшим модулем, удовлетворяющему заданному уравнению.

Ответ: .

Задача 5. Укажите, где на плоскости расположены точки, соответствующие комплексным числам , для которых .

Решение

Представим выражение в виде разности двух комплексных чисел: . Тогда становится ясно, что равенство является уравнением окружности с центром в точке и радиусом 2.

Неравенству удовлетворяют внутренние точки указанного круга вместе с точками, лежащими на окружности , тогда неравенству соответствует внешность круга радиуса 1 концентрическому первому.

Так как нас интересуют точки, удовлетворяющие одновременно двум условиям: , поэтому искомая область является пересечением двух найденных областей и представляет собой кольцо, содержащее точки внешней ограничивающей окружности. Так как левое неравенство является строгим, точки внутренней ограничивающей окружности не входит в полученную область (рис. 14).

Задача 5. Укажите, где на плоскости расположены точки, соответствующие комплексным числам, удовлетворяющим условию: .

Решение

Равенство является уравнение прямой l, перпендикулярной отрезку AB (A (0;0) и B (0;2)) и проходящей через середину, т.е. прямая l параллельна оси Ox и проходит через точку (0;1). Так как из равенств , , следует равенство , а значит, , т.е. .

Поэтому этому равенству удовлетворяют точки полуплоскости, лежащие ниже прямой l не входит в указанную область, так как данное неравенство строгое (рис. 15).

Рис. 15.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

(Практика 3)

Задача 1. Изобразите на плоскости комплексные числа , удовлетворяющие условию: .

Решение

. Следовательно, . Таким образом, , , то

, , .

Этим числам соответствуют три точки: A (0;1), B () и C (). Они расположены на единичной окружности и делят ее на три равные части (рис. 16).

Рис. 16.

Задача 2. Изобразите на плоскости комплексные числа , удовлетворяющие условию: .

Решение

, значит, и .

Получили две точки: B () и C () (рис. 17).

Рис. 17.

Задача 3. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: .

Решение

Данное неравенство равносильно выполнению двух условий: и . Если , где x и y – действительные числа, то получаем следующие неравенства: , , , , . Искомая область лежит вне круга с центром в точке (-2; 0) радиуса 2, включая границу круга и исключая точку (2; 0) (рис. 20).

Рис. 18.

Задача 4. Множество точек комплексной плоскости определяется условие . В каких пределах изменяется .

Решение

Множество точек, заданное условием , определяется на комплексной плоскости круг с центром в точке и радиусом 1. такой круг в системе координат xOy задается неравенством .

Пусть , тогда , , . Задача сводиться к определению границ, в которых может изменяться соотношение при условии . Вопрос может быть сформулирован так: при каких значениях система

имеет хотя бы одно решение?

Последняя система равносильна следующей:

или

Эта система имеет решения тогда, когда имеет решение квадратное неравенство . Так как коэффициент при положителен, то оно имеет решения, если дискриминант квадратного трехчлена в его левой части неотрицателен. Имеем

. при .

Ответ:

Контрольная работа №2

Вариант I

1.Построить точки , изображающие данные комплексные числа :

z₁ = - 3 - i ; z₂ = 5 ; z₃ = -2i .

2.Изобразить на комплексной плоскости множество точек z ,

удовлетворяющих условиям :

а) │ z+ 2i │ ≤ │ z- 1 │;

б) │ z+ 4 - 2i │ = │ z - 3 + 3i │ .

Вариант II

1.Построить точки , изображающие данные комплексные числа:

z₁ = 1 + 2i ; z₂= -3 ; z₃ = 3i .

2.Изобразить на комплексной плоскости множество точек z ,

Удовлетворяющих условиям :

а) 2 ≤ │z - i│ ≤ 4 ,

0 ≤ Rez ≤ 2 ;

б) │ z + 1 - i │ = │ z - 1 + i │

ОТВЕТЫ.

1. Вариант I 2. a)

y

y

-3/2

0 - i 5 x 0 (-3/4)i x

-2i

Рис.26Рис.27

полуплоскость, расположенная

ниже прямой у=(1-1/2) х-3/4,

включая саму прямую;

б) прямая, проходящая через точки

z = (1/5)i и z =2+3i ( т.е прямая у = (7/5)х+1/5)

Вариант 1I

1. У 2. а) y

2i x=2

-3 i 0 1 х

O х

Рис. 20Рис. 21

часть кольца с центром в точке (0;1) и

радиусами 2 и 4, заключенная между

прямыми х=0 и х=2;

б) прямая, проходящая через точки z=0 и

z = 1+i ( т.е. прямая у=х).

3. Комплексные числа в тригонометрической форме

Связь тригонометрической форма комплексного числа с алгебраической.

(Лекция)

Запись комплексного числа z в виде z = a + bi называется алгебраической формой этого числа.

Существует и другая, так называемая, тригонометрическая форма записи комплексных чисел, отличных от нуля, которая часто оказывается более удобной, чем алгебраическая. y

Пусть вектор ОА задается на bi A

комплексной плоскости числом z

z = a + bi . 0 𝝋 x

Обозначим через a

положительной полуосью Оx Рис . 28

и вектором ОА( угол положительным, если он отсчитывается против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае ) .

Обозначим длину вектора ОА через r . Тогда r =z. Обозначим также a = rcos=zcos ;b = rsin=zsin . (1)

Тогда z = r.

Запись отличного от нуля комплексного числа z в виде

z = r() (2)

называется тригонометрической формой комплексного числа z .

Число r называется модулем комплексного числа z , а число называется аргументом этого комплексного числа и обозначается Arg z .

Очевидно, что у комплексного числа z имеется бесконечно много аргументов : если – какой-либо аргумент числа z, то все остальные можно найти по формуле .

Для комплексного числа z = 0 аргумент и тригонометрическая форма не определяются .

Из равенств (1) находим : = , (3)

.

Таким образом, аргументом отличного от нуля комплексного числа

Z = a + bi является любое решение системы уравнений :

, . (4)

Среди всех аргументов комплексного числа z всегда имеет один и только один, удовлетворяющий неравенства 0.

Это означает, что мы можем однозначно определить аргумент любого отличного от нуля комплексного числа.

Значение аргументакомплексного числа z , удовлетворяющее неравенствам 0 называется главным и обозначается argz .

Arg z и arg z связаны равенством :

Arg z = arg z + 2 , (5)

где k , 0

Разделив почленно второе из равенств системы (4) на первое , получим равенство : (6)

Формула (6) является следствием системы (4), поэтому все аргументы комплексного числа z= a + biудовлетворяют равенству (6), но не все решения уравнения (6) являются аргументами числа z.

Пример.

Рассмотрим число z = -1 + i . Тогда , следовательно ,

или ,

Где k-любое число. Так как данное комплексное число z лежит во второй четверти , то аргументами z являются числа из второй серии решений, т.е.

Arg(-1+i) = k- целое число.

Покажем, что главное значение аргумента отличного от нуля комплексного числа z = a + bi можно найти по формулам:

arg z =

Рассмотрим три случая. y

Первый случай : . bi z

Если , , то точка z лежит в arg z

первой четверти . При этом 0 a х

arg z = arctg() (см. рис. 29) . Рис. 29 y

Второй случай : . z

Если , то точка z лежит arg z

Либо во второй, либо в третьей четверти. x

Если точка z лежит во второй четверти, 0 аrctg(b/a)

То и .

(см. рис. 30). Поэтому argz = . Рис.30

Если точка z лежит в третьей четверти, то

и 0 (см. рис. 31). Поэтому y arctg (b/a)

argz = . arg z

Третий случай : 0 x

Если то точка z расположена

В четвертой четверти. Тогда

(cм. рис. 32) . Поэтому Рис.31

argz = . y

Рис.32 argz 0 arctg(b/a) x

В случае, когда a=0, получаем z = bi . Очевидно, что в этом случае

arg (bi)=

Действия с комплексными числами в тригонометрической форме.

(Лекция)

Рассмотрим умножение и деление комплексных чисел заданных в тригонометрической форме . Пусть

= ( cos + i sin ) ,

= r₂ (cos + i sin) .

Тогда

z₂ = r( ( cos cos - sin sin) +

+ i ( cos sin + sin cos )) =

= (cos+) + i sin(+ )) .

При умножении комплексных чисел тригонометрической форме их модули перемножаются , аргументы складываются :

= (cos (+ ) + isin(+ )) . (1)

Пусть теперь

z = cos + i sin ,

= = cos + i sin.

Тогда , с одной стороны , 1 = cos 0 + i sin 0 , а с другой стороны , 1 = = cos(+) + i sin(+ ) .

Следовательно,

cos 0+ isin0 = cos (+ ) + sin( + ) .

Откуда получаем:

+ = 0 или (= - , т.е.

= cos()+ isin(-) .

Поэтому для частного двух комплексных чисел , заданных в тригонометрической форме, легко получается формула :

z₁ r₁(cos₁+isin₁) r₁

___ = __________________ = _____ (cos₁-₂)+isin₁-₂) (2)

z₂ r₂(cos₂+isin₂) r₂

где комплексное число отлично от нуля .

Формула (1) легко обобщается на произвольное конечное число сомножителей . Поэтому для любого натурального числа n справедлива следующая формула :

=| Z Z . . . Z| = (г ( COS + i sin ))n =

n раз

= rn(cosn +isinn), (3)

которая называется формулой Муавра ...

Поскольку = ( cos (-) + i sin (-)) ,

формула Муавра (3) справедлива и для целых отрицательных чисел n.

Применяя формулу Муавра , легко найти комплексные корни n-й степени из произвольного отличного от нуля комплексного числа z .

Пусть

= u .

Тогда

un = z (4)

и все корни n-й степени из числа z являются решениями уравнения (4).

Поскольку комплексное число . и отлично от нуля ( в противном случае комплексное число z = 0 , а мы договорились не рассматривать этот случай в виду того , что при z = 0 уравнение (4) имеет единственный n-кратный корень u = 0 ) , его можно представить в тригонометрической форме :

u= ( cos + i sin ) .

Пусть , как обычно ,

z = г ( cos + i sin) .

Тогда уравнение (4) примет вид :

( cos n + isin) — г ( cos+ i sin ) .

Комплексные числа , заданные. в тригонометрической форме равны тогда и только тогда , когда равны их модули , а аргументы отличаются на 2 (k Z) . Поэтому

= r и n = + 2, kZ .

Откуда получаем :

+2

= и = , Z .

n Здесь - арифметический корень из положительного действительного числа г .

Обозначим k-й корень n-й степени из комплексного числа z через Тогда

= ()_k = (cos 𝝋+2𝜋k + i sin 𝝋+2𝜋k ),

_____

____

где k Z ,k = 0,1 ,2, . . . , n-1 .

Замечание. Корней n-й степени из ненулевой комплексного числа z , заданного в тригонометрической форме , будет ровно n, так как именно столько различны: значений будет принимать дробь

𝝋+2𝜋k

_____ ,

где к пробегает n значений от 0 до n - 1 .

Пример . Найти .

Решение.

-i = cos (3 /2) + i sin (3 /2) .

Следовательно,

(3 /2) + 2k (З /2) + 2k

= (cos + i sin ) ,

3 3

k= 0 ; 1 ; 2 .

u_k = cos (( /2) + (2 k/3)) + i sin (( /2) + (2 k/3)) ,

k = 0 ; 1 ; 2 .

Таким образом ,

= cos ( /2) + i sin (/2) = i ;

= cos (( /2) + (2 /3)) + i sin (( /2) + (2/3)) =

(-/2) - (1/2) i;

= cos (( /2) + (4 /3)) + i sin (( /2) + (4/3)) =

(/2) - (1/2) i;

Точки (0;1), (-/2; -1/2) и (/2; -1/2) являются вершинами правильного треугольника.

Рис. 33

Замечание.

Для любого отличного от нуля комплексного числа z и любого натурального числа n>2 корни степени n из числа z являются вершинами правильного n- угольника с центром в точке О(0;0). Это следует из того, что модули всех корней n-й степени равны а углы между «соседними» корнями и u_k+1 равны (2𝜋/n).

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

(Практика 1)

Задача 1. Используя тригонометрическую форму

комплексного числа, произвести указанные действия :

(1-i) (- +i)

1. ___________ ;

1 +i

1. (cos (/3) + i sin ( /3)) ( cos( / 6) - i sin ( 6)) .

Решение.

а) Представим сначала каждое из чисел в тригонометрической форме:

1 - i = 2 ( cos (5 /3) + i sin (5 /3)) ;

-+ i = 2 ( cos (5 /6) + i sin (5 /6) ) ;

1 + i = ( cos ( /4) + i sin ( /4) ) .

Поэтому

(1-i) (-+ i) =2 (cos (5 /3) + i sin (5 /3) ) 2 ( cos (5 /6) +

+ i sin (5 /6) ) = 4 ( cos(5 /2) + ism (5л /2));

(1 -1) ( - + i) = 4 ( cos (5 /2) + i sin (52))

1+i = (cos ( /4) + sin(/4))

= 2 ( cos ( /4) + i sin ( /4) ) = 2 ( (-/2/2) + i (/2) ) =

= 2(l+i)=2+2i.

b) В этом случае первый из двух сомножителей уже представлен в тригонометрической форме . Относительно второго сомножителя этого сказать нельзя , так как здесь в скобках перед синусом стоит знак минус вместо нужного нам знака плюс . Поэтому представим сначала второй сомножитель в тригонометрической форме . Для этого мы воспользуемся четностью и нечетностью тригонометрических функций косинуса и синуса соответственно :

cos= cos(-);sin = - sin .

Тогда можно записать :

cos (/6) - i sin ( /6) = cos (- /6) + i sin (- /6) .

Следовательно,

( cos ( /З) + i sin ( /3)) ( cos ( /6) - i sin ( /6)) =

= (cos( /3) + i sin( /З) ) (cos (- /6) + i sin (- /6)) =

= cos ( /6) + l sin( /6) = (/2) + (1/2) i

Ответ: a) 2 + 2i ; b) (/2) + (1/2) i .

Задача 2 . Вычислить :

(l-i)¹² (l + i)⁶

(i-1)¹²'

Решение.

Используем формулу Муавра :

(г (cos + isin))n = гn (cos n + isin n) .

По этой формуле :

(1 - i)¹² = 2 (cos (5 /3) + i sin (5 /3)) ¹² =

= 2¹² ( cos (60 /3) + i sin (60 /3)) =

= 2 ¹² (cos 20 + i sin 20 ) = 2 ¹² (1 + 0 i) - 2 ¹² .

(1 + i)⁶ = (2 (cos (/3) + i sin(/3))⁶ =

= 2^б(соs 2 + i sin 2) = 2⁶ .

(i - 1)¹² = (- 1 + i)¹² = ( (cos (/4) + i sin (/4)))¹²

= ()¹² ( cos 9 + i sin 9) = 2⁶ ( cos + i sin ) =

= 2⁶(-l + 0i) = -2⁶ .

Следовательно,

(1 - i)¹² (1 + i)⁶ = 2 ¹² - 2⁶ = 2⁶ ( 2⁶ - 1 )

(i - 1)¹² -2⁶ - 2⁶

= -(2⁶ - 1) = -63 .

Ответ : - 63 .

Задача 3 . Выяснить геометрический смысл произведения двух комплексных чисел .

Решение.

Если хотя бы одно из комплексных чисел равно нулю, то и произведение равно нулю ( это следует из свойств комплексных чисел).

Пусть теперь и - произвольные отличные от нуля комплексные числа . Запишем их в тригонометрической форме :

= ( cos + i sin) ;

Z₂ = r₂ (cos + i sin) .

При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются (|z₂ | = ) , а аргументы складываются

( arg (z₁z₂) = arg z₁+ arg z₂) . Следовательно, чтобы умножить отличное от нуля комплексное число z₁ на отличное от нуля комплексное число z₂ , нужно вектор z₁ растянуть (или сжать) в r₂ раз , а затем полученный вектор повернуть вокруг начала координат на угол arg z₂ .

Задача 4. Выразить cos Зх и sin Зх через cos х и sin х .

Решение.

Возьмем произвольное комплексное число

z = cos х + i sin х

и возведем его в третью степень , пользуясь формулой Муавра и формулой куба суммы :

Получим , с одной стороны ,

z³ = (cos х + i sin х)³ = cos Зх + i sin Зх ,

а с другой стороны,

z³ = (cos х + i sin x)³ =

= cos³ x+ 3i cos² x sin x - 3 cos x sin² x - isin³ x =

= (cos³ x - 3 cos x sin² x) + i (3 cos² x sin x – sin³ x) .

Два комплексных числа равны тогда и только тогда , когда равны их действительные и мнимые части, поэтому

cos Зх = cos³x - 3 cos х sin²x ;

sin Зх = 3 cos²x sin x – sin³x .

Выражая в предпоследнем равенстве sin²x через cos ²х , а в

последнем равенстве cos² х через sin² х , получаем :

cos Зх = cos³x - 3 cos х (1 - cos²x) =

= 4 cos³x - 3 cos x .

sin Зх = 3(1- sin²x) sin x – sin ³x =

= 3 sin x - 4 sin³x .

Ответ : cos 3x = 4 cos³x - 3 cos x ;

sin 3x = 3 sin x - 4 sin³x .

Замечание.

Аналогичным способом можно выразить sin (nх) и cos (nx) через sin x и cos x для любого натурального числа n .

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

(Практика 2)

Задача 1. Представить в виде многочлена первой степени от тригонометрических функций, кратных x( т.е. тригонометрических функций отx, 2x, 3x и т. д. ) следующие функции:

1. ; b).

Решение.

Пусть z= cosx + isinx.

Используя выражения для z и, получаем равенства:

; .

Возведем первое из полученных равенств в пятую степень:

= =

.

Учитывая, что

Получаем:

Аналогично:

==

Ответ: a);

Задача 2.Вычислить все значения и изобразить их на комплексной плоскости.

Решение.

Как известно, корень n-й степени из комплексного числа

z=r(co)

имеет n различных значений, которые находятся по формуле:

,

Где k

Представим число -4 в тригонометрической форме:

-4=4(cos).

Тогда

,

где k = 0, 1 , 2 , 3 .

Получаем следующие четыре значения корня четвертой степени из числа -4:

у

z₁ z₀

х

z₂ z₃

Задача 3. Вычислить: .

Решение .

Представим числа 1-i и +I в тригонометрической форме:

1-i =(cos()+I sin()) ;

.

Следовательно,

=

Придавая k значения 0 , 1 , 2, 3, 4, 5, получим шесть значений искомого корня:

Задача 4. Пользуясь корнями третьей степени из 1, вычислить.

Решение.

Известно, что все значения корня n-й степени из комплексного числа z можно получить, умножая одно из них на все значения корня n-степени из числа 1.

Одно из значений можно найти непосредственно. Оно равно 2i, так как

= - 8i .

Найдем теперь все значения :

=

Где k принимает значения 0, 1 и 2.

Следовательно,

Таким образом, получаем три значения для :

Ответ: ;

Контрольная работа №3

Вариант1

1.Запишите в тригонометрической форме следующие комплексные числа:

a) z = 1- b) z = 1-cos2 , если.

2.Вычислите ()¹² , если ,

3. Найдите значение модуля комплексного числа z , если z = 3sin .

Вариант 2

1.Запишите в тригонометрической форме следующие комплексные числа:

a) z = -3i b) z = 1 -itg , если ().

2.Вычислите ()⁶ , если +Icos()

3. Найдите значение модуля комплексного числа z , если z = .

ОТВЕТЫ

Вариант 1

1. a) z = (-1)(cos+isin ; b) z = -2sin .

2. .

3. ;1 .

Вариант2

1. a) z = 3(cos(-)+I sin(-)) ; b)z = -

2. 64i

3. ; 0

4. Решение уравнений третьей степени

Решение уравнений третьей степени

(Лекция)

Рассмотрим решение кубического уравнения

а₀х³+а₁х²+ а₂х+а₃=0 (1)

на конкретном примере.

Задача. Решить уравнение

х³+6х²+6х-13=0.

Решение.

Приведем сначала наше уравнение к уравнению, не содержащему квадрат неизвестной ( такое уравнение называется приведенным), т.е к уравнению вида:

у³+ру+q=0,

для чего произведем подстановку:

х=у-(а₁/3а₀) = у- (6/3)= у-2.

Получим уравнение:

(у-2)³+6(у-2)²+6(н-2)- 13=0.

Раскрыв скобки и приведя подобные члены, приходим к уравнению:

у³-6у-9=0,

где р= -6, q= -9 и х=у-2.

Для корней кубического уравнения

у³+ру+q=0

имеется так называемая формула Кардано, хотя правильнее было бы ее называть формулой дель Ферро- Тартальм-Кардано.

Впервые приведенное кубическое уравнение

у³+ру+q=0

решил профессор Болонского университета Сципион дель Ферро в конце

ХV века. Затем в 1535 году те же формулы были выведены Николо Тартальей. Наконец, в 1545 году решение уравнения (1) было изложено в книге Джероламо Кардано «Аrs Magna» ( « Великое искусство»).

Формулы Кардано имеют вид:

у_i=u_i+v_i(i=1,2,3),

где u₁, u₂, u₃- значения радикала

u=++= ++ ;

v_i= (р/3u_i).

Практически корни у₁, у₂, у₃ находятся проще. Пусть u₁- одно (любое) значение радикала u. Тогда два других значения можно найти следующим образом:

u₂= u₁е₁; u₃= u₁е_2,

где е₁ и е₂- значения корня кубического из 1, т.е

е₁= -(1/2)+i ( ;

е₂= - (1/2)- i ( .

Если вычислить v_i= - p/3 u_i , то получим:

v₂₌ v₁e₂; v₃₌ v₁e_1.

Действительно,

v₂= - (p/3u₂)= - (p/ 3u₁e₁) = - (p/ 3u₁)(1/е₁)=v₁(-(1/2)-i ( = v₁e₂.

Аналогично доказывается, что v₃=v₁e₁.

Подставляя полученные значения u₁ и v_i,

находим практические формулы:

y₁=u₁₊v₁;

y₂= - (u₁₊v₁)+i ( u₁₊v₁).

В нашем случае:

++= +=

Таким образом, положим u₁=2. Тогда

v₁₌ - (p/3u₁)=1,

следовательно,

у₁=3;

у₂= - (3/2)+i ( ;

у₃= - (3/2) – i (.

Отсюда, учитывая, что х=у-2, получаем:

х₁=1;

х₂= - ( 7/2)+ i();

х₃= - (7/2)- i(

Ответ: х₁=1; х₂= -(7/2)+ i(;

х₃= - (7/2)- i(.

Задача. Решение уравнение:

х₃-6х+4=0

Решение.

Данное уравнение- приведенное. Здесь р= -6, q=4.

++=

Для извлечения кубического корня из комплексного числа z=-2+2i представим его в тригонометрической форме:

-2+2i=(/4)+ i/4) ),

поэтому

+ i )=(+ i ),

где к=0, 1,2.

При к=0 получаем:

u₁=()+i )) = ) +i (=1+i

Значит,v₁₌ -(p/3u₁)=6/(3+3i)=1-i.

Следовательно,

х₁₌ u₁₊v₁=2;

х₂=-(u₁₊ v₁)+ I ( u₁-v₁) = -1-;

х₃= - ( u₁₊v₁) – i (u_1-v₁)= -1+

Ответ:х₁=2; х₂= -1 -; х₃= -1+.

Задача. Решение уравнение:

х³-3х²+9х-7+6i=0.

Решение.

Положив х=у+1, получим уравнение относительно неизвестной переменной у:

у³+6у+6i=0

По формулам Кардано:

u=++=i+ .

Легко видеть, что

(i)= -2i

Следовательно, число i является одним из значений кубического корня из комплексного числа (-2i) ( тот же результат получается, если применить формулу извлечения корня n-й степени из комплексного числа).

Таким образом,

u₁=i; v₁=-2/(i)=i

Итак,

y₁= i+

y₂₌-(1/2)(i+i)+(i(i i - i;

у₃=

Отсюда находим корни исходного уравнения:

х₁=1+i(

х₂= - i;

х₃₌ - i.

Ответ: х₁=1+i();

х₂= - i;

х₃₌ - i.

Замечание.

Так же, как и для квадратных уравнений, для кубических уравнений имеет место зависимость характера корней от знака дискриминанта.

Для приведенного кубического уравнения

х³+рх+q=0 (2)

дискриминант вычисляется по формуле:

D=(q/2)²+(q/3)³

При этом:

а)если D>0, то уравнение (2)имеет один действительный и два комплексно сопряженных корня;

б) если D=0, то уравнение (2)имеет три действительных корня, два из которых равны;

в)если D0, следовательно, уравнение имеет один действительный и два комплексно сопряженных корня.

б) D=-473/1080.

Следовательно, уравнение (а)^*, а значит, и уравнение (а) имеет один действительный и два комплексно сопряженных корня.

б) х³-6х²+7х+5=0.

Переходя к приведенному кубическому уравнению получаем :

у³-5у +3=0, (б)^*

отсюда:

D = (3/2)²- (5/3)³= - 257/108< 0.

Следовательно, уравнение (б)^*, а значит, и (б) имеет три различных действительных корня.

в) х³-12х²+45х+54=0.

Переходя к приведенному кубическому уравнению, получаем:

у³-3у +106=0. (в)^*

Отсюда

D=53²-1>0.

Следовательно, уравнение (в)^*, а значит, и уравнение (в) имеет один действительный и два комплексно сопряженных корня.

Ответ: а) один действительный и два комплексно сопряженных корня;

б) три различных действительных корня;

в) один действительный и два комплексно сопряженных корня.

Задача 2.При каких значениях параметра а уравнение имеет кратные корни:

а) х³+3х+а =0;

б) х³+ах+6=0;

в) х³+ах+а=0.

Решение.

Заметим, что приведенное кубическое уравнение имеет два равных действительных корня, если его дискриминант равен нулю.

а) х³+3х+а =0.

D=(а/2)²- (3/3)³=(а²+2)/2.

D=0, следовательно, а²= -2, значит,

а₁=i ; а₂ = - i .

б) х³+ах+6 =0.

D=(6/2)²- (а/3)³=(а²+243)=0,

следовательно,а³+243=0, значит, а = -3.

в) х³+ах+а =0.

D=(а/2)²- (а/3³=(4а²+27 а²)/108 = 0,

следовательно, а²(4а+27) = 0 , значит

а₁=0, а₂= - 27/4.

Ответ: а) при а = i или а= - i ;

б) при а = -3;

в) при а=0 или а= - 27/4.

Задача 3.Решение уравнения:

а) х³-9х²+18х-28 =0;

б) х³-6iх+4(1-i) =0;

в) х³-3х²+12х-36 =0.

Решение.

а) х³-9х²+18х-28 =0.

Переходя к приведенному кубическому уравнению с помощью подстановки

х= у-(а₁/3а₀)= у+3, (1)

получим уравнение:

у³-9у-28=0,

где р = -9, q = - 28.

Мы знаем, что:

у₁= u+v;

у₂= - (1/2) ( u+v)+i( ) (u-v);

у₃= - (1/2) ( u+v)-i( ) (u-v).

По формулам Кардано:

u= +; v = - р/3u; D= (q/2)²+ (р/3)³.

Таким образом, имеем:

D=(-14)²-3³= 196-27=169,

Значит, u=3, v=1, u+v=4, u-v=2/

Следовательно,

у₁=4;

у₂= -2 + i;

у₃ = -2- i.

Откуда х₁=7; х₂=1+ i; х₃=1- i.

б) х³-6iх+4(1-i) =0;

Переходить к приведенному кубическому уравнению не нужно, так как исходное уравнение само является приведенным, причем р=-6i , q=4(l-i).

Таким образом, имеем:

D=(2(1-i) )² – (2i)³ =0;

u= = 1+i ;v= 1+i ;

u+v=2(1+i); u-v=0.

Следовательно,

х₁=2+2i;

х₂=х₃=- (1/2) 2(1+i) = -1-i

в) х³-3х²+12х-36 =0.

Переходя к приведенному кубическому уравнению, получаем уравнение:

у³+9у-26=0,

причем х=у+1; р=9; q=-26.

Таким образом, имеет:

D=(-13)²+3³=196, =14;

u= v= -1;

u+v=2; u-v=4.

Значит, у₁=2; у₂= -1+2; у₃= -1-2.

Следовательно, х₁=3; х₂=2; х₃= - 2.

Ответ: а) 7, 1+, 1-;

б) 2+2i, -1+i;

в) 3, 2,-2.

Библиография

1. Алфутова Н.Б.. Алгебра и теория чисел. М.: МЦНМО, 2005.

2. Виленкин Н. Я., Ивашев – Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ. Учебное пособие для учащихся 10 классов с углубленным изучением математики. М., Просвещение, 1989.

3. Галицкий М. А., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углубленнов изучение курса алгебры и математического анализа. М., Просвещение, 1991.

4. Гибш И. А. Алгебра. Пособие для учителей 9 – 11 классов. М., 1960.

5. Дадаян А. А., Новиков И. А. Алгебра и начала анализа. М. Просвещение, 1987.

6. Качеловский М. И., Луканкин Г. Л., Колягин ю. М., Оганесян В. А., Кутасов А. Д., Яковлев Г. Н. Алгебра и начала анализа. Часть II. Математика для техникумов. М., Наука, 1978.

7. Кочетков Е. С., Кочеткова Е. С. Алгебра и элементарные функции. Часть II. М., Просвещение, 1968.

8. Крамор В. С. Алгебра и начала анализа. М., Высшая школа, 1981.

9. Кутасов А. Д., Пшенкина Т. А., Чехлов В. И., Яковлева Т. Х. Пособие по математике для поступающих в вузы. М., Наука1985.

10. Математика в школе. № 3, 1990.

11. Математика в школе. № 6, 1992

12. Мордкович А.Г.. Алгебра и начала анализа. 10 кл. М.: Мнемозина, 2006.

13. Петраков И. С. Математические кружки в 8-10 классах. М., Просвещение, 1988.

1. Петраков И. С. Математические кружки в 8-10 классах. М., Просвещение, 1988.

2. Петраков И. С. Преподавание алгебры в педучилищах. Из опыта работы. М., Просвещение, 1970.

3. Понтрягин Л. С. Обобщение чисел. М., Просвещение, 1985.

4. Туманов С. И. Элементарная математика. Пособия для самообразования. М., Просвещение, 1970.

5. Энциклопедический словарь юного математика. Составитель Савин А. П., Педагогика, 1989.

Приложение 1

Карточки с индивидуальными заданиями

Задача. Найдите сумму и разность двух комплексных чисел :

Номер задания	Данные числа
1		3 + 10i	11 – 2i
2	4 + 2i, -3 – 3i	1 – i	7+ 5i
3		1 – 3i	+ 5i
4	- 3 +5i, - 2 – 3i	-5 + 2i	-1 + 8i
5	3, 2 + i	5 + i	1 – i
6		10 + 6i	-4 + 4i
7	4, -3 + i	1 + i	7 – i
8	5 + 3i, 2 + 9i	7 + 12i	3 – 6i
9		3 + 5i	1 + i
10	6 + 5i,-5 – 2i	1 + 3i	11 + 7i
11	2 – i,-5 – 3i	-3 – 4i	7 + 2i
12	3 + 8i,-6 - i	-3 + 7i	9 + 9i

Приложение 2

Задача. Для двух комплексных чисел и найти произведение и частное .

Номер задания	Данные числа и
1	= 2 + I, = -1 +2i = 2 – 5i, = - i	5 – 2i	5 + 2i
2	= -3 + 3i, =-2 + 3i	-3 – 15i	(15/13) + (3/13)i
3	= -4 – 3i, = 5 - i	-23 – 11i	(23/26) + (11/26)i
4	= 7 + 3i, =1 + 3i	-2 + 24i	1,6 – 2,4i
5	= 2 – 2i, =3 +i	8 – 4i	0,4 – 0,8i
6	= -4 – 3i, =2 – 3i	-17 + 6i	(1/12) – (3/2)i
7	= 7 + 3i, = -4 -2i	-22 – 6i	-1,7 + 0,1i
8	= 5 + 4i, =-1 – 2i	3 – 14i	-2,6 + 1,2i
9	= -3 - 4i, = -2 - i	2 + 11i	2 + i
10	= 4 + 2i, =2 - i	10	1,2 + 1,2 i
11	= 3 + i, = -2 - 4i	-2 – 14i	-0,1 + 0,1i
12	= -2 + i, = 4 – 5i	-3 + 14i	-(13/41) – (6/41)i
13	= -3 - 5i, = 1 + 2i	7 – 11i	-2,6 + 0,2i

Приложение 3

Задача. Вычислите квадратный корень из комплексного числа .

Номер задания	Данное число	z =
1	-2i	±(1 –i)
2	3 – 4i	±(2 – i)
3	35 – 12i	±(6 – i)
4	-3 + 4i	±(1 + 2i)
5	-24 – 10i	±(-1 + 5i)
6	-18i	±(3 – 3i)
7	3+4i	±(2+i)
8	3i	±( + i)
9	8 + 6i	±(3 + i)
10	-8 – 6i	±(-1 + 3i)
11	8-6i	±(-3+i)
12	48+14i	±(7+i)
13	-21 – 20i	±(2 – 5i)

Приложение 4

Задача. Найдите значение x и y,считая x и y действительными числами.

1. (2 - i)x + (3 – i)y = 1

Ответ: х = -1, у = 1

2. (2 – i)x + (3 – i)y = 2 + 5i

Ответ: х = - 17, y = 12

3. (3 + 5i)x + (7 + i)y = 10 + 6i

Ответ: х = 1, y = 1

4. (2 + i)x – (1 + 2i)y = 4 + 2i

Ответ: х =2, y = 0

5. (1 + 2i)x + (3 - 5i)y = 1 - 3i

Ответ: х = -4/11, у = 5/11.

6. (2 + 3i)x + (1 + 2i)y = 3 + 5i

Ответ: х = 1, у = 1

7. (1 – 3i)x – (-2 + i)y = 4 – 5i

Ответ: х = 6/5, y = 7/5

8. (-6 + 4i) x - (5 - i) у = 1 - 3i .

Ответ : x = - 1 , у = 1 .

9. (1 + 2i)x – (-3 – i)y = -2 – 4i

Ответ: х =-2, y = 0

10. (-2 - 3i) x - (-1 -4i)y = -20 + 5i.

Ответ : x = 17 , у = - 14 .

Приложение 5

Задача . Решите квадратное уравнение.

1. x² - (2 + i) x + (1 + 7i) = 0 .Ответ : -1 + 2i; 3 - i

2. х² + (5 - 2i) х + 5(1 -i) = 0 .

Ответ : -2 + i; -3 + i .

1. 0,5 x² - (6 + 2i) x + (-8 + 3i) = 0 .

Ответ : -1 + i; -11 - 5i.

1. (2 + i) x² - (5 - i) x + (2 - 2i) = 0 .

Ответ : 1 - i; 0,8 - 0,4i .

1. -2 x² - (1 - i) x + (6 + 2i) = 0 .

Ответ: 2; -1,5 - 0,5i.

1. х² + (1 - 2i) х - 2 i = 0 .

Ответ : 2 i; - 1 ..

1. x² - (2 + i)x + (3 + i) = 0 .

Ответ : 1 + 2i; 1 - i .

1. 0,25 x² + (-3 + 2i) x + (-10 - 4i) = 0 .

Ответ: -2 - 2i; 14 - 6i.

1. x² - (-3 + 2i)x + (2 - 2i) = 0 .

Ответ : -1 ; -2 + 2i .

1. - x² - 2i x + (9 - 6i) = 0 .

Ответ : -3 ; 3 - 2i.

74

Код для цитирования: Скопировать