IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Во многих задачах экономики и социологии труда могут быть полезны методы теории игр. В частности, эти методы применяются, а условиях неопределенности и риска, когда наведение противоположной стороны (необязательно враждебные) просто неизвестно или известно нечетко (так называемые игры с природой) [1]. Любая конечная матричная игра может быть решена графически (графоаналитически), либо ее решение может быть сведено к решению пары двойственных задач линейного программирования [2]. Однако в случае матричных игр, в которых элементы платежной матрицы представляют собой нечеткие числа, возникает проблема в использовании для решения таких игр симплекс – метода, связанная с делением на нечеткие числа, носитель которых содержит нуль. Эта операция над нечеткими числами не определена [3]. Графический метод применим только для игр, в которых хотя бы у одного из игроков имеется две стратегии. Однако он хорошо иллюстрирует содержательную сторону процесса поиска решения в игре и графически наглядно поясняет основные понятия теории матричных игр. В случаи решения нечетких матричных игр графическим методом проблем проведения операций над нечеткими числами в основном не возникает. Неопределенность при решении нечетких матричных игр графическим методом может быть описана с использованием математического аппарата теории нечетких множеств и нечеткой геометрии [4-6].

В данной работе предлагается рассмотрение графического метода решения нечетких матричных игр в экономике и социологии труда с использованием аппарата нечеткой математики и нечеткой геометрии.

Основные понятия теории нечетких множеств, нечетких соответствий и отношений, понятия нечетких геометрических объектов и нечетких геометрических фигур на плоскости будем полагать такими же, как и в [4-6].

Графический метод вполне пригоден для нечетких матричных игр размерностью 2ˣn или mˣ2.

Рассмотрим вначале случай, когда задана игра размерностью 2ˣn с платежной матрицей

Пусть элементы матрицы А – гауссовы нечеткие числа с функциями принадлежности

где – модальные значения (ядра) нечетких чисел , – коэффициенты концентрации.

Пусть нечеткие оптимальные стратегии игрока 1, - нечеткие оптимальне стратеги игрока 2. Тогда исключая тривиальный случай (наличие нечеткой чистой оптимальной стратегии хотя бы у одного из игроков), имеем:

(1)

Далее, для удобства, нечеткие точки, нечеткие прямые и нечеткие отрезки будем изображать графически их модальные значения (ядра), а их размытость (нечеткость) определяется численными значениями коэффициентов концентрации.

Выберем прямоугольную систему координат и отложим на оси абсцисс единичный отрезок для представления нечетких смешанных стратегий игрока 1 (рис. 1) .

На концах этого отрезка восстановим два перпендикуляра, на которых будем откладывать нечеткие выигрыши игрока, когда он использует нечеткие чистые стратегии и .

Пусть игрок 2 выбрал нечеткую стратегию . Тогда при использовании игроком 1 нечеткой чистой стратегии он получает нечеткий выигрыш (соответствующая нечеткая точка на левом перпендикуляре), а при использовании нечеткой чистой стратегии – нечеткий выигрыш (нечеткая точка на правом перпендикуляре). Соединив эти две нечеткие точки нечетким отрезком нечеткой прямой, мы получим график смешанной стратегии при условии, что игрок 2 использует нечеткую чистую стратегию (рис. 1). Точно такие же нечеткие прямые можно построить для .

Рис. 1. График зависимости нечеткого выигрыша игрока 1 от

смешанной стратегии

Далее мы должны для каждой нечеткой смешанной стратегии , то есть для каждой точки нечеткого одиночного отрезка на оси абсцисс, найти то есть нечеткую нижнюю границу множества и нечетких прямых. Эта нечеткая отмечена жирной нечеткой линией (рис. 1). Та нечеткая точка нечеткого отрезка, при которой нечеткая нижняя граница достигает максимума, соответствует искомой нечеткой смешанной стратегии , высота максимума дает при этом значение нечеткой нижней цены при .

Аналогично можно найти нечеткую оптимальную смешанную стратегию игрока 2 и нечеткую нижнюю цены игры в нечетких играх mˣ2 с той лишь разницей, что здесь нужно искать не максимум нечеткой нижней границы, а минимум нечеткой верхней границы.

Согласно основной теореме матричных игр решение в нечетких смешанных стратегиях существует всегда и . Здесь – нечеткая цена игры.

Рассмотрим использование исследуемого метода в играх с природой на примере задач организации труда.

Пример. Диспетчер автобусного парка в летние месяцы в конце каждой недели должен принять решение о целесообразности видения дополнительных рейсов на загородный маршрут. Диспетчер имеет два варианта принятия решений:

1. Увеличить количество автобусов, которое определяется величиной нечеткого числа и его функцией принадлежности: ,

2. Оставить без изменения обычное число автобусов (стратегия ).

Пусть возможны два состояния природы: – плохая погода; – хорошая погода, причем в момент принятия решения нет возможности определить ожидаемое состояние погоды. Если в выходные дни будет хорошая погода и много желающих выехать за город, а выделено мало автобусов, то фирма понесет убытки, связанные с недополучением прибыли. Если же будут выделены дополнительные автобусу, а когда окажется плохой, то возникнут потери, вследствие эксплуатации незаполненных автобусов, включая оплату труда водителей.

Пусть на основе анализа статистических данных за определенный период установлена функция потерь, для возможных комбинаций состояний природы и решений диспетчера, которых определяется функций принадлежности нечетного числа , виде нечеткой матрицы игры , в которой отрицательное значение показывает дополнительную прибыль, а положительные потери:

,

где – гауссовы нечеткие числа с функциями принадлежности:

Решим поставленную задачу изложенным выше графическим методом.

Нижняя цена игры верхняя цена игры цена игры: . Игра не имеет целевой точки. Оптимальное решение следует искать в области смешанных стратегий. Построим на плоскости отрезки, соответствующие стратегии игрока 2 (рис. 2.а.) и игрока 1 (рис. 2.б.).

Рис. 2. Геометрическая интерпретация задачи при стратегиях игрока 2 (а) и при стратегиях игрока 1 (б).

Построив проекции нечетких точек пересечением нечетких отрезков на соответствующие оси системы координат, находим нечеткие оптимальные стратегии и нечеткую цену игры и с соответствующими функциями принадлежности:

Выводы. В данной работе предлагается рассмотрение графического метода решения матричных игр, в которых элементы матрицы – гауссовы нечеткие числа. Вначале рассмотрен случай, когда задана игра размерностью 2ˣn. Случай, когда задана игра размерностью mˣ2, рассматривается аналогично. Рассмотрено использование исследуемого метода в играх с природой на примере численного решения задач организации труда.

Список литературы.

1. Федосеев В.В. Математическое моделирование в экономике и социологии труда: Учеб. Пособие. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.- 167с.

2. Василевич Л.Ф. Теория игр. Уч. Пособие – К.: КННМ, 2000. – 98 с.

3. Зайченко Ю.П. Исследование операции: нечеткая оптимизация – К.: Вища школа, 1991. – 191 с.

4. Раскин Л.Г. Серая О.В. Нечеткая математика. Основы теории. Приложения. – Х.: Парус, 2008. – 352 с.

5. Новак В. Мочкорж И. Математические принципы нечеткой логики – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 352 с.

6. Баришевський С.О. Никифорова Л.Є. Караєв О.Г. Аксіоматичні основи евклідової нечіткої планіметрії , // Вісник Херсон: ХНТУ, 2014. – Вип. 3(50). – С. 559-561.

7. Барышевский С.О. Графоаналитический метод решения нечетких матричных игр // Сучасні проблеми моделювання: зб. Наук. Праць / МДПУ ім. Б. Хмельницького; гол. Ред.. кол. А.В. Найдиш. – Мелітополь: Видавництво МДПУ ім.. Б. Хмельницького, 2016. – Вип. 5. - С. 3-8.

8. Зайченко Ю.П. Игровые модели принятия решений в условиях неопределенности // Труды V международной школы-семинар «Теория принятия решений». – Ужгород: УжНУ, 2010. – 274 с.

9. Серая О.В. Каткова Т.И. Задача теории игр нечеткой платежной матрицей // Математичні машини і системи. – 2012. –№2. – С. 29-36.

Код для цитирования: Скопировать