IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

В 18 веке итальянский геометр Гвидо Гранди (1671-1742) описал кривые линии с правильными плавными очертаниями. Они были похожи на цветок. Семейство этих кривых было названо семейством роз Гвидо Гранди.

Розы Гвидо Гранди имеют свойство, которое в природе не сразу и заметишь: так как, то вся кривая расположена внутри круга единичного радиуса. В силу периодичности тригонометрических функций роза состоит из одинаковых лепестков, симметричных относительно наибольших радиусов, каждый из которых равен 1 [1,2].

Наиболее красивые «цветы» получаются при k = 2 (четырехлепестковая роза) и при k = 3 (трёхлепестковая роза).

Покажем, как построить трёхлепестковую розу. Обратим внимание на то, что, поскольку полярный радиус неотрицателен, то должно выполняться неравенство sin(3) ≥0, решая которое получим область допустимых углов: .

В силу периодичности функции sin(3) (ее период равен ) достаточно построить график для углов в промежутке , а в остальных двух промежутках использовать периодичность. Итак, пусть . Если угол изменяется от 0 до 1, то изменяется от 0 до 1, и, следовательно, радиус также изменяется от 0 до 1. Если угол изменяется от до , то радиус изменяется от 1 до 0. Таким образом, при изменении угла от 0 до , точка на плоскости описывает кривую, похожую на очертания лепестка и возвращается в начало координат. Такие же лепестки получаются, когда угол изменяется в пределах от до π и от до .

Рассмотрим теперь, как построить кривую, заданную в полярной системе координат уравнением . Данная функция периодическая с периодом π. Кроме того, , поэтому достаточно построить кривую в первой четверти, потом зеркально отразить ее относительно оси Оу и использовать периодичность для построения кривой в третьей и четвертой четвертях.

Рассматриваемая функция на отрезке [0;] монотонно возрастает с 0 до 1, а на отрезке [; ] монотонно убывает от 1 до 0. Таким образом, мы получили лепесток розы, лежащий в первой четверти. Остальные три лепестка получатся, если построить кривую в оставшихся четвертях.

Отметим следующие интересные свойства четырехлепестковой розы:

• четырехлепестковая роза есть геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из начала координат на отрезок длиной 1, концы которого скользят по координатным осям;

• площадь, ограничиваемая четырехлепестковой розой, равна .

Розы Гранди нашли свое применение в технике, в частности, если некоторая точка совершает колебание вдоль прямой, вращающейся с постоянной скоростью вокруг неподвижной точки  центра колебаний, то траектория этой точки будет розой.

Графики роз Гвидо Гранди для основных уравнений и r=n∙sin((c/b)∙ представлены на рисунках 1 и 2.

Рисунок 1  График «розы»

Рисунок 2  График «розы»

Исследовав, как изменяются кривые Гвидо Гранди, заданные в полярной системе координат в зависимости различных значений параметров n, k, m, мы установили связь между количеством лепестков, их формул и симметричности получившегося рисунка [3,4,5,6]. Исследования проводились с целью разработки контента информационнообразовательной среды [7,8,9] кафедры ОНД АМТИ.

1. Гильберт Д. Наглядная геометрия. М.-Л., ОНТИ, 1986  304 с.

2. Норден А.П. Дифференциальная геометрия 2-е изд. - Москва, Физматгиз, 1988. - 244 с.

3. Часов К.В., Вандина А.И. Обучающий интерактивный документ по изучению графиков функций // Успехи современного естествознания. – 2013. – № 10. – С. 101-104; URL: http://www.natural-sciences.ru/ru/article/view?id=32985 (дата обращения: 23.08.2016).

4. Горовенко Л.А., Демьянко А.В. Математический цветник: розы ГвидоГранди // Сборник докладов победителей и лауреатов XXII студенческой научной конференции АМТИ. Армавир: ООО «Редакция газеты «Армавирский собеседник», подразделение Армавирская типография», 2016.  С. 7781.

5. Горовенко Л.А., Довгалёв А.Ю. Исследование параметров уравнения циклоиды // Сборник докладов победителей и лауреатов XXII студенческой научной конференции АМТИ. Армавир: ООО «Редакция газеты «Армавирский собеседник», подразделение Армавирская типография», 2016.  С. 8184.

6. Горовенко Л.А., Голиус Д.А. Уравнение циклоиды и его приложения в инженерных науках // Сборник докладов победителей и лауреатов XXII студенческой научной конференции АМТИ. Армавир: ООО «Редакция газеты «Армавирский собеседник», подразделение Армавирская типография», 2016.  С. 7377

7. Горовенко Л.А. Экспертно-обучающие системы оценки знаний, умений, навыков как основа компьютерной технологии обучения // Научный потенциал вуза - производству и образованию: сборник трудов по материалам межвузовской научно-производственной конференции, посвящённой 90-летию КубГТУ.- Армавир: Изд. АМТИ, 2008. С 342-344.

8. Горовенко Л.А. Построение информационно-образовательной среды с элементами искусственного интеллекта: Автореф. дис. на соиск. учен, степ. канд. тех. наук: (05.13.01)/Горовенко Любовь Алексеевна; [Куб. гос. тех. ун-т]. -Краснодар, 2002. -24 с.

9. Горовенко Л.А., Голиус Д.А. Уравнение циклоиды и его приложения в инженерных науках // Сборник докладов победителей и лауреатов XXII студенческой научной конференции АМТИ. Армавир: ООО «Редакция газеты «Армавирский собеседник», подразделение Армавирская типография», 2016.  С. 7377

Код для цитирования: Скопировать