IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Методы математического анализа широко используются разными науками, в том числе и экономикой, для которой математический аппарат является объективной необходимостью. Математические методы применяются не только для решения конкретных практических задач для текущей конъюнктуры, но и при моделировании всевозможных социально-экономических явлений и процессов. Математические модели являются важнейшим инструментом исследования и прогнозирования. Они представляют собой основу компьютерного моделирования и обработки информации, дают более глубокие представления о закономерностях экономических процессов, способствуют формированию образа мышления и анализа на новом, более высоком уровне. В условиях глобализации мировой экономики и становления постиндустриального общества математические модели становятся мощным инструментом прогноза эволюции цивилизации, что позволяет определять оптимальные пути развития экономики.

Достаточно часто в экономико-математических моделях находят применение дифференциальные уравнения. Например, данный элемент математического аппарата используется для оценки рыночного равновесия. Остановимся подробнее на модели Эванса установления равновесной цены, которая выделяется тем, что лишена недостатков известной паутинообразной модели рынка, наглядно иллюстрирующей процесс взаимодействия спроса и предложения на организованных рынках, однако не учитывающей временной фактор как одну из главных характеристик динамических процессов.

Для рассмотрения возьмем рынок одного товара, при этом время будем считать непрерывным. Введем обозначения – спрос, предложение и цена товара соответственно к моменту времени . Функции спроса и предложения считаются линейными функциями цены, то есть , .

Спрос при нулевой цене превышает предложение, поэтому естественным является неравенство . Модель основывается на предположении о том, что изменение цены зависит от соотношений между предложением и спросом. Причем данная связь выглядит так: рост цены прямо пропорционален превышению спроса над предложением, а также длительности этого превышения:

(1)

В дифференциальное уравнение (1) подставим линейные зависимости спроса и предложения от цены. В результате получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с начальным условием: (2)

Полученное уравнение при имеет стационарное решение:

причем, при и при

При цена , возрастая, стремится к . При цена , убывая, стремится к . Стационарная точка является точкой устойчивого равновесия. Сама цена является равновесной ценой, при которой спрос и предложение равны: .

Решим линейное дифференциальное неоднородное уравнение (2) с помощью метода вариации произвольной постоянной. Общее решение однородного уравнения имеет вид:

. (3)

Найдем частное решение. С этой целью найдем производную по выражения (3), считая вместо постоянной функцию :

(4)

Подставим выражение (4) в линейное неоднородное дифференциальное уравнение (2):

. Окончательно с учетом начальных условий имеем:

,

причем

В дискретной модели Эванса функционирование рынка осуществляется таким образом: утром на рынке обнаруживается некоторое предложение и спрос . В зависимости от их значений цена начинает меняться. Если спрос утром был больше предложения, то цена начинает равномерно расти. В противном случае, если предложение превышало спрос, цена начинает равномерно убывать. Выдвинем предположение, что начальная цена была За день цена возрастает до некоторого значения На следующее утро предложение и спрос будут соответствовать цене при этом снова будет соблюдаться неравенство а цена будет возрастать и так далее.

Дискретный аналог модели установления равновесной цены Эванса графически отражен на рисунке 1.

Рисунок 1 – Дискретный аналог модели Эванса

В точке равновесия, как известно, кривые спроса и предложения пересекаются. Утверждение, что ситуация рыночного равновесия предполагает равенство спроса и предложения, является неверным. Ведь спрос и предложение являются функциями, а равенство функций предполагает совпадение графиков, а не их пересечение. Соответственно, в точке равновесия совпадают объемы спроса и предложения.

В модели Эванса точка равновесия не переходится. Это значит, что если цена была меньше равновесной, то она так и останется меньше, и весь процесс будет изображаться слева от точки равновесия, а если цена была больше равновесной, то она так и останется больше, и весь процесс будет изображаться справа от точки равновесия.

Список литературы:

1. БРОЗЕ В.Е., ВАРАКСИН В.А., Светличная В.Б., Зотова С.А. ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ // Материалы VII Международной студенческой электронной научной конференции «Студенческий научный форум» URL: http://www.scienceforum.ru/2015/1254/15701

2. Калюжный Д.А., Светличная В.Б. Решение операционным способом дифференциальных уравнений с импульсной правой частью // Современные наукоемкие технологии. – 2013. – № 6 . – С. 100-101.

Код для цитирования: Скопировать