IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной. Он основан на следующей теореме.

Теорема. Пусть функцияопределена и дифференцируема на некотором промежуткеТи пустьХ– множество значений этой функции, на котором определена функцияf(x). Тогда, если на множествеХфункцияf(x) имеет первообразную, то на множествеТсправедлива формула

(1)

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределённом интеграле.

Метод замены переменной обычно применяется, когда подынтегральное выражение представляет собой независимую переменную, умноженную на многочлен от этой переменной, или на тригонометрическую функцию от этой переменной или на степенную функцию (в том числе корень) от этой переменной.Таблица неопределённых интегралов

	.
	.
	( ).
	.
	; .
	.
	.
	.
	.
	.
	.
	.
	.
	.
	.
	.
	.
	.
	; .

Пример 1. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

Решение. Положим x – 1 = t ; тогда x = t + 1. Отсюда dx = dt . По формуле (1)

Возвращаясь к переменной x, окончательно получаем

Замечание. При замене переменной в неопределённом интеграле иногда более удобно задавать не х как функцию t, а, наоборот, задавать t как функцию от x.

Пример 2. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

.

Решение. Положим . Отсюда . По формуле (1)

.

Возвращаясь к переменной x, окончательно получаем

Пример 3. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

.

Решение. Положим , откуда , , .

Тогда (не забываем о правиле дифференцирования сложной функции).

Заменяем переменную и получаем:

.

Возвращаясь к переменной х, получаем ответ:

.

Пример 4. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

Решение. Сделаем замену переменной: , далее приведем интеграл к табличному виду и решим его. В конце решения делаем обратную замену.

Ответ. Возвращаясь к переменной х, получаем ответ

Пример 5. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

.

Решение. Положим

,

тогда . Следовательно, Перейдем в данном интеграле к переменной :

Ответ:

Список литературы

1. Методы интегрирования (учебно-методическая разработка). / Ткалич А.Н., Дубинина Л.Я., редактор: Моисеева Л.В.

2. Миронов Н.П. Лекции по математическому анализу. (Основные структуры математического анализа). Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических вузов. Елабуга, 2000.

3. Интернет ресурс: http://lektsii.org/4-20611.html

Код для цитирования: Скопировать