IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Дифференциальные уравнения имеют широкое применение как в различных разделах самой математики, так и в смежных науках: в механике, физике, технике, химии, биологии, экономике и т. д. Это объясняется тем, что к решению таких уравнений сводится исследование многих задач окружающего мира, в которых обнаруживается связь между какими-либо величинами и количественными их изменениями, возникающими при изменении времени, координат или других параметров.

Применение в экономике. Дифференциальные уравнения широко используются в моделях экономической динамики, в которых исследуются не только зависимость переменных от времени, а и от их взаимосвязи во времени. Такими моделями являются: модель Эванса - установления уравновешенной цены на рынке одного товара; а также динамическая модель экономического роста, известная под названием «базовая модель Солоу».

Рост общественного благосостояния (модель Золотаса).Крупнейший греческий экономист К. Золотас высказал гипотезу , согласно которой производство большего количества товаров необязательно ведет к лучшей жизни. Он рассматривает два фактора: один – стимулирующий развитие, другой – сдерживающий. Пусть уровень общественного благосостояния в целом. Если критическая точка, то сдерживающим фактором будет а стимулирующим При таком подходе динамика определяется уравнением

1)

где доход на душу населения.

Интегрирование уравнения (1) приводит к решению

2)

Интенсивность выпуска продукции.Пусть для некоторого предприятия (фирмы) эта интенсивность есть Естественно предположить, что с увеличением выпуска продукции будет происходить насыщение рынка, и цена товара будет падать. Пусть, например, и скорость увеличения интенсивности выпуска продукции пропорциональна доходу от продажи выпуска по цене . Уравнение описанного процесса есть, очевидно,

( коэффициент пропорциональности). Интегрируя, получим логистическую кривую:

Применение в биологии. Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна количеству бактерий в данный момент. Обозначим количество бактерий, имеющихся в данный момент, через . Тогда

где — коэффициент пропорциональности.

В этом уравнении разделим переменные и проинтегрируем его:

Полагая, что при , получим . Следовательно,

Таким образом, при благоприятных условиях увеличение бактерий с течением времени происходит по экспоненциальному закону. Экспоненциальному закону размножения подчиняется так называемый «экологический взрыв», когда тот или иной биологический вид, попав в благоприятные условия, за короткий срок достигает большой численности.

Закон роста клеток с течением времени. Для палочковидных клеток, у которых отношение поверхности клетки к ее объему сохраняется постоянным, скорость роста клетки пропорциональна длине клетки в данный момент:

где и — постоянные, характеризующие процессы синтеза и распада.

При , постоянная , и поэтому

т.е. рост палочковидных клеток происходит по экспоненциальному закону.

Применение в физике и электротехнике. Во всяком термодинамическом процессе должен выполняться закон сохранения энергии, его почти всегда приходится записывать в дифференциальной форме:

Термодинамическое явление характеризуется набором из трёх основных функций: или . Эти функции связаны между собой уравнением состояния, которое можно представить в форме . В частности, в идеальном газе уравнение состояния имеет вид

В электротехнике переходные процессы в цепи R, L, C описываются дифференциальным уравнением 2-го порядка. Установившиеся составляющие токов и напряжений определяются видом источника энергии и определяются известными методами расчета установившихся режимов.

Наибольший теоретический интерес представляют свободные составляющие, так как характер свободного процесса оказывается существенно различным в зависимости от того, являются ли корни характеристического уравнения вещественными или комплексными сопряженными.

Рассмотрим схему (рис.1)

Рис.1.

Общий вид решения для тока:

Установившаяся составляющая:

Характеристическое уравнение и его корни:

откуда:

Интегро-дифференциальное уравнение:

Независимые начальные условия:

Зависимое начальное условие:

откуда

Рассмотренные примеры наглядно демонстрируют, что дифференциальные уравнения являются основным математическим инструментом моделирования и анализа разнообразных явлений и процессов в науке и технике. Дифференциальные уравнения играют существенную роль в науках, таких, как биология, экономика и электротехника; в действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного описания явлений.

Список литературы:

1) Математические методы в экономике и финансах : учебник / коллектив авторов ; под ред. В.М. Гончаренко и В.Ю. Попова. — М. : КНОРУС, 2016. — 602 с. — (Бакалавриат). Режим доступа: http://www.knorus.ru/upload/knorus_new/pdf/7323.pdf

2) Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: Учеб. пособие. В 3 ч. Ч. 2/ А. П. Рябушко, В. В. Бархатов, В. В. Державец, И. Е. Юруть; Под общ. ред. А. П. Рябушко. – Мн.: Выш. шк., 1991. – 352 с.: ил.

3) Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. – 9-е изд., перераб. и доп. – М.: «Высшая школа», 1996. – 638 с.

4) Аполлонский С. М. Дифференциальные уравнения математической физики в электротехнике. – СПб.: Питер, 2012. – 352 с.: ил.

5) Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — 2-е изд., перераб. и доц.—-М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.— 448 с.

Код для цитирования: Скопировать