IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Однажды студенты спросили: «Решение какой задачи было бы сейчас полезнее всего для математики?». Стареющий профессор ответил вполне серьезно: «Поймать муху на обратной стороне Луны!». Ученики опешили, а Гильберт объяснил: "Сама эта задача никому не нужна. Но подумайте: если она будет решена, то, какие могучие методы придется изобрести для этого, и какое множество других важных открытий мы при этом сделаем!"

В любой момент времени все математики должны иметь ясное представление о важнейших не решенных проблемах своей науки. Долг сильнейших математиков – не только решать такие задачи, но и ставить новые проблемы на смену решенным.

«Кто из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие успехи наших знаний и тайны его развития в ближайшие столетия?», так начинал свой доклад Давид Гильберт в 1900 году. Несмотря на то, что проблемы Гильберта были сформулированы более века назад, и некоторые из них сразу же нашли своё решение, половина из них решена не полностью, что делает эти проблемы актуальными и по сей день (рис.1).

Целью проведенного исследования было изучение истории возникновения и содержание проблем Гильберта, определение значения и вклада их в науку.

Давид Гильберт – немецкий математик начала XX века, занимавшийся рассмотрением фундаментальных основ математики, в частности разработал теорию инвариантов и аксиоматику эвклидовой геометрии. Считал, что в каждой математической области можно применить чёткую систему определений.

Рис.1 Нерешенные проблемы Гильберта.

В 38-летнем возрасте на математическом конгрессе в Париже, собравшем весь цвет науки того времени, Гильберт выступил с докладом «Математические проблемы», на котором в качестве предмета обсуждения предложил 23 важные темы. Ключевыми задачами математики того времени Гильберт считал активно развивающиеся области науки (теорию множеств, алгебраическую геометрию, функциональный анализ, математическую логику, теорию чисел) (рис.2), в каждой из которых выделил важнейшие задачи, которые к концу 20-го века либо решены, либо получили доказательство своей неразрешимости.

Рис.2. Развивающиеся области науки по Гильберту.

Значение работы Гильберта заключается не только в том, что он выделил проблемы из различных математических дисциплин, но таких, исследование которых может значительно стимулировать дальнейшее развитие науки.

На данный момент уже решены девятнадцать из двадцати трех, а точнее пятнадцать решены, а остальные четыре имеют только частичное решение. Ещё две не являются корректными математическими проблемами, так как одна сформулирована слишком не четко, что бы понять, решена она или нет, а вторая скорее физическая, а не математическая. Ответ для оставшихся двух (8,16) до сих пор является загадкой. Ученые во всего мира думают над решением данных проблем, но пока не находят решения, и прогнозы пока не очень ясные.

Восьмая проблема Гильберта.

Восьмая проблема Гильберта состоит из двух задач, относящихся к теории простых чисел. Это гипотеза Римана и проблема Гольдбаха.

Гипотеза Римана

Дзета-функция Римана (рис. 3) определена для всех комплексных и имеет нули в отрицательных чётных S = -2, -4, -6, … из функционального уравнения:

и явного выражения при ,где - функция Мёбиуса, следует, что все остальные нули, называемые «нетривиальными», расположены в полосе симметрично относительно так называемой «критической линии»

Рис. 3. Дзета-функция Римана.

Гипотеза Римана утверждает, что: «Все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть, равную» то есть являются комплексными числами (в отличие от тривиальных нулей) и расположены на прямой

Проблема Гольдбаха.

Утверждение о том, что любое чётное число, начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел. Одна из самых известных математических проблем.

Более слабый вариант гипотезы — тернарная проблема Гольдбаха, согласно которой любое нечётное число, начиная с 7, можно представить в виде суммы трёх простых чисел, было доказано в 2013 году перуанским математиком Харальдом Гельфготтом. Из справедливости утверждения бинарной проблемы Гольдбаха очевидным образом следует справедливость тернарной проблемы Гольдбаха: если каждое чётное число, начиная с 4, есть сумма двух простых чисел, то добавляя 3 к каждому чётному числу, можно получить все нечётные числа, начиная с 7.

Шестнадцатая проблема Гильберта.

Исходно, проблема называлась «Проблема топологии алгебраических кривых и поверхностей» Сейчас она считается разделяющейся на две похожие проблемы в разных областях математики:

• Исследование взаимного расположения овалов вещественных алгебраических кривых степени n (и аналогичный вопрос для алгебраических поверхностей);

• Получение верхней оценки на число предельных циклов полиномиального векторного поля степени n (и исследование их взаимного расположения).

Первая (алгебраическая) часть

Максимальное число замкнутых и отдельно расположенных ветвей, которые может иметь алгебраическая кривая n-го порядка, было определено Харнаком. «Мне представляется интересным основательное изучение взаимного расположения максимального числа отдельных ветвей, так же, как и соответствующее исследование о числе, характере и расположении отдельных полостей алгебраической поверхности в пространстве»; ведь до сих пор не установлено, каково в действительности максимальное число полостей поверхности четвёртой степени в трёхмерном пространстве.

Вторая (дифференциальная) часть

«В связи с этим чисто алгебраическим вопросом я затрону ещё один, который, как мне кажется, должен быть решён с помощью упомянутого метода непрерывного изменения коэффициентов», а именно, вопрос о максимальном числе и расположении предельных циклов Пуанкаре для дифференциального уравнения первой степени вида

где X, Y — целые рациональные функции n-й степени относительно x,y, или, в однородной записи,

где X, Y, Z — целые рациональные однородные функции n-й степени относительно x,

y, z, которые и нужно определять как функции параметра t.

Проблемы Гильберта – одна из самых сложных задач всемирной математики. Но их решение помогло развить математику. Гильбертовские «образцы» оказались удивительно удачными. Они оказали большое стимулирующее влияние на развитие математики в XX веке.

Математика находится сейчас в стадии бурного развития, она постоянно ставит перед учеными новые и новые проблемы. Да и многие старые (в том числе некоторые из проблем Гильберта) до сих пор не нашли своего решения. Многие видят математику как «мертвую науку», но это не так. Математики постоянно ее развивают.

Таким образом, развитие математики связано с тремя факторами: ее приложениями (не обязательно в смысле удовлетворения сиюминутных практических потребностей, но также и в смысле использования математики в других науках); решением научных проблем; систематической разработкой новых теорий.

Список литературы:

1. Болибрух А. А. Проблемы Гильберта (100 лет спустя). — МЦНМО, 1999. — Т. 2.

2. Демидов С.С. К истории проблем Гильберта // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1966.

3. Петунин Ю.И., Номировский Д.А., Ляшко С.И., Семенов В.В. Двадцатая проблема Гильберта. Обобщенные решения операторных уравнений. – М. – Диалектика, 2009. – 192 с.
4. Проблемы Гильберта. Материал из Википедии – свободной энциклопедии http://ru.wikipedia.org/wiki
5. Стахов А.П. Проблемы Гильберта и «математика гармонии». - http://trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/1271-sth.pdfю
6. Hilbert’s Problems. From Wikipedia, the free Encyclopedia http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert's_problems
7. Десятая проблема Гильберта. Материал из Википедии – свободной энциклопедии http://ru.wikipedia.org/wiki

Код для цитирования: Скопировать