IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Теория графов имеет в своем распоряжении мощный аппарат решения прикладных задач из самых разных областей науки и техники. Сюда относятся, например, анализ и синтез цепей и систем, проектирование каналов связи и исследование процессов передачи информации, построение контактных схем и исследование конечных автоматов, сетевое планирование и управление, исследование операций, выбор оптимальных маршрутов и потоков в сетях, моделирование жизнедеятельности и нервной системы живых организмов, исследование случайных процессов и много других задач. [1-2]

При моделировании систем автоматического управления САУ отдельный этап составляет построение структурной схемы и ее расчет, что может быть не легкой задачей, поскольку при расчетах нужно выполнять сложные преобразования, а также в расчетах учитывать действительную и мнимую часть числа. Но с помощью ориентированных графов, можно несколько облегчить этот процесс.[3]

В данной работе предлагается рассмотрение способа преобразования структурных схем систем автоматического управления при помощи ориентированных графов. Математическую модель САУ можно наглядно представить с помощью ориентированных графов.

Орграфы используются в сложных САУ, особенно при управлении и автоматизации технологических процессов в промышленности, когда описание в виде структурных схем становится громоздким и сложным для восприятия. Рассмотрим простой орграф динамического звена САУ (рис.1).

Рис. 1. Орграф динамического звена САУ

Орграфом САУ является графическое представление САУ в виде совокупности вершин, соответствующих переменным, и дуг, соединяющих вершины.

Рассмотрим основные свойства орграфа:

- каждая дуга со стрелкой, которая указывает направление распространения сигнала, изображающий звено и характеризуется оператором звена, что изображается (передаточной функцией);

- каждой вершине, отмеченной кружком, ставится в соответствие

одна из переменных САУ (изображение переменной по Лапласу);

- входная величина дуги равна переменной вершины, из которой эта дуга

получается;

- если к вершине подходят несколько дуг, то соответствующая вершине

переменная равна сумме выходных величин этих дуг (аналог звена структурных схем, суммирующий);

- если из вершины выходит несколько дуг, то входные величины всех этих дуг одинаковы (аналог точки ветвления в структурных схемах).

Ориентированный граф (орграф) можно построить по структурной схеме и наоборот. При построении орграфа по структурной схеме необходимо придерживаться следующих правил:

1. Модифицируют структурную схему так, чтобы в сумматорах все переменные складывались с положительным знаком, отрицательные знаки вносятся в передаточные функции соответствующих звеньев.

2. Каждый сумматор структурной схемы заменяется вершиной, которой ставится в соответствие выходная переменная сумматора.

3. Каждое динамическое звено заменяется дугой с оператором, равным передающей функции звена.

4. Каждой переменной, включая и входные действия, соответствует своя вершина [38-40].

Когда структурная схема преобразована в орграф, для нахождения требуемой передаточной функции можно использовать формулу Мейсона (правило контуров, не касающихся).

Рассмотрим общий вид формулы:

(1)

Где - передаточная функция -го отдельного прямого пути от Х(s) к Y(s), исчисленная как перемножения передаточных функций дуг, входящих в этот путь;

- определитель орграфа

Где - передаточная функция j-го замкнутого контура, вычисленная как произведение передаточных функций дуг, входящих в этот контур;

- перемножения передаточных функций пары (j-го и k-го) замкнутых контуров, которые не касаются ни дугами, ни вершинами, суммирование осуществляется по всем парам контуров, не прикасаются;

- умножение тройки (j–го, k-го і m-го) контуров, не касающихся, суммирование производится по всем тройках контуров, не прикасаются;

- определитель орграфа, полученного при удалении дуг и вершин i-го отдельного прямого пути, определяется по формуле (2) [3, 124-125].

Поясним использование формулы Мейсона.

В начале оказываются все отдельные прямые пути между входной и выходной переменными, для которых необходимо определить передаточную функцию. Отдельным прямым путем считается такая последовательность дуг и вершин, которая соединяет вершины, соответствующие входному и выходному сигналам. При этом отдельный прямой путь не должен пересекать в вершинах сам себя.

Далее выявляются все замкнутые контуры в орграфе САУ. Замкнутым считается такой контур, когда, между двумя вершинами является как прямой, так и обратная связь. Передаточная функция контура определяется как умножение передаточных функций всех дуг, входящих в контур, с учетом знаков.

После того, как выявлены все замкнутые контуры орграфа, необходимо проанализировать - есть контуры, которые не касаются ни дугами, ни вершинами, есть ли пары, тройки и т.д. таких контуров.

На основании полученного формируется определитель орграфа по формуле (3).

Определители орграфов, полученных после удаления и -х отдельных прямых путей, также формируются по формуле (3), при этом учитываются только те контуры, которые остаются после извлечения /-го прямого пути. Если после извлечения прямого пути не остается ни одного замкнутого контура, определитель такого орграфа принимается равным единице.

Пример расчета структурных схем САУ с помощью графов.

Имеем структурную схему:

Рис. 2. Структурная схема САУ

Преобразуем структурную схему в ориентированный граф.

Рис. 3. Ориентированный граф схемы

Определим прямые пути:

Определим замкнутые контуры:

Все контуры имеют общую дугу контуров, поэтому отдельных дуг нет.

Определитель орграфа имеет вид

При изъятии 1-го или 2-го прямых путей в орграфы не сохраняется

ни одного замкнутого контура, поэтому

Передаточная функция имеет вид

Выводы. В данной работе рассмотрен способ преобразования структурных схем САУ при помощи графов. Рассмотрено использование формулы Мейсона для преобразования структурных схем и ориентировочных графов. Приведен пример расчета структурных схем САУ при помощи ориентировочных графов (орграфов).

Список литература

1. Балий И.А. Дискретная математика: Курс лекций. – М.: Эксмо, 2008. – 352 с.

2. Нуликов В.В. Дискретная математика: Учеб. пособие. М.: РНОР, 2010. – 174 с.

3. Ерофеев А.А. Теория автоматического уравнения: Учебник для вузов. – 3-е изд., стереотип. – СПБ.: Политехника, 2008. – 302 с.

Код для цитирования: Скопировать