IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Задания, содержащие уравнения и неравенства с параметром, традиционно относят к нестандартным, т.к как для их решения требуется умение мыслить логически, это связано с необходимостью в каждый момент проведения решения достаточно отчётливо представлять себе, что уже сделано, что ещё надо сделать, что означают полученные результаты. Уравнения и неравенства с параметром в заданиях ЕГЭ по математике профильного уровня призваны проверить умение выпускника мыслить сжато, логично и аргументировано.

Имеется несколько способов решения параметрических уравнений и неравенств׃ алгебраический, аналитический, функционально-графический. А в некоторых задачах применяются методы математического анализа. Рассмотрим основные типы задач параметром.

1. Уравнения, неравенства, которые необходимо решить либо для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговорённому множеству. Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами».

2. Уравнения, неравенства, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.

3. Уравнения, неравенства, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения и неравенства имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений). Задачи типа 3 в каком-то смысле обратные задачам типа 2.

4. Уравнения, неравенства, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

1. уравнение выполняется для любого значения переменной из данного промежутка;

2. множество решений первого уравнения является подмножеством множества решения второго уравнения и т.д.

При решении задач с параметром выделяют основные способы решения:

1. Аналитический. Этот способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные способы нахождения ответа в задачах без параметра.

2. Графический. В зависимости от задачи рассматриваются графики в координатной плоскости (х;у), или в координатной плоскости (х;а).

3. Решение относительно параметра. При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признаётся более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных х и а и заканчиваем решение.

Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа – это сбор раннее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.

Пример: найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

имеет решение.

Решение.

Введем новую переменную:

Тогда данное уравнение принимает вид:

Чтобы решить получившееся квадратное уравнение с переменной t, найдем его дискриминант:

.

Так как D≥0, квадратное уравнение имеет решение

Число -1 не принадлежит промежутку [0;1] таким образом, заданное нам тригонометрическое уравнение с параметром имеет решение при условии

Ответ: Уравнение имеет решение при .

Код для цитирования: Скопировать