Взаимодействие особей внутри популяции определяется внутривидовой конкуренцией, взаимодействие между популяциями межвидовой конкуренцией.
Известной математической моделью, в основу которой положена задача о динамике численности популяции, является классическая модель неограниченного роста – геометрическая прогрессия в дискретном представлении, или экспонента, в непрерывном .
Модель предложена Мальтусом, который обратил внимание на тот факт, что численность популяции растет по экспоненте, в то время как производство продуктов питания растет со временем линейно, из чего сделал вывод, что рано или поздно экспонента обязательно «обгонит» линейную функцию и наступит голод. Дарвин указывал, что, поскольку ни одна популяция не размножается до бесконечности, должны существовать факторы, препятствующие неограниченному размножению. Среди этих факторов может быть нехватка ресурса. Результатом являются замедление скорости роста популяции
Модель логистического роста была предложена Ферхюльстом для описания развития популяции в условиях ограниченных ресурсов питания [1,2].
Численность разнополой популяции, в которой размножение происходит путем скрещивания, в реальных условиях не должна опускаться ниже некоторой критической величины. При падении плотности популяции ниже критической величины время, в течение которого может состояться оплодотворение, становится больше времени, в течение которого особь способна к размножению. В этом случае популяция вымирает. Учесть эти процессы позволяет модель:
(1)
Член отражает тот факт, что в двуполых популяциях при малых численностях скорость роста пропорциональна вероятности встреч особей разного пола ( r ⋅ x2 ), а при больших численностях – количеству самок в популяции ( r x ). Слагаемое ( d x )описывает естественное вымирание особей, слагаемое (p ⋅ x2 ) – самоограничение вида.
Модель имеет три стационарных решения: два устойчивых
(x1= 0 и x3= K)и одно неустойчивое(x2= L,0