Популяция – совокупность особей одного вида, существующих в одно и то же время и занимающих определенную территорию. Взаимодействие особей внутри популяции определяется внутривидовой конкуренцией, взаимодействие между популяциями межвидовой конкуренцией.
Известной математической моделью, в основу которой положена задача о динамике численности популяции, является классическая модель неограниченного роста – геометрическая прогрессия в дискретном представлении, или экспонента, в непрерывном .
Модель предложена Мальтусом, который обратил внимание на тот факт, что численность популяции растет по экспоненте (в геометрической прогрессии), в то время как производство продуктов питания растет со временем линейно (в арифметической прогрессии), из чего сделал вывод, что рано или поздно экспонента обязательно «обгонит» линейную функцию и наступит голод. Обсуждению важности вывода Мальтуса для популяционной динамики Дарвин посвятил несколько страниц своего дневника, указывая, что, поскольку ни одна популяция не размножается до бесконечности, должны существовать факторы, препятствующие такому неограниченному размножению. Среди этих факторов может быть нехватка ресурса (продовольствия), вызывающая конкуренцию внутри популяции за ресурс, хищничество, конкуренция с другими видами. Результатом являются замедление скорости роста популяции
Модель логистического роста была предложена Ферхюльстом для описания развития популяции в условиях ограниченных ресурсов питания [1,2]. В основу модели положено уравнение
(1)
где r— константа собственной скорости роста популяции в отсутствии конкуренции. Член (bx2),пропорциональныйколичествувстречмеждуособями, учитывает «самоотравление» популяции, объяснимое многими причинами (конкуренцией за ресурсы питания, выделением в среду вредного метаболита и др.). Коэффициент bназывается коэффициентом внутривидовой конкуренции.
Уравнение (1) приводится к виду:
(2)
Величина К= r/b– предельное значение численности популяции, при котором скорость роста становится равной нулю, соответствует устойчивому стационарному состоянию с максимально возможной в данных условиях численностью популяции и называется емкостьюсреды.
Уравнение (2) можно решить аналитически. Проведем разделение переменных:
(3)
Представим левую часть в виде суммы и проинтегрируем:
Переходя от логарифмов к переменным, получим:
(4)
Произвольная постоянная С определяется начальным значением численности популяции x0:
при , .
Подставим это значение С в формулу (4):
Отсюда получаем решение – зависимость численности от времени:
(5)
Характер логистической кривой зависит от величины параметров rи Kи от начальной численности x0. Это уравнение обладает двумя важными свойствами. При малых х численность возрастает экспоненциально при больших – приближается к определенному пределу К. Эта величина, называемая емкостью популяции, определяется ограниченностью ресурсов и представляет собой системный фактор, который определяет ограниченность роста популяции в данном ареале обитания. График функции (5) при разных начальных значениях численности популяции при К = 100 и r = 0,2 представлены на рис.1.
Рис. 1. Зависимость численности популяции от времени при скорости роста r= 0,2 и при различных начальных значениях численности x0.
Обозначения: x0(t) – x0 = 10; x1(t) – x0 = 30; x2(t) – x0 = 150.
Если начальное значение, кривая роста имеет точку перегиба при и . При начальном значении численности популяции x0 = 10, при К = 100 и r = 0,2 = 11, = 50.
Если в правой части уравнений (1) более сложная нелинейная функция, то алгебраическое уравнение для стационарных значений может иметь несколько корней и реализуемое решение в этом случае зависит от начальных условий.
Литература
Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование./ Вольтерра В – М.: Наука, 1976. – 288 с.
Трубецков, Д.И. Феномен математической модели Лотки – Вольтерры и сходных с ней «Методические заметки» / Д.И. Трубецков // Изв. вузов «ПНД». – 2011. – Т. 19, № 2. – С. 69 – 88.