IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА «РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ СРЕДСТВАМИ ЭТ MICROSOFTEXCEL»

Приходько Р. А.

Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова

Новочеркасск, Россия

Нелинейное уравнение с одной переменной в общем случае может быть записано в виде

F(x) = 0, (1)

где функция F(x) определена и непрерывна на конечном или бесконечном интервале a < x < b.

Всякое значение ξ [a, b], обращающее функцию F(x) в нуль, т.е. когда F(ξ) = 0, называется корнем уравнения (1) или нулем функции F(x). Если функция F(х) имеет достаточное количество производных, то можно говорить о кратных корнях. Число ξназывается корнем k-й кратности, если при x =ξ вместе с функцией F(x) обращается в нуль и ее производные вплоть до порядка (k – 1) включительно:

F(x) = F'(x) = ... = F(^{k- 1)}(x) = 0.

Однократный корень называется так же простым. Два уравнения называются равносильными (эквивалентными), если множества их решений совпадают. Нелинейные уравнения с одной переменной подразделяются на алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и другие) называются трансцендентными.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы:

1. точные методы;

2. приближенные методы.

Точные методы позволяют указать формулы для определения корней в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Из школьного курса алгебры известны такие методы для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.

Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой. Для решения таких уравнений используются приближенные методы, позволяющие отыскать кореньс заданной степенью точности. Среди приближенных методов решения функциональных уравнений наибольшее распространение получили итерационные методы. Сущность итерационного метода состоит в построении последовательных приближений к точному значению корня. При этом процедура заканчивается, когда достигнута требуемая точность.

Задача численного нахождения действительных корней нелинейного уравнения (1) обычно состоит из двух этапов:

1. отделения корней, т.е. нахождения достаточно малых окрестностей рассматриваемой области, в которых содержится одно и только одно значение искомого корня;

2. уточнения корней, т.е. их вычисления с заданной степенью точности. [1]

В приложении Microsoft Excel для этого используется Надстройка Поиск решения. Надстройки – это специальные средства, расширяющие возможности приложения Microsoft Excel, делающие его удобным для использования в инженерных и научных расчётах. Хотя эти средства считаются внешними, дополнительными, доступ к ним осуществляется при помощи обычных команд командной строки (обычно через меню команды Данные). При этом открываются специальные диалоговые окна, оформленные как стандартные диалоговые окна Excel.

Пример. Решить уравнение х³ –10^.х + 2 = 0 средствами Microsoft Excel.

Для этого:

1. Запустите приложение MS Excel и присвойте рабочему листу имя Пример, запишите название лабораторной работы, дату выполнения, Ф.И.О. студента и преподавателя (рис. 1).

2. В ячейку С8 занесите текст «Аргумент х».

3. Введите в ячейку С9 значение -3,5. В ячейку С10 – значение -3. Выделите эти ячейки, и методом автозаполнения скопируйте их содержимое до ячейки С23.

4. В ячейку D8 запишите: «Функция f(x)».

5. В ячейку D9 введите левую часть уравнения, используя в качестве независимой переменной ссылку на ячейку С9. Соответствующая формула имеет вид: =С9^3-10*С9+2.

Запустите Мастер диаграмм и постройте график функции f(x) . Определите количество действительных корней.

Начальное приближение к первому корню х = − 3.

Рис. 1. Пример выполнения работы

1. Введите в ячейку G20 текст «Вычисленное значение корня», в ячейку G22 – значение -3.

2. Запишите в ячейку H20 текст «Вычисленное значение функции», а в ячейку H22 – правую часть уравнения: = G22^3-10* G22+2.

3. Выберите команду ДанныеПоиск решения.

4. В появившемся диалоговом окне Подбор параметров укажите:

1. в поле Установить целевую ячейку − H22;

2. в поле значению − 0;

3. в поле Изменяя ячейки − G22.

1. Щелкните по кнопке Выполнить, появится диалоговое окно Результаты поиска решения, в котором будет предложено Сохранить найденное решение (рис. 2).

Рис. 2. Результаты выполнения работы

1. Повторите расчет, задавая начальные значения для второго корня х= 0,2 и для третьего корня х = 3. Как изменятся результаты вычислений?

Задание 1. Графически отделить все корни уравнение и уточнить их с помощью надстройки Поиск решения.

№	Уравнение	№	Уравнение
1.		9.
2.		10.
3.		11.
4.		12.
5.		13.
6.		14.
7.		15.
8.		16.

Список источников:

1. Герасименко Ю.Я., Растеряев Н.В.Приближенные методы решения нелинейных уравнений: учеб. пособие / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т. – Новочеркасск: ЮРГТУ (НПИ), 2007.– 40 с.

Код для цитирования: Скопировать