IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

На сегодняшний день главной задачей образования является обеспечение современного качества обучения при сохранении его фундаментальности. Получаемое образование должно соответствовать актуальным и перспективным потребностям личности, общества и государства.

Несмотря на то, что современная школа накопила богатый опыт проведения кружковых занятий по математике, неразрывно связанных с подготовкой к олимпиадам, в этом направлении имеются свои проблемы, которые волнуют в настоящее время педагогическую общественность страны, о чем свидетельствуют беседы с учителями, публикации в печати.

Проведение олимпиад позволяет выявить учащихся, имеющих интерес и склонности к занятиям математикой. Ведь олимпиадная задача – это задача повышенной трудности, нестандартная как по формулировке, так и по методам решения. К сожалению, на уроках математики часто не хватает времени на решение и разбор таких задач.

Делимость и задачи в целых числах достаточно мало изучаются в школьной программе, хотя задания подобного плана встречаются на олимпиадах разного уровня, а также включены в Единый Государственный Экзамен по математике и оцениваются максимальным количеством баллов. Для проведения занятий по данной тематике был разработан элективный курс «Делимость и задачи в целых числах» в котором рассматриваются методы решения олимпиадных задач.

Таким образом, целью исследования является создание и апробирование элективного курса, который направлен на развитие познавательного интереса и расширение знаний по математике, полученных на уроках, на развитие креативных способностей учащихся и более качественную отработку математических умений и навыков при решении олимпиадных задач по математике.

В соответствии с целью необходимо решить следующие задачи:

- провести анализ теоретический и научно-методической литературы по данной теме;

- определить требования к содержанию и разработке элективного курса;

- разработать учебно-тематическое планирование элективного курса;

- разработать методические рекомендации по проведению элективного курса;

- разработать систему уроков элективного курса с теоретическими и практическими материалами.

В качестве примера рассмотрим ряд задач, которые используются в процессе подготовки школьников к олимпиадам.

Задача №1. Доказать, что число делится на 6 при любом натуральном .

Заметим, что

произведение трех последовательных натуральных чисел. Из них хотя бы одно четно, а значит, делится на 2, и есть одно, которое делится на 3. Второе слагаемое также делится на 6. Таким образом число делится на 6 при любом натуральном .

Задача №2. Найти в числе , которое кратно 24.

Если число делится на 24, то оно будет делится на 8 и на 3.

Если число делится на 8, то делится на 8, т.е

Чтобы делилось на 3, достаточно, чтобы сумма делилась на 3, т.е

Заметим, что т.е или значит,

Вычитая из (1) - (2), получим откуда Чтобы было целым, необходимо, чтобы делилось на 8.

Если то

Если то .

Если то или .

Если то .

Если то .

Если то или .

Из

При найденных значениях и находим числа 567840, 567816, 567864,567808, из которых условию задачи удовлетворяют лишь первые три числа: 567840, 567816, 567864.

Ответ: 567840, 567816, 567864

Задача №3. Решить в целых числах уравнение

Запишем уравнение в следующем виде:

Преобразуем его:

.

Пусть тогда последнее уравнение примет вид

Имеем систему:

Так как , то для возможны значения:

Из всех этих значений системе удовлетворяет лишь значение тогда

Следовательно, исходное уравнение имеет четыре решения:

Ответ:

Задача №4. Решить в целых числах уравнение

Преобразуем выражение.

.

Итак, решением являются пары чисел

Ответ:

Разработанный элективный курс «Делимость и задачи в целых числах» в олимпиадной подготовке был внедрен в практику. По результатам можно сделать следующие выводы.

При планировании работы с группой школьников следует избегать излишней организованности. Учитывая разный возраст и разный уровень подготовки, оптимальным было построение индивидуальных образовательных траекторий для каждого участника, причем ученику должна быть предоставлена, и свобода выбора этой траектории. Ученик может прийти на занятие, чтобы получить краткую консультацию и задание для индивидуальной работы, чтобы порешать задачи определенного типа, разобрать теоретический вопрос, полистать необходимую литературу, поработать за ПК. На занятиях учащиеся познакомились с материалом задач разного типа и уровня сложности и их решениями. В итоге, всем учащимся, интересующимся математикой, было предоставлено широкое поле деятельности, на котором каждый ученик мог подобрать задачи для себя, а задачи более сложные были разобраны при совместной работе в группе.

Код для цитирования: Скопировать