IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

На протяжение долгого времени математика играет значительную роль в системе образования. Ее методы применяются почти во всех областях знания. Математический язык, становится универсальным языком науки. Это, в свою очередь, требует от сегодняшних школьников более глубокого знания математики.

В повышении математической культуры учащихся и учителей заметная роль принадлежит математическим олимпиадам – организованным конкурсам учащихся старших классов в решении математических задач повышенной трудности. Поэтому была выбрана тема исследовательской работы «Обучение методам решения комбинаторных задач в процессе олимпиадной подготовки школьников».

Интерес к комбинаторным задачам обусловлен несколькими причинами:

- комбинаторные задачи необычны и оригинальны своей формулировкой заданий для школьников;

- комбинаторные методы широко используются в олимпиадных заданиях.

Важно организовывать учебную деятельность обучающихся по систематизации комбинаторных методов при решении задач. Подготовкой учащихся к олимпиадам по математике занимались Г.И. Алексеева, П.Ф. Севрюков, А.В. Хуторской.

Цельисследовательской работы – систематизировать олимпиадные задачи на применение комбинаторных методов по подготовке школьников к математическим олимпиадам.

Основные задачи исследования:

- систематизировать основные понятия комбинаторики;

- изучить основные направления и методические требования подготовки школьников к математическим олимпиадам.

Задачи разбиты на 4 блока: перебор вариантов, правило суммы и произведения, размещения, перестановки и сочетания.

Рассмотрим некоторые обучающие задачи из исследовательской работы. Данные задачи нацелены в первую очередь на подготовку к олимпиадам.

Задача 1. Номер машины состоит из трех букв русского алфавита и трех цифр. Сколько можно составить различных номеров машин?

Решение. Данная задача решается с помощью правила произведения.

В русском алфавите 33 буквы, используют 3 буквы, тогда, различных вариантов из трех будет равно 33∙33∙33 = 35937. Используются 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Следовательно, различных вариантов трех цифр равно 10∙10∙10 = 1000. Сделаем вывод, что для составления различных номеров машин понадобится 33∙33∙33∙10∙10∙10 = 35937000 вариантов.

Ответ: 35937000 вариантов.

Задача 2. Сколькими способами можно переставить буквы слова «перемет» так, чтобы три буквы «е» не шли подряд?

Решение. Данная задача решается с помощью метода перестановки. Подсчитаем, в скольких перестановках все три буквы «е» идут подряд. Можем в этих перестановках объединить буквы «е» в один блок и переставлять этот блок вместе с буквами «п», «р», «м», «т». Получатся перестановки из 5 объектов, число которых равно =5! = 120. А перестановок с повторениями из букв слова «перемет» можно составить Р (3, 1, 1, 1, 1) = 840. Значит, число перестановок, в которых три буквы «е» не идут подряд, равно 840 – 120 = 720.

Ответ: 720 способов.

Задача 3. Мальчики из 8 «А» обменялись рукопожатиями, и кто-то подсчитал, что всего было 66 мальчиков. Сколько было рукопожатий?

Решение. Каждый из 66 человек пожимает руку 65, т. к. сам с собой не здоровается. Значит всего 66· 65 = 4290 рукопожатий. При таком подсчете каждое рукопожатие сосчитано дважды, один раз при подсчете рукопожатий первого ученика, а другой раз при подсчёте рукопожатий второго ученика, учитывая одинаковые пары, имеем или рукопожатий.

Ответ: 2145 рукопожатий.

Задача 4. В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?

Решение.Не менее двух человек, т. е. 2+7 или 3+6 или 4+5 человек (5+4, 6+3, 7+2 – те же самые комбинации). В каждой выборке важен только состав, т.к. члены подгруппы не различаются по ролям, т.е. выборки − сочетания из n различных элементов по m элементов, их число: .

Число выборок из 2-х человек: .

Число выборок из 3-х человек: .

Число выборок из 4-х человек: .

Применяем правило сложения: способов.

Ответ:246 способов.

Задача 5. В коробке находятся 30 черных и белых шаров. Определить, сколько белых и сколько черных шаров в коробке, если среди любых 12 шаров хотя бы 1 белый, а среди любых 20 шаров хотя бы 1 черный.

Решение.Если среди любых 12 шаров хотя бы один белый, то есть белых шаров должно быть 19, если их будет хотя бы 18, то можно достать 12 черных шаров, среди которых не будет ни одного белого,

Так же и с черными, так как среди любых 20 хотя бы один черный, то черных должно быть 11, если их будет 10, то можно достать 20 белых шаров, среди которых не будет ни одного черного.

Ответ: 19 белых, 11 черных.

Благодаря данным задачам можно хорошо подготовиться школьнику к олимпиадам по математике.

Код для цитирования: Скопировать