IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

ВВЕДЕНИЕ

В наши дни развел раздел математики – методы оптимизации, играет очень важное значение в жизни всего человечества, и существует достаточно давно. Ведь оптимизация – это наш выбор, т.е., то чем мы постоянно занимаемся. Мы даже не задумываемся, как часто нам приходится делать выбор, в пользу той или иной ситуации. Обычно в художественном стиле под словом оптимизация обозначают процесс или последовательность, каких либо операций, которые позволяют получить нам конкретное решение. Самая главная задача данного метода – это найти наилучшее или оптимальное решение из возможных вариантов. И как показывает практика, в основном нам приходится довольствоваться уже известными методами и по возможности усовершенствовать их. Именно поэтому самая важная цель оптимизации – это стремление к совершенству (идеалу), которое, увы, может быть, и не достигнуто.

Если опираться на факторы из прошлого, то можно увидеть каждый ключевой момент, и он будет связан с определенным выбором. Ведь кто знает, чтобы сейчас было, если бы великие полководцы выбрали другой путь. Возможно, нас бы ждала совсем другая эпоха, а не та которую мы наблюдаем. А если бы лучшие ученые в детстве выбрали другую профессию или увлечение? Увы, на эти вопросы мы никогда не найдем ответы, и можно только догадываться. Нам нужно понимать лишь одно – что все принятые решение были сделаны на основе здравого смысла или же ранее приобретенного опыта. Но вскоре им на помощь пришел метод математического анализа, который значительно облегчил жизнь.

Очень сложно принимать решения, когда мы затрагиваем дела, в которых опыта у нас просто нет, и здравому смыслу не на что опираться, а интуиция может и подвести. Вот, например: все люди по своей натуре хотят быть богатыми, а самые большие деньги приносит изготовка новых вооружений. И нам предстоит выпустить оружие нового поколения. При планировании мы опираемся на большое количество данных и стараемся предвидеть ошибки, связанные с не точным прогнозированием. И чтобы справиться с этой задачей мы обратимся к системе математических расчетов.

Чем сложнее задача, тем больше в нее мы вкладываем сил, материальных средств, ресурсов. Если у нас достаточное количество данных, то наш спектр гораздо шире, а это значит, что мы с меньшей вероятностью можем столкнуться со случайными исходами, т.е. с теми исходами, которые не опираются на научный расчет, и большей вероятностью, что мы исключим недопустимые отрицательные варианты и выберем положительные. C каждым годом поставленные задачи становятся все сложнее и сложнее. И чтобы дальше прогрессировать во всех направлениях, нам нужно развивать математические методы оптимизации.

1.Общая задача оптимизации

Общие задачи оптимизации получают свое применение во всех сферах человеческой деятельности, где возможно выбрать одним из многих решений проблемы. Будь то, планирование экономических процессов, разработка оружие, планирование каникул и во многих других сферах. И само собой мы стараемся выбрать самый лучший вариант для решения поставленной задачи.

Если смотреть на эти задачи с математической точки, то обычно все такие задачи сводиться к нахождению наименьшей или наибольшей функции F(x), которая в свою очередь имеет название целевая функция[1].

F (X) max (min), X R (x). (1)

Задача, выявленная этим образом, называется задачей оптимизации и множество R (X) называется допустимым множеством этой задачи.

Многое зависит от того, в каком виде задается данное множество R(X). Во многих случаях R(X) выделяется из Rn с помощью системы равенств и неравенств:

(2)

Почти все задачи оптимизации приводят к виду(1)-(2).Самые большие различия, которые могут возникать, в ходе решения задач связаны с математическими характеристиками функций. Допустим в одном случае наша функция целевая, и она будет гладкой, а в другом случае разрывной; иногда мы сталкиваемся с задачами, которые просты и свойства и характеристики их понятны, а иногда для решения сложный задач нам приходиться обращаться за помощью к так называемым подзадачам. Чаще всего нам попадаются случаи, когда функцияF(x) и g(x) являются линейными. Именно тогда вспоминают задачу линейного программирования. [2].

Есть еще и другие признаки классификации оптимизационных задач, например – размерность. Размерность играет особую роль в выполнение поставленной задачи. Ведь она показывает, сколько памяти и вычислений нам потребуется, чтобы найти поиск решений тем, или иным способом. Классификация по размерности всегда относительна. Самый простой и распространенный случай – это оптимизация одной переменной. Но если переменные исчисляются сотнями или тысячами, то проходиться использовать другие средства. [3].

Следующим важный показатель, которому надо тоже уделить особое внимание – это доступность производных. В некоторых задачах аналитическое решение первых и вторых производных считается легко, но в других в других задачах точные значения имеет лишь сама функция. Доступность производных – это не только возможность построения процедуры, но и трудоемкость этой процедуры. Это означает, что затраты на расчет производных сопоставляются с прочими затратами на реализацию поиска решения оптимизационной задачи.

Еще одним важным фактором помимо прочих является точность, с которой надо решить задачу. Если, результаты решения используются как второстепенные данные для внешней итерации, то тратить свои усилия на достижение максимальной точности бессмысленно. [4].

Арсенал методов оптимизации расширяется с каждым днем. Но если вернуться в прошлое, когда методом было мало, то все они казались легкими и каждый шел в читальный зал, находил описание нужной оптимизационной схемы и просто программировал ее. Однако сейчас все стало намного проще, благодаря прогрессу в данных методах, и обилие совершаемых ошибок значительно сократилось.

1.1 Классификация задач оптимизации

Оптимизация делится на 2 процесса: статическая оптимизация и динамическая оптимизация для различных процессов.

Первая решает вопросы реализации и создания оптимальной модели процесса. Вторая в свою очередь отвечает за создание и реализацию систем оптимального управления данным процессом. В основном динамическая оптимизация решает проблемы в неустановившихся режимах эксплуатации.

Безусловная оптимизация это – оптимизация, при которой требуется определить экстремум функции без начальных условий и заданных величин. С такими задачами мы сталкиваемся при решении частных задач (например, определение максимальной концентрации целевого продукта, оптимального времени пребывания реакционной смеси в аппарате и т.п.). [5].

Условная оптимизацияэто– оптимизация, при которой, нужно сделать экстремум целевой функции при определенных условиях, которые возникают при наложении на ряд других величин. Пример условной оптимизации – нам нужно определить максимальную производительность при заданной себестоимости, или определить оптимальную температуру при ограничениях по термостойкости катализатора и др.

В зависимости от управляющих параметров различают следующие задачи:

- оптимизация при нескольких управляющих переменных

- многомерная оптимизация,

- оптимизация при одной управляющей переменной- одномерная оптимизация

- оптимизация с непрерывными, дискретными и смешанным типом значений управляющих воздействий

- оптимизация при неопределённости данных,

В зависимости от критерия оптимизации различают:

- с одним критерием оптимизации - критерий оптимальности единственный.

- со многими критериями. Для решения задач со многими критериями используются специальные методы оптимизации[6].

1.2 Постановка задач оптимизации

В науке очень часто сталкиваются с понятием оптимизация. Она играет очень важную роль в применение этой сфере, и не только в этой, но и любой другой области деятельности человека.

Оптимизация – целенаправленная деятельность, заключающаяся в получении наилучших результатов при соответствующих условиях [7].

Чтобы облегчит жизнь человечеству, ученые искали оптимальные решения для решения разных задач. Будь то изготовление одежды или же изготовка химического оружия. Это и привело к созданию математических методов.

В 18 веке были заложены первые математические основы оптимизации.

Первые методы:

- вариационное исчисление;

- численные методы.

Однако во второй половине 20 века произошел спад прогресса по данным методам. Это было связано с тем, что практическое использование математических методов оптимизации требовало огромной вычислительной работы, а люди к тому времени еще не разработали первые ЭМВ. Из-за большего числа параметров людям было очень сложно сделать математические вычисления, а порой даже и невозможно. Примером этому стали химические технологии. Но вскоре появился первый ЭВМ, и прогресс не заставил себя долго ждать, и снова математические методы оптимизации получила должное внимание [8].

При постановке задачи оптимизации необходимо:

1. Наличие ресурсов оптимизации, под которыми понимают возможность выбора значений некоторых параметров оптимизируемого объекта. Объект должен обладать определенными степенями свободы – управляющими воздействиями.

2. Возможность количественной и качественной оценки оптимизируемой величины, поскольку только в этом случае можно сравнивать эффекты от выбора тех или иных управляющих воздействий [9].

3. Наличие объекта оптимизации и цели оптимизации. При этом формулировка каждой задачи оптимизации должна требовать экстремального значения лишь одной величины, т.е. одновременно системе не должно приписываться два и более критериев оптимизации, т.к. практически всегда экстремум одного критерия не соответствует экстремуму другого.

Типичный пример неправильной постановки задачи оптимизации:

"Получить максимальную производительность при минимальной себестоимости".

Ошибка заключается в том, что ставится задача поиска оптимума 2-х величин, противоречащих друг другу по своей сути.

Правильная постановка задачи могла быть следующая:

а)получить максимальную производительность при заданной себестоимости;

б)получить минимальную себестоимость при заданной производительности;

В первом случае критерий оптимизации – производительность, а во втором – себестоимость.

4. Учет ограничений [10].

2.Линейное программирование

Линейная задача оптимизации (ЗЛП) это частный случай задачи оптимизации, где целевая функция F(x) и g(x) является линейной. Именно тогда говорят о линейной задаче программирования. Первым делом включают число ограничений, и первое все является – неотрицательность переменных.

… , (3)

Линейное программирование (ЛП) – это раздел математического программирования, в котором рассматриваются методы решения экстремальных задач с линейной целевой функцией и линейными ограничениями, которым должны удовлетворять искомые переменные.

Важно понимать, что при решении данной задачи первостепенной важности является нахождение не только максимума и минимума функции F, но и нахождение точек, в которых эти максимальные значение достигаются. [11].

Эти точки называются оптимальными решениями и в большинстве случаев обозначаются Х_опт. Вектор Х = (х₁, х₂,…, хn) удовлетворяющий ограничениям задачи ЛП, называется ее решением или планом. Если все переменные удовлетворяют всем ограничениям (неотричательности), то точка X будет называться допустимым решением. Допустимый план, соответствующий крайней точке множества, является опорным планом или допустимым базисным решением задачи ЛП.

Теорема ЛП. Пусть допустимое множество R (X) задачи линейного программирования является многогранником. Если функция принимает максимальное значение в некоторой точке допустимого множества R (X), то она принимает это значение в крайней точке R (X). Если целевая функция принимает максимальное значение более чем в одной крайней точке, то она принимает это же значение на любой их выпуклой комбинации[12].

Линейное программирование оформилось как отдельный раздел математики в 40 – 50 г.г. ХХ века, когда выяснилось, что целый ряд задач из сферы планирования и управления могут быть сформулированы в виде задач ЛП. Подсчитано, что в настоящее время примерно 80 – 85 % всех решаемых на практике задач оптимизации относятся к задачам ЛП.

Для решения таких задач разработаны эффективные методы. Симплекс-метод является наиболее распространенным универсальным вычислительным методом, который может быть применен для решения любых задач ЛП как вручную, так и с помощью ЭВМ. Метод предложен американским ученым Дж. Данцигом в 1949году.

Чтобы одновременно не рассматривать оба типа задач: F(X)→max и F(X)→min, можно изучать задачи только одного какого-либо типа, помня, что всякая задача на максимум сводится к задаче на минимум (и, наоборот) путем умножения целевой функции на – 1.

.

2.1 Графический метод решения задач линейного программирования

Графический метод чаще всего используется для решения задач связанных с двухмерным пространством.

Найдем решение Х = (х₁, х₂), которая будет удовлетворяющее системе неравенств

Целевая функция в этой системе будет иметь вид:

F ( x₁, x₂ ) = 3 * x₁ + 2 * x₂

В этом случае функция достигает своего максимума[13].

Для удобства вводят декартовую систему координат с осями х₁Ох₂ и областью допустимых решений задач. Для этого нужно заменить все неравенства соответственными равенствами и построить три прямые.

Неравенства х₁  0 и х₂  0 означают, что область решения будет расположена справа от оси ординат и под осью абсцисс. Таким образом, выделенная область на рис 1 (многогранник OABCD) будет областью допустимых решений, определенной ограничениями задачи.

Рисунок 1 – Область допустимых значений

2.2 Задача линейного программирования

Задача: Предприятие электронной промышленности выпускает две модели радиоприемников, причем каждая модель производится на отдельной технологической линии. Суточный объем первой линии  60 изделий, второй линии  80 изделий. На радиоприемник первой модели расходуется 15 однотипных элементов электронных схем, на радиоприемник второй модели  10 таких же элементов. Максимальный суточный запас используемых элементов равен 950 единиц. Прибыли от реализации одного радиоприемника первой и второй моделей равны 40$ и 20$ соответственно. Определите оптимальные суточные объемы производства первой и второй моделей на основе графического решения задачи.

Рисунок 2  Графическое решение ЗЛП в ЕXEL

Решение задач в пакете mathcad

Рисунок 3  Решение ЗЛП в MATHCAD

Рисунок 4  График зависимости при решении ЗЛП в MATHCAD

3.Метод золотого сечения и методы нахождения экстрему

3.1 Численные методы нахождение экстремума.

Пусть задана некоторая функция f(x) и пусть она будет непрерывна на отрезке[a,b]. Тогда функция будет достигать максимального своего значения. Если считать, что на отрезке функции f(x) имеет конечное число критических точек. И если наибольшее значение будет достигаться внутри данного отрезка [a,b] то это будет максимум функции (если нет других максимумов, помимо этой) то есть наибольшим значением данной функции.

Но бывают случаи, когда функция, когда максимальное значение достигается на концах отрезка[a,b].Таким образом, важно понимать, что наибольшего значения достигается либо на одном из концов этого отрезка, либо в такой внутренней точке этого отрезка, которая является точкой максимума. [14].

То же самое можно сказать и о наименьшем значении функции: оно достигается либо на одном из концов данного отрезка, либо в такой внутренней точке, которая является точкой минимума.

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение непрерывной функции f(x) на отрезке [a,b] нужно воспользоваться следующим правилом:

1. Найти первую производную функции, т. е. f^/(х).

2. Найти все критические точки первого порядка, т.е. точки, в которых f^/(x) равна нулю или не существует.

3. Определить значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку [a,b].

4. Определить значения функции на концах отрезка, т. е. вычислить f(а) и f(b)

5. Из всех полученных выше значений функции выбрать наибольшее и наименьшее – они и будут представлять собой наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [a,b].

Пример:

Определить на отрезке [0,2] наибольшее и наименьшее значения функции y= x³ – 3x +3.

Решение.

1. Находим первую производную функции: у^/=3х² – 3 .

2. Найдем все критические точки первого порядка.

у^/=0 ═> 3х² – 3 = 0 ═> x² = 1 ═> x₁=1 и x₂= –1.

1. Так как критическая точка x₂= –1 не принадлежит интервалу [0,2], то вычислим значение функции только в точке x₁=1: у(1) = 1.

2. Определим значения функции на концах отрезка: у(0)=3 и у(2)=5.

3. Из всех полученных значений у(1) = 1, у(0)=3 и у(2)=5 выберем наибольшее и наименьшее, т.е. своего наибольшего значения у_наиб.=5 функция достигает на правом конце отрезка при х=2, а наименьшего значения у_наим.=1 функция достигает в критической точке внутри отрезка [0,2] при х=1. [15].

3.2. Метод золотого сечения

Задачи линейного программирования были первыми, подробно изученными задачами поиска экстремума функций при наличии ограничений типа неравенств. В 1820 году Фурье и затем в 1947 году Данциг предложил метод направленного перебора смежных вершин в направлении возрастания целевой функции — симплекс-метод, ставший основным при решении задач линейного программирования.

Присутствие в названии дисциплины термина "программирование" объясняется тем, что первые исследования и первые приложения линейных оптимизационных задач были в сфере экономики, так как в английском языке слово "programming" означает планирование, составление планов или программ. Вполне естественно, что терминология отражает тесную связь, существующую между математической постановкой задачи и её экономической интерпретацией (изучение оптимальной экономической программы). Термин "линейное программирование" был предложен Данцигом в 1949 году для изучения теоретических и алгоритмических задач, связанных с оптимизацией линейных функций при линейных ограничениях.

Поэтому наименование "математическое программирование" связано с тем, что целью решения задач является выбор оптимальной программы действий.

Выделение класса экстремальных задач, определяемых линейным функционалом на множестве, задаваемом линейными ограничениями, следует отнести к 1930-м годам. Одними из первых, исследовавшими в общей форме задачи линейного программирования, были: Джон фон Нейман – математик и физик, доказавший основную теорему о матричных играх и изучивший экономическую модель, носящую его имя, и Канторович – советский академик, лауреат Нобелевской премии (1975), сформулировавший ряд задач линейного программирования и предложивший в 1939 году метод их решения (метод разрешающих множителей), незначительно отличающийся от симплекс-метода.

В 1931 году венгерский математик Б. Эгервари рассмотрел математическую постановку и решил задачу линейного программирования, имеющую название "проблема выбора", метод решения получил название "венгерского метода".

Канторовичем совместно с М.К. Гавуриным в 1949 году разработан метод потенциалов, который применяется при решении транспортных задач. В последующих работах Канторовича, Немчинова, В.В. Новожилова, А.Л. Лурье, А. Брудно, Аганбегяна, Д.Б. Юдина, Е.Г. Гольштейна и других математиков и экономистов получили дальнейшее развитие как математическая теория линейного и нелинейного программирования, так и приложение её методов к исследованию различных экономических проблем. [17].

Методам линейного программирования посвящено много работ зарубежных учёных. В 1941 году Ф.Л. Хитчкок поставил транспортную задачу. Основной метод решения задач линейного программирования – симплекс-метод – был опубликован в 1949 году Данцигом. Дальнейшее развитие методы линейного и нелинейного программирования получили в работах Куна (англ.), А. Таккера (англ.), Гасса (Saul. I. Gass), Чарнеса (Charnes A.), Била (Beale E.M.) и др.

Одновременно с развитием линейного программирования большое внимание уделялось задачам нелинейного программирования, в которых либо целевая функция, либо ограничения, либо то и другое нелинейны. В 1951 году была опубликована работа Куна и Таккера, в которой приведены необходимые и достаточные условия оптимальности для решения задач нелинейного программирования. Эта работа послужила основой для последующих исследований в этой области.

Начиная с 1955 году опубликовано много работ, посвященных квадратическому программированию (работы Била, Баранкина и Дорфмана (Dorfman R.), В работах Зонтендейка (Zontendijk G.) разработаны градиентные методы решения задач нелинейного программирования.

В настоящее время для эффективного применения методов математического программирования и решения задач на компьютерах разработаны языки моделирования, представителями которыми являются AMPL и LINGO. [18].

3.3 Алгоритм действий золотого сечения

Шаг 1. Задать начальный интервал неопределенности

, точность >0.

Шаг 2. Положить =0.

Шаг 3. Вычислить:

.

Шаг 4. Вычислить, .

Шаг 5. Сравнить с :

а) если, то положить и . Перейти к шагу 6;

б) если , положить и .

Шаг 6. Вычислитьи проверить условие окончания:

а) если , процесс поиска завершается и в качестве приближенного решения можно взять середину последнего интервала:

б) если , положить и перейти к шагу 4.

3.4. Метод чисел Фибоначчи

Последовательность чисел Fi задаётся и условиями F0=F1=1.

Элементы введённой последовательности называются числами Фибоначчи. Выведем формулу, выражающую числа Фибоначчи в ясном виде. Для этого будем искать решение рекуррентного уравнения

Fi+1=Fi+Fi-1

среди геометрических прогрессий с i-членом ti. Имеем,

ti+1=ti+ti-1.

Ненулевые корни данного уравнения являются корнями квадратного трёхчлена t2-t-1 и равны (1±√5)/2. Вводим обозначение T=(1+√5)/2=1,618. Тогда

(1+√5)/2=-1/Т.

Таким образом, последовательности Ti и (-1/Т)i удовлетворяют этому рекурентному уравнению. Ему также удовлетворяет любая линейная комбинация последовательностей с1ti+c2(-1/t)i .Возьмём коэффициенты с1 и с2 так, чтобы выполнялись условия F0=F1=1. Имеем с1+с2=1. с1t+c2(-1/t)=-1[19].

Решая данное уравнение, выводим формулу для чисел Фибоначчи:

Fi=((Ti+1-(-T)-(i+1))/√5)=((1+√5)/2)i+1-((1-√5(/2)i+1)/√5)

Fi=(Ti+1-(-T)-(i+1)/√5)=((1+√5/2)i+1-(1-√5/2)i+1)√5)

Из которой следует:

Fi~(Ti+1/√5) при i→∞

Алгоритм:

Шаг 1. Задать начальный интервал неопределенности , >0

допустимую длину конечного интервала, > 0 константу различимости.

Шаг 2. Найти количество N вычислений функции как наименьшее целое число, при котором удовлетворяется условие, и числа Фибоначчи .

Шаг 3. Положить = 0.

Шаг 4. Вычислить ; .

Шаг 5. Вычислить

Шаг 6. Сравнить с:

а) если , положить .

Перейти к шагу 7;

б) если положить

.

Шаг 7. Проверить критерий окончания поиска:

а) заменить на +1;

б) если =n-2, перейти к шагу 8, иначе к шагу 5.

Шаг 8. Поиск аппроксимирующего минимума:

а) положить ;

б) если >, то . В противном случае - .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В этой курсовой работе мы рассмотрели метод золотого сечения, как в практическом, так и в теоретическом виде.

Также существует еще множество применений данного метода, например в экономике. Применительно к оценке бизнеса, метод определения ставки дисконтирования, когда основная часть ставки (примерно 62%) вычисляется как обычно, напр., по модели САРМ, и к ней прибавляется дополнительная часть (примерно 38%), отражающая неидентифицируемые факторы риска.

Также этот метод очень эффективен при экономическом кризисе, так как вначале рассчитывают долю идентифицируемых воздействий, а затем – неидентифицируемых. Если кризис нарастает, то мы можем увидеть, так называемое (движение "ко дну") а если мы постепенно выходим из него то (движение "ото дна"). При помощи этого метода очень удобно отслеживать процесс своего бизнеса.

Главный плюс данного метода, то, что он очень простой и очень удобный. С помощью его легко решаются задачи оптимизация разного уровня сложности. Метод золотого сечения является одним из основных и простых методов решения задач оптимизации и математического программирования. Сегодня этот метод представляет собой один из важнейших разделов оптимизации и широко используется для решения многих задач в различных областях науки и техники. Можно отметить, что метод золотого сечения применяется не только в программировании, но и в кибернетике и даже в химии.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Аверьянова С.Ю., Растеряев Н.В. Содержательные задачи линейного программирования и их решение с помощью ЭТ MSEXCELи пакета MATHCAD: учебное пособие/ Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2014. – 132 с.

2. Акулич И.Д. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1993.

3. Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. Теория. Примеры. Задачи. – М.: Наука, 1984.

4. Жданов С.А. Методы и рыночная технология экономического управления. – М.: Дело и Сервис, 1999.

5. Калихман И.Л., Войтенко М.А. Динамическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1979.

6. Колемаев В.А. Математическая экономика: Учебник для вузов. – М.:ЮНИТИ, 1998.

7. Сборник задач по математике для втузов / Под ред. А.В. Ефимова. Методы оптимизации. Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения. – М.: Наука, 1990

8. Растеряев Н.В. Графическое решение задач линейного программирования: методичное пособие / 2011. – 14 с.

9. Алексеев В. М. Сборник задач по оптимизации: Теория. Примеры. Задачи / В. М. Алексеев, Э. М. Галлеев, В. М. Тихомиров. – М., 1984. – 288 с.

10. Романовский, И. В. Алгоритмы решения экстремальных задач / И. В. Романовский. – М.: Наука, 1977.

11. Базара, М. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы / М. Базара, К. Шетти. – М.: Мир, 1982.

12. Гилл, Ф. Практическая оптимизация / Ф. Гилл, У. Мюррей, М. Райт. Пер. с англ. – М.: Мир, 1985.

13. Зайченко, Ю. П. Исследование операций: учеб. пособие для вузов / Ю. П. Зайченко. – Киев: Вища школа, 1975. – 320 с.

14. Гончаров В.А. Методы оптимизации / М.: Высшее образование,2009. – 191 с.

15. [Электронный ресурс] – 2010. – Режим доступаhttp://tc.nsu.ru/uploads/met-opt-pr-zad.pdfсвободный.

16. [Электронный ресурс] – 2010. – Режим доступаhttp://math.semestr.ru/optim/optim-manual.php свободный.

17. [Электронный ресурс] – 2010. – Режим доступаhttp://www.webmath.ru/poleznoe/formules_8_22.php свободный.

18. [Электронный ресурс] – 2010. – Режим доступаhttp://studopedia.su/7_22264_metod-porazryadnogo-poiska.htmlсвободный.

19. [Электронный ресурс] – 2010. – Режим доступаhttp://all4study.ru/modelirovanie/zadacha-minimizacii-metodami-naiskorejshego-spuska-i-porazryadnogo-priblizheniya.html свободный.

Код для цитирования: Скопировать