IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

ВВЕДЕНИЕ

Характерной чертой нынешних способов изучения финансовых и научно-технических течений считается формализация их рассмотрения при поддержки математических моделей, обширное использование численных методов, средств вычислительной технической и прогрессивного программного обеспечения. При этом все наиболее обширное продвижение обретают оптимизационные расчеты с применением ЭВМ, нацеленные на усовершенствование и увеличение производительности компании, планирования и управления в разных концепциях в базе количественных способов [3].

Задача оптимизации в общем случае включает три составляющие: целевую функцию (критерий оптимизации), ограничения, граничные условия.

1) Критерий оптимизации демонстрирует воздействие искомых переменных на его значение, которое должно быть минимизировано лили максимизировано в зависимости от выбранного аспекта.

2) Ограничения характеризуют имеющиеся взаимосвязи среди искомых переменных. По собственному происхождению связи могут являться детерминированными и статистическими.

3) Граничные условия демонстрируют максимально допустимые значения искомых переменных.

В оптимизационных задачах находятся такие значения искомых величин, которые, во-первых, удовлетворяют абсолютно всем ограничениям и краевым условиям, а во-вторых, придают целевой функции оптимальное, то есть максимальное или минимальное значение.

К математическим задачам линейного программирования относятся изучение определенных производственно-хозяйственных ситуаций, которые в том либо ином варианте разъясняют равно как проблемы о рациональном применении урезанных ресурсов (цель о раскрое, смесях, рационе и т.д.).

Одним из вопросов линейного программирования считается цель о консистенции топлива с установленными показателями качества. В этой работе рассматривается разрешение проблемы об октановом числе бензина, с учетом стандартов, по этой причине проанализируем перечень, свойство и структур автомобильных бензинов.

А также в данной работе рассмотрим математическую постановку и решение оптимизационной задачи, в том числе и задача линейного программирования, в средах математического пакета Mathcad и электронных таблиц Excel [1].

1. Общая задача оптимизации

1.1 Понятие оптимизационных задач

В настоящее время оптимизация отыскивает использование в науке, технике и в любой иной сфере человеческой деятельности

Оптимизация – целенаправленная работа, заключающаяся в получении лучшихитоговприопределенныхобстоятельствах. Поиски наилучшихрешенийповерглик формированиюспециализированных математическихметодови ранеев 18 столетии былипринятыматематическиеосновыоптимизации (численныеметоды, вариационное исчислениеи др.). Новплоть до второйполовины20столетияметодыоптимизации вмногочисленныхсферахнаукии техникииспользовалисьвесьма нечасто, так какфактическоеприменениематематическихметодовоптимизации требовалогромаднойвычислительной деятельности, которуюв отсутствиисовременной вычислительной техники реализовать быловесьмасложно, а зачастую– нереально [10].

Постановка проблемы оптимизации подразумевает наличие конкурирующих качеств процесса, к примеру:

число продукции – потребление сырья

число продукции – качество продукта

Подбор компромиссного варианта с целью указанных качеств и представляет собой операцию постановления оптимизационной задачи. При постановке задачи оптимизации следует:

1.Наличие объекта оптимизации и миссии оптимизации. При этом определение каждой задачи оптимизации обязано требовать экстремального значения только одной величины, т.е. в то же время системе никак не должно приписываться два и более критерий оптимизации, т. к. почти всегда максимум одного критерия никак не соответствует экстремуму другого. Приведем примеры. Классический пример неверной постановки задачи оптимизации: "Получить максимальную производительность при минимальной себестоимости". Оплошность состоит в том, что устанавливается цель отыскивания оптимальности 2-х величин, противоречащих друг другу по своей сути [4].

Вернаяпостановказадачимоглабытьтакая: а)получить наибольшуюпроизводительностьприустановленнойсебестоимости; б)получить наименьшую первоначальная стоимостьпризаданнойпроизводительности; В первоначальныйслучае аспектоптимизации – производительность, а вовтором- себестоимость.

2. Существованиересурсов оптимизации, подкоторымиподразумеваютвозможностьвыборазначенийопределенных характеристикоптимизируемого предмета.

3. Возможностьколичественнойоценкиоптимизируемой величины, так кактолько лишьв данномслучаи возможно сопоставлятьэффектыотподборатехлибоиныхуправляющихвлияний.

4. Учет ограничений.

Обычно оптимизируемая величинасопряженас экономичностью трударассматриваемогообъекта(устройство, мастерская, предприятие). Оптимизируемый виддеятельностиобъектаобязаноцениваться какой-точисленноймерой- критерием оптимальности.

Критерием оптимальности называется численная оценка оптимизируемого свойства объекта. На основе подобранного критерия оптимальности оформляется целевая функция, представляющая собою взаимозависимость критерия оптимальности от параметров, оказывающих большое влияние на её значение. Тип критерия оптимальности либо целевой функции обусловливается конкретной задачей оптимизации. Таким образом, задача оптимизации сводится к нахождению экстремума целевой функции.

В зависимости от собственной постановки, всякая из задач оптимизации способна решаться разными способами, и напротив – каждый способ способен применяться с целью решения многих задач. Способы оптимизации могут являться скалярными (оптимизация ведется согласно одному аспекту), векторными (оптимизация ведется согласно многих аспектов), поисковыми (содержат способы регулярного и способы случайного поиска), аналитическими

(способы дифференциального исчисления, способы вариационного исчисления и др.), вычислительными (базируются на математическом программировании, которое может являться линейным, нелинейным либо же дискретным, динамическим, стохастическим, приближенным и т.д.), теоретико-вероятностными, теоретико-игровыми и др. Подвергаться оптимизации могут задачи равно как с ограничениями, так и в отсутствии их [6].

Линейное программирование – один из первых и более тщательно изученных областей математического программирования. Непосредственно линейное программирование предстало тем разделом, с которого начала совершенствоваться сама наука "математическое программирование". Термин "программирование" в наименовании дисциплины ничего общего с термином "программирование (т. е. Формирование программ) для ЭВМ" никак не имеет, так как дисциплина "линейное программирование" появилась ещё до того времени, когда ЭВМ начали массово использоваться при решении математических, технических, финансовых и др. вопросов. Слово "линейное программирование" появился в следствии неправильного перевода английского "linear programming". Один из смыслов слова "programming" – формирование планов, планирование. Таким образом, верным переводом "linear programming" было бы никак не "линейное программирование", а "линейное планирование", что наиболее четко отображает содержание дисциплины. Однако, термин линейное программирование, нелинейное программирование и т.д. в нашей литературе стали общепризнанными.

Таким образом, линейное программирование зародилось уже после Второй Мировой Войны и стало стремительно совершенствоваться, притягивая интерес математиков, экономистов и инженеров благодаря способности обширного практического использования, а так же математической "стройности".

Можно отметить, что линейное программирование применимо с целью построения математических моделей тех действий, в базу каковых может быть положена гипотеза линейного представления действительного мира: финансовых вопросов, проблем управления и планирования, оптимального размещения

оборудования и пр.

Задачами линейного программирования называют проблемы, в которых линейны равно как целевая функция, так и ограничения в виде равенств и неравенств. Вкратце задачу линейного программирования возможно выразить последующим образом: отыскать вектор значений переменных, приносящих максимум линейной целевой функции при m ограничениях в виде линейных равенств или же неравенств.

Линейное программирование предполагает собою наиболее часто применяемый метод оптимизации. К числу задач линейного программирования возможно отнести задачи: оптимального применения сырья и материалов; проблемы оптимизации раскроя; оптимизации производственной программы компаний; рационального размещения и концентрации производства; формирования рационального плана транспортировок, деятельность транспорта; управления производственными резервами; и многочисленные другие, относящиеся к области оптимального планирования.

Так, согласно анализу американских специалистов, приблизительно 75% от общего количества применяемых оптимизационных способов приходится на линейное программирование. Приблизительно четверти машинного времени, потраченного в последние годы на проведение научных исследований, было отведено решению вопросов линейного программирования и их множественных вариаций. Первые постановка задачи линейного программирования были сформулированы популярным советский математиком Л.В. Канторовичем, которому из-за данную работу была присуждена Нобелевская премия в области экономики [9].

Существенное развитие теории и алгоритмический аппарат линейного программирования приобрели с открытием и распространением ЭВМ и формулировкой американским математиком Дж. Дансингом симплекс - способа.

В формирование и усовершенствование данных систем вложен труд и талант множества математиков, аккумулирован навык постановления тысяч задач. Обладание аппаратом линейного программирования необходимо любому

специалисту в сфере математического программирования. Линейное программирование непосредственно сопряжено с иными методами математического программирования (к примеру, нелинейное программирование, где целевая функция нелинейная).

Задачи с нелинейной целевой функцией и линейными ограничениями именуют задачами нелинейного программирования с линейными ограничениями. Оптимизационные задачи подобного рода возможно классифицировать на основе структурных особенностей нелинейных целевых функций. В случае если целевая роль Е – квадратичная функция, в таком случае мы имеем дело с задачей квадратичного программирования; в случае если Е – это отношение линейных функций, в таком случае надлежащая задача вынашивает наименование задачи дробно-линейного программирования, и т. д. Разделение оптимизационных задач на эти классы предполагает существенный интерес, так как характерные черты тех либо иных задач играют значительную роль при исследовании методов и решения их.

1.2 Постановка задачи оптимизации

В общем виде математическая запись задачи линейного программирования формулируется следующим образом:

Заданы переменные

Требуется найти такие значения переменных, которые приводят к экстремальному значению целевую функции,

Запишем задачу на нахождения минимума в виде:

(1)

где – целевая функция;

X– допустимое множество;

для любого – разрешенная точка задачи

Точка, представляет собой решение задачи, и способна быть точкой глобального либо локального минимума. Точка именуется:

1) точкой глобального минимума функции на множестве X или глобальным решением задачи , если

(0)

2) точка х* именуется точкой локального минимума, в случае если имеется некоторая окрестность этой точки, в какой угодно точки которой значение функции больше, чем в

x* –f(x)>f(x*) (3).

Несомненно, что глобальное решение является и локальным; обратное ошибочно.Понятия локального и глобального оптимума для функции одной переменной продемонстрируем на рисунке.

Рисунок 1 – Локальный и глобальный оптимум

Решения оптимизационных задач, то есть точки максимума и минимума функции на множестве, именуются также точками экстремума, а сами задачи – экстремальными задачами [7].

2 Задачи линейного программирования (ЗЛП)

2.1 Линейное программирование

Линейное программирование – это течение математического программирования, исследующее способы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной связью между переменными и линейным – аспектом [6].

Способы линейного программирования делятся на универсальные и специализированные. Универсальные методы решают всевозможные проблемы линейного программирования. Специализированные предусматривают характерные черты модели задачи, её целевой функции и концепции ограничений.

Важной характерной чертой задач линейного программирования считается нахождение экстремума целевой функции на границе области допустимых решений.

Рисунок 2 –Минимальное и максимальное значение целевой функции

С целью отображения задачи линейного программирования применяют последующую математическую модель:

max (min) Z=z(X), (1)

X  D.

Область возможных решений показана системой линейных уравнений либо неравенств.

Вектор Х=(х₁, х₂, .... x_п) является вектором управления или управляющим воздействия.

Возможный план Х, при котором критерий оптимальности Z=z(X) доходит экстремального значения, именуется оптимальными классифицируется через X*, экстремальное значение целевой функции – посредством Z*=z(X*).

2.2 Виды задач линейного программирования

Способы линейного программирования приобрели обширное использование в индустриальных предприятиях при оптимизации производственной программы, распределении её согласно цехам и согласно временным промежуткам, при ассортиментной загрузке оборудования, планировании грузопотоков, установлении проекта товарооборота и т. д.

Цель рационального применения ресурсов считается более популярной из всех видов задач. Предположим определенная производственная часть (мастерская, компания, соединение и т.д.), отталкиваясь от конъюнктуры рынка, промышленных способностей и существующих ресурсов, может производить n разных типов продукта, популярных под номерами j.

При выпуске продукта компания урезано имеющихся в наличии ресурсов, число каковых отметим m, а градиент ресурсов. В = (b1, b2, ..., bт). Популярны кроме того технологические коэффициенты a_ij, которые демонстрируют норму расхода i-го ресурса в изготовление считанные единицы j-ой продукции. Продуктивность выпуска единицы j-и продукции характеризуется профитом pj.

Необходимо установить план выпуска продукции Х=(х₁, х₂, ..., x_п), приводящий к максимуму доход предприятия при установленных ресурсах.

Целевая функция предоставляется следующим образом

, (1)

при ограничениях

(2)

Зачастую перечень продукции устанавливается вышестоящей организацией, т. е. его объемы обязаны быть заключены в некоторых приделах D^н_j и D^в_j:тогда задается последующее лимитирование:

(3)

Фундаментом модификаций оптимизации ежегодный производственной программы компании считается форма задачи рационального применения ресурсов В модель введены лимитирования согласно фонду периода работы оборудования [3].

Оставляя прошлые обозначения, запишем посредством α_j и с_j соответственно отпускную стоимость и расходы на единицу j– й продукции. В качестве аспекта оптимальности имеют все шансы быть приняты:

1) максимум прибыли

2) минимум расходов на их изготовление

3) максимум выпуска в стоимостном выражении (выручки от реализации продукции)

2.3 Графический метод решения ЗЛП

Рассмотрим на примере одну из задач линейного программирования с использованием таких программ, как Excel и Mathcad.

Даны следующие условия: Цех может производить стулья и столы. На производство стула идет 5 единиц материала, на производство стола – 20 единиц (футов красного дерева). Стул требует 10 человеко-часов, стол – 15. Имеется 400 единиц материала и 450 человеко-часов. Прибыль при производстве стула - 45 долларов США, при производстве стола – 80 долларов США. Сколько надо сделать стульев и столов, чтобы получить максимальную прибыль?

Нахождение максимального дохода, а также числа производимых стульев и столов продемонстрируем сначала в программе Excel.

Задачу решим аналитическим и графическим способом. Сформулируем математическую модель задачи.

1. Определим переменные и их количество.

Пусть x₁ – количество(штук) стульев,

x₂ – количество(штук) столов.

2. Введем целевую функцию которую необходимо максимизировать

F(x₁,x₂) = 45x₁ + 80x₂.

3. Ограничения:

3.1.Ограничения по материалам

5x₁ + 20x₂ 400.

3.2.Ограничения по человеческим ресурсам

10x₁ + 15x₂ 450.

3.3. Условие целочисленности:

x₁,x₂ – целое.

3.4. Условие неотрицательности:

Рисунок 3 Excel-документ графическое решение ЗЛП

Рисунок 4 Excel-документ аналитическое решение ЗЛП

Перейдем к рассмотрению решения нашей задачи в программе Mathcad.

Рисунок 5 Mathcad-документ аналитическое решение ЗЛП

Рисунок 6 Mathcad-документ графическое решение ЗЛП

Рисунок 7 Mathcad-документ графическое решение ЗЛП

Можно удостовериться в точности наших расчетов, сравнив полученные значения целевой функции и количество столов, стульев в программах Mathcad и Excel. Таким образом, необходимо произвести 24 стульев и 14 столов, для того чтобы получить максимальный доход, который равен 2200.

3. Задача о смесях

К математическим задачам линейного программирования приводят исследования определенных производственно-хозяйственных ситуаций, которые в том либо другом варианте разъясняются равно как проблемы об оптимальном использовании урезанных ресурсов (задача о раскрое, консистенциях, рационе и Т.Д.).

Одной из задач линейного программирования считается задача о смеси бензина с установленными показателями качества. В этой работе рассматривается разрешение задачи об октановом числе топлива, с учетом стандартов, по этой причине проанализируем перечень, качество и состав автомобильных бензинов.

3.1 Ассортимент бензина

Главное изобилие автомобильных бензинов в Российской федерации производят по ГОСТ 2084–77 и ГОСТ Р51105-97 и ТУ 38.001165-97. В зависимости от октанового числа ГОСТ 2084–77 учитывает 5 марок автомобильных бензинов: А-72, А-76, АИ-91, АИ-93 и АИ-95. Для первых двух марок цифры указывают октановые число, характеризуемое согласно моторному способу, для последних – по исследовательскому.

В взаимосвязи с повышением доли легкового автотранспорта в общем объеме автомобильного парка прослеживается ощутимая тенденция снижения необходимости в низкооктановых бензинах и увеличения потребления высокооктановых. Топливо А-72 почти не производится ввиду отсутствия техники, эксплуатируемой на нем.

Максимальная необходимость есть в бензине А-92, который вырабатывается согласно ТУ 38.001165–97, хотя часть бензина А-76 в общем объеме производства остается весьма значительной. Отмеченные ТУ учитывают также марки бензинов А-80 и А-96 с октановыми числами согласно исследовательскому методу соответственно 80 и 96. Данные бензины предназначены в основном для поставки

на вывоз. Топливо АИ-98 с октановым числом 98 по исследовательскому методу изготавливается по ТУ 38.401-58-122–95 и ТУ 38.401-58-127–95. Бензины А-76, А-80, АИ-91, А-92 и А-96 допускается вырабатывать с применением этиловой жидкости. Малоэтилированный бензин АИ-91 с содержанием свинца 0,15 г/дм3 выпускается согласно отдельным техническим условиям (ТУ 38.401-58-86–94). При изготовлении бензинов АИ- 95 и АИ-98 применение алкилсвинцовыхантидетонаторов никак не разрешается.

В зависимости от октанового числа согласно экспериментальному методу установлено четыре марки бензинов: “Нормаль-80”, “Регуляр-91”,“Премиум-95”, “Супер-98”. Топливо “Нормаль-80” рассчитанный для использования в грузовых авто наравне с топливом А-76. Неэтилированный топливо “Регуляр-91” рассчитанный для эксплуатации автомобилей вместо этилированного А-93. Автомобильные бензины “Премиум-95” и “Супер-98” целиком соответствуют европейским условиям, конкурентоспособны в штанговом торге и предусмотрены в главном для зарубежных машин, ввозимых в Российскую федерацию [3].

3.2 Состав и характеристика бензина

Условия ГОСТ 2084–77 к качеству авто бензинов приведены в таблице. Все без исключения бензины, вырабатываемые по ГОСТ 2084–77, в зависимости от характеристик испаряемости разделяют на летние и зимние. Зимние бензины предусмотрены для использования в северных и северо-восточных районах в протяжение всех сезонов и в остальных регионах с 1 октября вплоть до 1 апреля. Летние — с целью использования в абсолютно всех регионах, помимо северных и северо-восточных в промежуток с 1 апреля по 1 октября; в южных регионах допускается применять летний бензин в протяжение всех сезонов.

Характеристики авто-бензинов, вырабатываемых согласно ГОСТ 2084–77, значительно различаются от установленных международных общепризнанных мерок, особенно в части экологических условий. В целях увеличения конкурентоспособности российских бензинов и доведения их качества вплоть до

уровня европейских стандартов разработан ГОСТ Р 51105–97 “Топлива для двигателей внутреннего сгорания. Неэтилированный бензин. Технические условия”, который включится в действие с 01.01.99 г. Данный стандарт никак не замещает ГОСТ 2084–77, которым предусмотрен производство равно как этилированных, так и неэтилированных бензинов. В соответствии с ГОСТ Р 51105–97 будут вырабатываться только лишь неэтилированные бензины (наибольшее содержание свинца никак не наиболее 0,01 г/дм3).

Рисунок 8 Excel-документ таблицы характеристики бензинов (ГОСТ 2084-77)

С целью форсирования перехода на изготовление неэтилированных бензинов вместо этиловой жидкости разрешается применение марганцевого антидетонатора в концентрации никак не более – 5 мг Мn/дм3 для марки “Нормаль- 80” и не более 18 мг Мn/дм3 с целью марки “Регуляр-91”. В соответствии с европейскими условиями по лимитированию нахождения бензола введен показатель “объемная доля бензола” – никак не более 5 %. Определена норма по показателю “плотность

при 15 °С”. Ужесточена норма на массовую часть серы – вплоть до 0,05 %. Для обеспечения стандартной эксплуатации машин и рационального использования бензинов внедрено 5 классов испаряемости для применения в разных погодных регионах по ГОСТ 16350 – 80. Наряду с значением температуры перегонки топлива при установленном объеме предусмотрено определение размера улетучившегося бензина при заданной температуре 70, 100 и 180 °С. Установлен коэффициент “индекс испаряемости”. В ГОСТ Р 51105–97 наравне с отечественными введены международные стандарты на методы тестирований (ISO, EN, ASTM).

Нормы и требования к качеству автомобильных бензинов и характеристики испаряемости по ГОСТ Р 51105–97 приведены в таблице.

Рисунок 9 Excel-документ таблицы нормы и требований к качеству(ГОСТ Р 51105-97)

Согласно составу автомобильные бензины представляют собой смесь компонентов, получаемых в следствие разных технологических процессов: непосредственный перегонки нефти, каталитического риформинга, каталитического крекинга и гидрокрекинга вакуумного газойля, изомеризации прямогонных фракций, алкилирования, ароматизации термического крекинга, висбрекинга, замедленного коксования. Компонентная структура бензина зависит, в основном, от его марки и обусловливается комплектом технологических установок в нефтеперерабатывающем заводе [5].

Базовым компонентом с целью формирования автомобильных бензинов являются как правило бензины каталитического риформинга либо каталитического крекинга. Бензины каталитического риформинга характеризуются низким содержанием серы, в их составе почти отсутствуют олефины, поэтому они высоко стабильны при хранении. Но высокое содержание в них ароматических углеводородов с экологической точки зрения является лимитирующим условием. К их минусам кроме того относится неравномерность распределения детонационной стойкости согласно фракциям. В составе бензинового фонда Российской федерации часть компонента каталитического риформинга превосходит 50 %.

Бензины каталитического крекинга характеризуются невысокой массовой долей серы, октановыми числами согласно исследовательскому способу 90–93 единицы. Содержание в них ароматических углеводородов является 30–40 %, олефиновых – 25–35 %. В их составе почти отсутствуют диеновые углеводороды, по этой причине они имеют сравнительно большой химической стабильностью (индукционный промежуток 800–900 минут.). Согласно сопоставлению с бензинами каталитического риформинга для бензинов каталитического крекинга свойственно наиболее размеренное разделение детонационной стойкости по фракциям. По этой причине в качестве основы для производства автомобильных бензинов рационально применять смесь компонентов каталитического риформинга и каталитического крекинга. Бензины подобных термических процессов, равно как крекинг, отсроченное коксованиеимеют невысокую детонационную стойкость и хим устойчивость, высокое содержание серы и используются только лишь с целью получения низко октановых бензинов в узких количествах.

При изготовлении высокооктановых бензинов используются алкилбензин, растворитель, изопентан и толуол. Бензины АИ-95 и АИ-98 обычно получают с

прибавленьем кислородсодержащих частей: метил-трет- бутилового эфира (МТБЭ) либо его смеси с трет-бутанолом, получившей название фэтерол. Внедрение МТБЭ в топливо дает возможность увеличить полноту его сгорания и равномерность распределения детонационной стойкости по фракциям. Предельно допускаемая концентрация МТБЭ в бензинах составляет 15 % из-за его сравнительно невысокой теплоты сгорания и высокой агрессивности согласно взаимоотношению к резинам.

С целью достижения необходимого уровня детонационных свойств этилированных бензинов к ним прибавляют этиловую жидкость (до 0,15 г свинца/дм3 топлива). К бензинам вторичных процессов, содержащим непредельные углеводороды, для их стабилизации и предоставления требований по индукционному этапу допускается добавлять антиокислители Агидол-1 или Агидол-12. В целях обеспечения защищенности в обращении и маркировки этилированные бензины обязаны быть покрашены. Бензин А-76 окрашивается в желтоватый цвет жирорастворимым желтоватым красителем К, топливо АИ-91 в оранжево-красноватый цвет жирорастворимым темно-красным красителем Ж. Этилированные бензины, назначенные для экспорта, никак не окрашиваются.

Примерные компонентные составы автомобильных бензинов различных марок приведены в таблице.

Таблица – 1 Средние компонентные составы автомобильных бензинов

В последнее время перечень авто бензинов существенно пополнился за счет новых марок, выпускаемых согласно техническим условиям. Это обусловлено внезапным увеличением производства неэтилированного бензина и сокращением изготовления бензина этилированного [1].

При данном тетраэтилсвинец сменяется на разнообразные нетрадиционные присадки и добавки, прежде выпускаемыми химической и микробиологической промышленности в других целях. К подобным веществам принадлежат различные эфиры, спирты, металлоорганические соединения и т.д. Необходимость изготовления таких бензинов по техническим условиям диктуется тем, что все без исключения присадки и добавки могут вводиться в точно определенных концентрациях. Для контроля содержания этих компонентов в технических обстоятельствах предусматриваются специальные показатели и вводятся вспомогательные методы контролирования.

4. Практическая часть

Рассмотрим нахождение оптимальной смеси бензина с заданным показателем качества в среде математического пакета Mathcad (смотри рис. 9) и в среде ЭТ MS Excel рисунок 14.Исходные данные (постановка задачи ) представлены в таблице

Таблица – 2 Исходные данные задачи

Необходимо установить, сколько тонн каждого элемента следует использовать с целью извлечения 1000 т автомобильного бензина А-76, для того чтобы его себестоимость была наименьшей. Для постановления сформулированной проблемы составим её математическую модель.

1. Установим незвестные и их количество.

Введем следующие обозначения: пусть хj − количество в смеси компонента с номером j (j = 1,2,3,4).

1. Запишем целевую функцию.

В роли целевой функции выступает себестоимость полученной смеси, которую необходимо минимизировать:

3) Сформулируем ограничения рассматриваемой задачи.

3.1. По количеству выводимого бензина :

(1)

2.2. По октановому числу

(2)

3.3. По содержанию серы :

(3)

3.4. Рассматриваемые переменные не должны быть отрицательны:

(4)

Таким образом, целевая функция (1) и ограничения (2−5) образуют математическую модель задачи о смеси бензина.

4.1 Решение задачи в среде ЭТ MSExсel

1. Введем исходные данные в таблицу ( Значения из условия).

2. Образуем таблицу переменных.

Рисунок 9 – Excel-документ таблицы исходных данных и таблицы переменных

3. Зададим целевую функцию с помощью формул.

4. Ограничения остатков ресурса и введем таблицу ограничения.

Рисунок 10 – Excel-документ таблицы ограничения

5. С помощью надстройки поиск решения выполним необходимые установки из таблицы ограничений.

Рисунок 11 – Excel-документ надстройки поиска решения

Рисунок 12 – Excel-документ результатов поиска решения

6. Получаем оптимальное решение искомой задачи.

Рисунок 13 – Excel-документ оптимального решения задачи смеси

4.2 Решение задачи с помощью математического пакета MathCad

1. Зададим исходные данные.

2. Присвоим переменным x_j начальные (нулевые) значения.

3. Определим целевую функцию F(x₁,х₂,х₃,х₄).

4. Введем служебную функцию Given и, после него, систему ограничений интересуемой нас задачи.

5. Найдем оптимальное решение с помощью функции Minimize.

Рисунок 14 – Mathcad-документ оптимального решения задачи смеси MathCad.

6. Вычислим значение минимальной себестоимости.

7. Найдем остаток каждого компонента после выполнения заданного плана выпуска бензина

Рисунок 15 – Mathcad-документ оптимального решения задачи смеси

Таким образом для производства 800 тонн бензина с октановым числом 76, содержанием свинца не более 0,0125% и серы – не более 0,06% необходимо 200 тонн 1-го и 2-го компонентов, 400 тонн 3-го компонента. При этом минимальная себестоимость составляет 12 у.е. 2 и 3 компоненты израсходованы полностью, остаток первого компонента – 100 тонн.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящие время благодаря таким программ, как Mathcad и Excel значительно упрощается решение различных прикладных задач, а так же отличаются доступностью и простой в использовании.

Именно поэтому для нахождения смеси бензина с заданным показателем качества мы использовали вышеперечисленные программные средства Рассмотренный вопрос об оптимизационной задачи о смесях базируется на минимизации себестоимости смеси при заданных качествах.

Как видно, результаты таблицы Exel и MathCad схожи, что говорит нам о том , что мы правильно решили поставленную задачу.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Аверьянова С.Ю., Растеряев Н.В. Содержательные задачи линейного программирования и их решение с помощью ЭТ MS EXCEL и пакета MATHCAD: учебное пособие/ Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2014. – 132 с.

2. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1965. – 424 с.

3. Гольштейн Е.Г., Юдин Д.Б. Задачи линейного программирования

транспортного типа. - М.: Наука, 1969. – 382 с.

4. Васильев О.В. Методы оптимизации в задачах и упражнениях. М.:

Физматлит, 1999. 207 с.

5. Карманов В.Г. Математическое программирование: Учеб. Пособие. М.:

Физматлит, 2001. 263 с.

6. Растеряев, Н.В., Герасименко Ю.Я. Решение оптимизационных задач в среде MATHCAD и EXCEL: Учеб. пособие – Новочеркасск: Южно-российский гос. тех. ун-т (НПИ), 2004.- 100 с.

7. Пантелеев, А.В. Методы оптимизации в примерах и задачах: Учеб. пособие/ А.В. Пантелеев, Т.А. Летова. – 2-е изд., исправл. – М.: Высш. шк., 2005. – 544 с.

8. [Электронный ресурс] – Режим доступа: – 2011. – Режим доступа: http://www.optimiz.ru/catalog/poisk, свободный.

9. Шадрина, Н.И. Решение задач оптимизации в Microsoft Excel 2010 : учеб. пособие / Н.И. Шадрина, Н.Д. Берман. – Хабаровск : Издательство Тихоокеан. гос. университета, 2016. – 101 с.

10. Габасов Р., Кириллова Ф. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971. - 508 с.

Код для цитирования: Скопировать