IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Одной из главных задач экономического анализа является изучение величин, которые записываются в виде функций. Например, увеличение или уменьшение прибыли предприятий при повышении цен на производимую продукцию. Для того чтобы решить подобную задачу составляются функции связи входящих в нее переменных.

В экономической теории достаточно часто требуется найти наибольшее или наименьшее значение какого-либо показателя: максимальную прибыль, минимальные издержки и т.д. Каждый из таких показателей представляет собой функцию нескольких переменных.

В качестве примера рассмотрим применение функции нескольких аргументов на примере чистой прибыли торговой фирмы. Допустим, торговая фирма закупает продукцию двух видов в количестве (x;у)

Нужно найти величину (x,y), при которых фирма сможет получить наибольшую прибыль, если известна величина дохода от реализации и затраты на приобретение. Доход фирмы в зависимости от x и y выражается функцией:

Пусть – вектор цен на единицу продукции, где

– затраты на приобретение продукции, тогда функция чистой прибыли равна

Для нахождения наибольшей прибыли исследуем функцию Z(x,y) на экстремум. Определим стационарные точки функции из системы уравнений:

Решением системы уравнений являются числа x=3,5, y=37,5.

Критическая точка имеет координаты M(3,5;37,5).

Применим достаточное условие существования экстремума для функции двух переменных.

Вычислим:.

Следовательно, точка M(3,5; 37,5) – точка экстремума и точка максимума.

Значит, с увеличением товара x его предельная полезность уменьшается. Графиком функции Z является некоторая поверхность пространства, каждой точке которого соответствует определенное значение дохода, полученное при данном сочетании набора товаров. Получаем кривые плоскости, которые называются изоквантами.

По изоквантам определяем, как один товар заменяется вторым. Рассмотрим замену одного товара другим аналитическим способом: Z(x,y) =

Поделив Z^’_x на Z^’_y получим:.

Подводя итоги, можно сказать, что, повышая первый товар на 1%, второй уменьшается на 3%.

Прибыль фирмы будет выражена через функцию:

Торговая фирма обладает бюджетом J, тогда переменные x и y должны удовлетворять условию:

Используя необходимое условие существования экстремума для функции двух переменных и дополнительное ограничение, получим систему уравнений:

Разделим первое уравнение системы на второе и получим, что:

Из этого следует, что , тогда

При J = 100 000, p₁ = 400, p₂ = 200, найдем числовые значения x и y;

x= 31,25 , y = 437,5

Вычислим, какую часть всего бюджета составляют товары x и y

При заданных ценах на единицу товара и бюджете, расходы на первый товар составляют ; а на второй товар всего бюджета.

Список литературы:

1) Экономико-математические методы и модели: учебное пособие// под редакцией С.И.Макарова-2-е изд, перераб и доп//-М:Кнорус, 2007-240с

2) Математика для экономистов: Задачник учебно-практическое пособие/ под редакцией С.И.Макарова и М.В.Мищенко/ М:-Кнорус-2008-360с

3) Уфимцева Л.И., Севастьянова С.А., Курганова М.В. Оптимизация выпуска продукции предприятиями в условиях неопределенности: Межвузовский сборник научных трудов – Самара: изд-во СГЭУ, 2013-Вып.-1 – 166-171с

Код для цитирования: Скопировать