ОПТИМИЗАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ФОРМИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ ИНВЕСТИЦИОННОЙ ФИРМЫ И ЕЕ РЕШЕНИЕ В СРЕДЕ ЭТ MS EXCEL И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MATHCAD.

Фатеев И.С. 1

1Донской Государственный Технический Университет

Работа в формате PDF

3.6 MB

Сертификат участника

Комментарии

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

ВВЕДЕНИЕ

Проблема риска и прибыли – одна из ключевых в экономической деятельности. При формировании инвестиционных портфелей, предприятие или банк может столкнуться с различными видами рисков, которые могут снизить прибыль, и они естественно стремятся их минимизировать. Риск – сочетание вероятности и последствий наступления неблагоприятных событий. Банк (или предприятие, фирма) в своей деятельности могут подвернуться различным видам риска – кредитному (невыполнение обязательств перед инвестором), процентному (возникающему непредвиденного изменения процентных ставок), риску ликвидности (изменение кредитных и депозитных потоков).

Поставленная задача является актуальной и не лишена смысла, так как на рынке денежных ценных бумаг в качестве инвесторов преобладают банки, которые, в то же время как посредники частично размещают краткосрочные бумаги у своих клиентов.

Формирование инвестиционного портфеля – это один из методов управления финансовыми активами.

Поскольку рынок подвергает сомнению буквально каждую часть портфеля акций, даже самый независимо мыслящий инвестор может начать сомневаться в правильности вложений.

Два фактора обычно связано с процессом инвестирования – время и риск. Для обыкновенных акций существенными являются оба фактора.

Инвестиционный процесс представляет собой принятие инвестором решения относительно ценных бумаг, в которые осуществляются инвестиции, объемов и сроков инвестирования.

Когда инвестор выбирает, куда вложить деньги с максимально возможным доходом и минимальным риском, он обращается к финансовому посреднику. Финансовыми посредниками являются специализированные институты, оказывающие инвесторам услуги на финансовых рынках. Кредитные организации (коммерческие банки) в их числе.

В развитых странах банки и небанковские финансовые институты весьма активно инвестируют в ценные бумаги.

Основная деятельность коммерческого банка как финансового посредника – привлечение депозитов и предоставление кредитов. Цели инвестиций в ценные бумаги – получение более высоких дивидендов, чем доходность по кредитным операциям. Инвестиционные предпочтения – краткосрочные бумаги, инструменты денежного рынка. Для прироста капитала инвестору наиболее подходят акции, из инвестиционных фондов, инструменты денежного рынка.

Какие инвестиции лучше, по каким схемам можно получить максимальный доход, как лучше всего использовать денежные средства для увеличения их оборота и тому подобное? На все эти вопросы позволяет получить ответ математическое программирование, являющееся действенным инструментом принятия оптимальных решений поставленной задачи решений.

Математическое программирование представляет собой математическую дисциплину, которая занимается изучением экстремальных задач и разработкой методов их решения.

В общем виде математическая постановка экстремальной задачи состоит в определении наибольшего или наименьшего значения целевой функции f(x1, х2, .........., xn) при условиях g_i (x1, х2,.........., xn) ≤ b_i, где f и g_i– заданные функции, a b_i — некоторые действительные числа.

В зависимости от свойств функций f и g_i математическое программирование можно рассматривать как ряд самостоятельных дисциплин, занимающихся изучением и разработкой методов решения определенных классов задач.

Прежде всего задачи математического программирования делятся на задачи линейного и нелинейного программирования. При этом если все функции f и g_i линейные, то соответствующая задача является задачей линейного программирования. Если же хотя бы одна из указанных функций

нелинейная, то соответствующая задача является задачей нелинейного программирования. Наиболее изученным разделом математического программирования является линейное программирование. Для решения задач линейного программирования разработан целый ряд эффективных методов, алгоритмов и программ.

В данной работе мы ознакомимся с поиском оптимального решения задач связанным с инвестиционными бумагами и на примере рассмотрим как знание прикладных программ, таких как ЭТ MS Excel и MathCad, помогает нам минимизировать риск и получить прогноз, который принесет максимальную прибыль при вложении инвестиций в те или иные ценные бумаги.

1.Общая задача оптимизации

Оптимизация – целенаправленная деятельность, заключающаяся в получении наилучших результатов при соответствующих ограничениях.

Поиски оптимальных решений привели к созданию специальных математических методов и уже в ΧVIII веке были заложены математические основы оптимизации (вариационное исчисление, численные методы и другое). Однако до второй половины XX века методы оптимизации во многих областях науки и техники применялись очень редко, потому что практическое использование математических методов оптимизации требовало огромной вычислительной работы, которую без электронно-вычислительных машин реализовать было крайне трудно, а в ряде случаев – невозможно. Особенно большие трудности возникали при решении задач оптимизации процессов в химической технологии из-за большого числа параметров и их сложной взаимосвязи между собой. При наличии электронно-вычислительных машин задача заметно упрощается.

Постановка задачи оптимизации предполагает существование конкурирующих свойств процесса, например:

- количество продукции - расход сырья"

- количество продукции - качество продукции"

Выбор компромиссного варианта для указанных свойств и представляет собой процедуру решения оптимизационной задачи.

1.1.Классификация методов оптимизации

Для решения задач оптимизации существует огромное количество различных математических методов. Выбор наилучшего среди них является чрезвычайно трудной задачей при минимизации широкого класса функций.

Эффективность того или иного метода определяется постановкой задачи, сложностью вычисления функции и ее производных, поведением функции и так далее. В качестве критерия сравнения методов в рассматриваемом случае целесообразно использовать объем вычислений значений функции качества в процессе решения задачи. Это объясняется тем, что вычисление целевой функции (функции качества) связано с обращением к численной модели и занимает основное время при решении задачи.

Один из способов классификации методов оптимизации состоит в отнесении их оптимизационным задачам, для решения которых они предназначены.

Методы однокритериальной оптимизации направлены на поиск оптимума единственной целевой функции. Методы многокритериальной оптимизации обеспечивают процедуры принятия решения при многих критериях, в частности сводят векторную задачу к последовательности скалярных задач.

Методы локальной оптимизации обеспечивают отыскание одного локального минимума, а методы глобальной оптимизации направлены на установление всех локальных минимумов или наилучшего из них.

Различают также методы непрерывной и дискретной (в том числе комбинаторной) оптимизации, методы линейного и нелинейного программирования, методы условной и безусловной оптимизации, методы одномерной оптимизации и методы оптимизации функций многих переменных, и так далее.

По типу информации о производных, требуемой для организации процесса оптимизации, методы подразделяются на методы:

- нулевого порядка (прямые), требующие только вычислении значений функции в точках пространства оптимизации и не требующие аналитического вида производных,

- первого порядка (градиентные), требующие кроме значений функции в точке еще и аналитического вида производных первого порядка для вычисления градиента,

- второго порядка (Ньютоновские), для работы которых требуются еще и производные второго порядка.

Известны также несколько алгоритмов третьего порядка, но они не применяются при практической оптимизации.

Различают также методы прямого поиска, методы линейной и квадратичной аппроксимации целевой функции (называемые также методами спуска). Принято считать эту классификацию эквивалентной предыдущей, но имеются и отличия.

По степени математической обоснованности методы делят на эвристические и рациональные. Последние ориентированы на некоторую математическую модель оптимизируемой функции (например, предполагают ее непрерывно дифференцируемой) и обычно обладают строгими доказательствами сходимости к стационарной точке (критериями останова таких методов обычно является выполнение необходимых условий существования экстремума в данной точке) и оценками скорости сходимости. Вопрос о том, насколько реальная задача соответствует используемой алгоритмом модели, остается на совести человека, использующего данный метод. Эвристические алгоритмы обычно не используют никакой модели целевой функции, а основывают процесс оптимизации на формализованной человеческой интуиции и других нестрогих, но разумных предположениях. Строгие доказательства сходимости и теоретические оценки скорости сходимости обычно отсутствуют. Критериями останова являются обычно такие условия как малое приращение аргумента или значения функции на нескольких последовательных шагах, что характерно для точки минимума, но не только для нее. Применение этих методов обосновывается только тем, что их многократное использование в прошлом обычно приводило к успеху. Зато такие алгоритмы можно применять к любой функция (хотя и с разной степенью успеха), не заботясь о доказательстве соответствия этой функции

некоторой теоретической модели.

Методы оптимизации подразделяют также на детерминированные и стохастические. Стохастические алгоритмы используют элемент случайности при выборе направления или длины шага в процессе оптимизации. Отметим, что стохастические методы оптимизации применяются к детерминированным задачам, то есть случайность намеренно вводится в алгоритм для того, чтобы обеспечить достижение цели.

1.2.Постановка задач оптимизации

При постановке задачи оптимизации необходимо:

1. Наличие объекта оптимизации и цели оптимизации. При этом формулировка каждой задачи оптимизации должна требовать экстремального значения лишь одной величины, то есть одновременно системе не должно приписываться два и более критериев оптимизации, так как практически всегда экстремум одного критерия не соответствует экстремуму другого.

Типичный пример неправильной постановки задачи оптимизации:

"Получить максимальную производительность при минимальной себестоимости".

Ошибка заключается в том, что ставится задача поиска оптимума 2-х величин, противоречащих друг другу по своей сути.

Правильная постановка задачи могла быть следующая:

а) получить максимальную производительность при заданной себестоимости;

б) получить минимальную себестоимость при заданной производительности;

В первом случае критерий оптимизации - производительность а во втором - себестоимость.

2. Наличие ресурсов оптимизации, под которыми понимают возможность выбора значений некоторых параметров оптимизируемого объекта. Объект должен обладать определенными степенями свободы - управляющими воздействиями.

3. Возможность количественной оценки оптимизируемой величины, поскольку только в этом случае можно сравнивать эффекты от выбора тех или иных управляющих воздействий.

4. Учет ограничений.

1.3.Возможности ЭТ MS Excel и математического пакета Mathcad по решению оптимизационных задач

MathСad содержит сотни операторов и встроенных функций для решения различных технических задач. Программа позволяет выполнять численные и символьные вычисления, производить операции с скалярными величинами, векторами и матрицами, автоматически переводить одни единицы измерения в другие.

В соответствии с проблемами реальной жизни, математикам приходится решать одну или несколько из следующих задач:

ввод на компьютере разнообразных математических выражений (для дальнейших расчетов или создания документов, презентаций, Web-страниц или электронных книг);
проведение математических расчетов (как аналитических, так и при помощи численных методов);
подготовка графиков с результатами расчетов;
ввод исходных данных и вывод результатов в текстовые файлы или файлы с базами данных в других форматах;

подготовка отчетов работы в виде печатных документов;
подготовка Web -страниц и публикация результатов в Интернете;
получение различной справочной информации из области математики.

Среди возможностей MathСad можно выделить:

построение двумерных и трёхмерных графиков функций (в разных системах координат, контурные, векторные и т. д.),
использование греческого алфавита как в уравнениях, так и в тексте
выполнение вычислений в символьном режиме,
выполнение операций с векторами и матрицами,
символьное решение систем уравнений,
аппроксимация кривых,
выполнение подпрограмм,
поиск корней многочленов и функций,
проведение статистических расчётов и работа с распределением вероятностей,
поиск собственных чисел и векторов,
вычисления с единицами измерения,
интеграция с САПР системами, использование результатов вычислений в качестве управляющих параметров.

С помощью MathСad инженеры могут документировать все вычисления в процессе их проведения. Сегодня невозможно представить жизнь без компьютерных технологий. Они нашли себе место во всех сферах человеческой деятельности. Компьютеры намного облегчили труд человека и сделали возможным то, о чем всего несколько десятилетий назад приходилось только мечтать.

В данной курсовой работе основное внимание будет уделено использованию электронных таблиц Excel и математической программы

MathСad при решении инженерных задач. Выбор этих пакетов программ не

случаен, так как они не требуют от пользователя особых знаний языка

программирования, как BASIC так и Pascal, и позволяют пользователю решать финансовые, научно-технические и прикладные задачи при минимальных знаниях.

Так как MathСad и Excel предназначены для решения схожих задач, то рационально будет провести сравнение принципов работы этих пакетов программ при решении одних и тех же задач. Это позволит сделать выводы об использовании MathСad и Excel, основанные на практических знаниях, и выяснить какая из них на сегодня является предпочтительней.

2.Понятие линейного программирования

Линейное программирование (ЛП) – один из первых и наиболее подробно изученных разделов математического программирования. Именно линейное программирование явилось тем разделом, с которого и начала развиваться сама дисциплина "математическое программирование". Термин "программирование" в названии дисциплины ничего общего с термином "программирование (т.е. составление программы) для электронно-вычислительных машин" не имеет, так как дисциплина "линейное программирование" возникла еще до того времени, когда электронно-вычислительные машины стали широко применяться для решения математических, инженерных, экономических и других задач.

Термин " линейное программирование" возник в результате неточного перевода английского "linear programming". Одно из значений слова "programming" – составление планов, планирование. Следовательно, правильным переводом английского "linear programming" было бы не "линейное программирование", а "линейное планирование", что более точно отражает содержание дисциплины. Однако, термины линейное программирование, нелинейное программирование, математическое программирование и так далее, в нашей литературе стали общепринятыми и поэтому будут сохранены.

Итак, линейное программирование возникло после Второй мировой войны и стало быстро развиваться, привлекая внимание математиков, экономистов и инженеров благодаря возможности широкого практического применения, а также математической стройности.

Можно сказать, что линейное программирование применимо для решения математических моделей тех процессов и систем, в основу которых

может быть положена гипотеза линейного представления реального мира.

Линейное программирование применяется при решении экономических задач, в таких задачах как управление и планирование производства; в задачах определения оптимального размещения оборудования на морских судах, в цехах; в задачах определения оптимального плана перевозок груза (транспортная задача); в задачах оптимального распределения кадров и так далее.

Задача линейного программирования (ЗЛП), как уже ясно из сказанного выше, состоит в нахождении минимума (или максимума) линейной функции при линейных ограничениях.

Существует несколько методов решения задач ЛП. В данной работе будут рассмотрены некоторые из них, в частности:

Графический метод решения задачи ЛП;
Симплексный метод;
Решение задачи ЛП средствами табличного процессора Excel;

Линейное программирование представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации. К числу задач линейного программирования можно отнести задачи:

рационального использования сырья и материалов;
задачи оптимального раскроя;
оптимизации производственной программы предприятий;
оптимального размещения и концентрации производства;
составления оптимального плана перевозок, работы транспорта (транспортные задачи);
управления производственными запасами;
и многие другие, принадлежащие сфере оптимального планирования.

Линейное программирование является одной из основных частей того

раздела современной математики, который получил название математического программирования. Совокупность соотношений, содержащих целевую функцию и ограничения на ее аргументы, называется математической моделью задачи оптимизации. Корректное составление математической модели задачи является залогом правильного нахождения решения.

ЗЛП записывается в общем виде так (1):

(1)

При ограничениях (2):

(2)

Здесь x_j – неизвестные, a_ij– заданные постоянные величины. Ограничения могут быть заданы уравнениями.

Наиболее часто встречаются задачи в виде: имеется n ресурсов при m ограничениях. Нужно определить объемы этих ресурсов, при которых целевая функция будет достигать максимума (минимума), то есть найти оптимальное распределение ограниченных ресурсов.

При этом имеются естественные ограничения x_j > 0.

При этом экстремум целевой функции ищется на допустимом множестве решений, определяемом системой ограничений, причем все или некоторые неравенства в системе ограничений могут быть записаны в виде уравнений. В краткой записи ЗЛП имеет вид (3):

(3)

При ограничениях (4):

(4)

Для составления математической модели ЗЛП необходимо:

обозначить переменные;
составить целевую функцию;
записать систему ограничений в соответствии с целью задачи;
записать систему ограничений с учетом имеющихся в условии задачи показателей.

Если все ограничения задачи заданы уравнениями, то модель такого вида называется канонической. Если хоть одно из ограничений дано неравенством, то модель неканоническая.

2.1.Графический метод решения задач линейного программирования

Графический метод решения ЗЛП состоит из следующих этапов.

1. Строится многоугольная область допустимых решений ЗЛП – ОДР,

2. Строится вектор-градиент ЦФ в какой-нибудь точке Х0 принадлежащей ОДР .

3. Линия уровня C1x1+C2x2 = а (а–постоянная величина) - прямая, перпендикулярная вектору – градиенту – передвигается в направлении этого вектора в случае максимизации F(x1,x2) до тех пор, пока не покинет пределов ОДР. Предельная точка (или точки) области при этом движении и является точкой максимума F(x1,x2).

4. Для нахождения ее координат достаточно решить два уравнения прямых, получаемых из соответствующих ограничений и дающих в пересечении точку максимума. Значение F(x1,x2), найденное в получаемой точке, является максимальным.

При минимизации F(x1,x2) линия уровня перемещается в направлении, противоположном вектору-градиенту. Если прямая при своем движении не покидает ОДР, то соответствующий максимум или минимум F(x1,x2) не существует.

Если линия уровня параллельна какому-либо функциональному ограничению задачи, то оптимальное значение ЦФ будет достигаться в любой точке этого ограничения, лежащей между двумя оптимальными угловыми точками, и, соответственно, любая из этих точек является оптимальным решением ЗЛП.

Рассмотрим графическое решение задач линейного программирования на следующем примере.

Пример выполнения

Колхоз имеет возможность приобрести не более 19 трехтонных автомашин и не более 17 пятитонных. Отпускная цена трехтонного грузовика – 4000 руб., пятитонного – 5000 руб. Колхоз может выделить для приобретения автомашин 141 тысяч рублей. Сколько нужно приобрести автомашин, чтобы их суммарная грузоподъемность была максимальной?

Задачу решить графическими и аналитическими методами.

Составим математическую модель задачи.

1. Пусть x₁ – количество трехтонных автомашин,

x₂ – количество пятитонных автомашин.

2. Введем целевую функцию – грузоподъемность автомашин, которая составляет F(x₁,x₂) = 3x₁+ 5 x₂, и которую необходимо максимизировать.

3. Ограничения.

3.1. Ограничения по финансам. На приобретение грузовиков необходима сумма 4000x₁+ 5000 x₂, при этом по условию она не должна превосходить 141 000 руб., т.е.

4000x₁+ 5000 x₂ ≤ 141000.

3.2. Ограничение на количество грузовиков:

x₁≤ 19, x₂ ≤ 17.

3.3. Условие неотрицательности:

x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0.

3.4. Условие целочисленности:

х₁, х₂ – целое.

Таким образом, задача заключается в следующем: максимизировать целевую функцию:

F(x₁,x₂) = 3x₁+ 5 x₂ → max,

при ограничениях

4000x₁+ 5000 x₂ ≤ 141000,

0 ≤ x₁ ≤ 19, 0 ≤ x₂ ≤ 17,

х₁, х₂ – целое.

Будем передвигать линию уровня, пока не выйдем из многоугольника, что произойдет в точке В с координатами (14, 17). В этой точке функция принимает максимальное значение 127. Чтобы достичь этого значения грузоподъемности, нужно приобрести 14 трехтонных грузовиков и 17 пятитонных.

3.Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг инвестиционной фирмы

Под инвестиционным портфелем понимается совокупность ценных бумаг, принадлежащих физическому или юридическому лицу и выступающий как целостный объект управления. Это означает, что при формировании портфеля и в дальнейшем, изменяя его состав и структуру, менеджер формирует новое инвестиционное качество. Основная проблема при формировании портфеля заключается в распределении инвестором, имеющейся суммы денег по различным альтернативным вложениям (например, акциям, облигациям, наличным деньгам и др.) так, чтобы наилучшим образом достичь поставленной цели.

Предположим, что инвестиционная фирма может вложить наличный капитал Kв следующем инвестиционном периоде в ценные бумаги Nвидов, требуется определить соответствующие доли вложений. Пусть фирма имеет статистические данные о доходности от вложений r_j(t), j=1,2,…,N, t=1,2,…,T для каждого вида ценных бумаг за T периодов, начиная с периода t₀. Доходность r_j(t) определяется как доход за период tна одну денежную единицу вложений в ценные бумаги вида j. Величину r_j(t) можно определить из соотношения

где c_j(t) − цена бумаг j-го типа на начало периода t;

d_j(t) − суммарные дивиденты, полученные за период t.

Значения r_j(t) непостоянны и могут сильно колебаться от периода к периоду. Эти значения могут иметь любой знак или быть нулевыми. Для оценки целесообразности вложений в ценные бумаги j-го вида следует вычислить среднююили ожидаемую доходностьµ_j от ценных бумаг вида j

Среднийили ожидаемый доходE(x) всего портфеля ценных бумаг определяется следующим образом:

Требуется определить соответствующие доли вложений при различной политике формирования инвестиционного портфеля, при которых достигается максимальный средний доход.

Для решения поставленной задачи сформулируем её математическую модель, первоначально сведя исходные данные в следующую таблицу:

Таблица 1

Периоды времени	Капитал К (тыс.ед.)	Вложения в каждую группу ценных бумаг, %
1,2,3, …., Т	K	b₁	b₂	b₃

Таблица 2

Периоды времени t	Доходность ценных бумаг
	1-я группа			2-я группа		3-я группа
	r₁(t)	r₂(t)	r₃(t)		r₄(t)		r₅(t)	r₆(t)
1	r₁(1)	r₂(1)	r₃(1)		r₄(1)		r₅(1)	r₆(1)
2	r₁(2)	r₂(2)	r₃(2)		r₄(2)		r₅(2)	r₆(2)
3	r₁(3)	r₂(3)	r₃(3)		r₄(3)		r₅(3)	r₆(3)
…	…	…	…		…		…	…
Т	r₁(Т)	r₂(Т)	r₃(Т)		r₄(Т)		r₅(Т)	r₆(Т)

Для решения сформулированной задачи составим ее математическую модель.

Математическая модель задачи формирования оптимального пакета ценных бумаг инвестиционной фирмы. Для построения математической модели задачи:

1. Определим неизвестные и их количество.

Обозначим x_j − величина капитала, вкладываемая в ценные бумаги j-го вида, где j = 1,2,…,N.

2. Запишем целевую функцию – средний или ожидаемый доход E(х) портфеля ценных бумаг.

3. Сформулируем ограничения рассматриваемой задачи.

3.1. Сумма всех инвестиций равна К:

3.2. Неотрицательность переменных:

Таким образом, целевая функция (1) и ограничения (2− 3) образуют математическую модель формирования оптимального пакета ценных бумаг.

Существуют различные модели решения задачи:

Модель 1. Максимизация ожидаемого дохода при ограничении на общий объем инвестиций. Математическая модель имеет вид:

Модель 2. Максимизация ожидаемого дохода при ограничениях, определяемых политикой фирмы.

Различные виды ценных бумаг можно отнести к различным группам инвестиционного риска. Например: 1-я группа − низкий риск; 2-я группа − средний риск; 3-я группа − высокий риск.

К группе 1 могут быть отнесены обычные облигации, текущие банковские счета, банковские депозитные сертификаты и др. Такие «безопасные» с точки зрения риска инвестиции дают, однако, небольшой доход. К группе 2 могут быть отнесены обычные акции. Доход от таких ценных бумаг выше, но он подвержен значительным колебаниям, что увеличивает риск. К группе 3 могут быть отнесены различные «спекулятивные акции». Курс таких ценных бумаг имеет тенденцию к сильным колебаниям, что увеличивает риск, но ожидаемый доход от них может быть достаточно высок.

Политика фирмы состоит в том, что фирма выделяет из общей суммы наличного капитала определенные доли средств на вложения в бумаги различных групп.

Так, правления многих инвестиционных фирм считают необходимым вкладывать определенную часть капитала в бумаги с низким риском. С другой стороны, большинство инвестиционных фирм ограничивают размеры

вложений в обычные и тем более «спекулятивные» акции, так как доход от них подвержен значительным колебаниям. Такие ограничения записываются следующим образом:

где J₁, J₂, J₃− соответственно множества индексов бумаг 1-й, 2-й и 3-й групп;

b₁, b₂, b₃− соответственно максимальные доли вложений в бумаги 1-й, 2-й и 3-й групп.

Целевая функция, как и в модели 2, имеет вид

Данные модели являются моделями линейного программирования. Оптимальное решение x^опт= {x^опт_j }, j =1,2,…,N и E_мах= E(x^опт) может быть найдено с помощью ЭТ Excel и пакета MathCad.

Исходные данные для составления моделей и расчетов помещены в табл. 1 и 2. Всего рассматривается 6 видов ценных бумаг, т.е. N=6. Предполагается, что к 1-й группе инвестиционного риска относятся бумаги 1-го и 2-го видов, т.е. J₁={1,2}, ко 2-й группе − бумаги 3-го и 4-го видов, т.е. J₂={3,4}, к 3-й группе − бумаги 5-го и 6-го видов, т.е. J₃={5,6}.

Следует иметь в виду, что данные о доходности ценных бумаг, приведенные в табл. 2, − гипотетические, т.е. не соответствуют реальным ценным бумагам, хотя и отражают характер «поведения бумаг» соответствующего типа. Величины b_i, i=1,2,3 указаны в процентах от наличного капитала K.

Пример выполнения

Постановка задачи. Предположим, что инвестиционная фирма может вложить наличный капитал 330 в следующем инвестиционном периоде ценные бумаги 6 видов.

Таблица 1

Периоды времени	Капитал К (тыс.ден.ед.)	b₁	b₂	b₃
1,2,3,4,5,6	330	70%	18%	12%
		18%	70%	12%
		12%	18%	70%

Таблица 2

Периоды времени t	Доходность
	1-я группа		2-я группа		3-я группа
	r₁(t)	r₂(t)	r₃(t)	r₄(t)	r₅(t)	r₆(t)
1	0,06	0,14	0,20	0,57	1,17	0,65
2	0,07	0,10	-0,32	0,90	-2,20	2,60
3	0,08	0,16	0,15	-0,27	0,16	-1,85
4	0,15	0,12	0,10	0,40	4,00	1,30
5	0,11	0,11	0,42	0,15	-2,00	3,55
6	0,18	0,19	0,13	-0,42	0,18	-1,88

Требуется определить соответствующие доли вложений приразличной политике формирования инвестиционного портфеля.

Для решения сформулированной задачи составим ее математическую модель.

1. Определим неизвестные и их количество.

Обозначим x_j − величина капитала (тыс. ден.ед.), вкладываемая в ценные бумаги j-го вида, где j = 1,2,…,6.

2. Запишем целевую функцию – средний или ожидаемый доход E(х) портфеля ценных бумаг.

(1´)

3. Сформулируем ограничения рассматриваемой задачи.

3.1. Сумма всех инвестиций равна К.

Модель 1.

Модель 2.

3.2. Неотрицательность переменных:

Таким образом, целевая функция (1´) и ограничения (2´− 4´) образуют математическую модель формирования оптимального пакета ценных бумаг.

Решение задачи в среде ЭТ MS Excel. Для решения задачи с помощью надстройки Поиск решения в среде ЭТ MS Excel необходимо:

1. На листе, с именем «Модель 1», создаем таблицу для ввода условий задачи и введем исходные данные. Найдем средние доходности μ_j, используя встроенную функцию MS Excel СРЗНАЧ().

2. Создаем вторую таблицу, указав в ней переменные математической модели. В ячейках B16:G16 поместите нулевые (начальные) значения искомых переменных х₁,х₂,…, х₆.

3. В ячейку D18 введите формулу целевой функции. Завершив ввод нажатием клавиши Enter, получим в ячейке F18 нулевое значение, т.к. пока равны нулю переменные х₁,х₂,…, х₆.

4. Наберем команду Данные → Поиск решения. В появившемся диалоговом окне Поиск решения необходимо выполнить необходимые установки.

5. Щелкним по кнопке Выполнить. Если решение найдено, то появится диалоговое окно:

Щелчок по кнопке ОК позволяет сохранить найденное решение, имеющее следующий вид:

6. Проанализировав полученное решение. Сделаем выводы.

Вывод: Анализ полученного решения показывает, что весь капитал вкладываем в высокорисковые ценные бумаги 6-го вида, имеющие максимальную среднюю доходность 0,728. Доход при этом составил 240,35 тыс. ден.ед.

8. На следующем листе, с именем «Модель 2. Осторожная» решим задачу формирования оптимального пакета ценных бумаг инвестиционной фирмы «Модель 2. Осторожная. Максимизация ожидаемого дохода при ограничениях, определяемых политикой фирмы». При осторожной стратегии 70% имеющегося капитала вкладывается в ценные бумаги 1-ой группы, имеющие низкий риск. Оставшийся капитал распределяется между бумагами 2-ой и 3-ей группы – 18% и 12% соответственно.

Диалоговое окно надстройки «Поиск решения» при этом имеет вид:

Найденное оптимальное решение представлено ниже:

10. Проанализировав полученное решение. Сделаем вывод.

Выводы. Анализ решения показывает, что 231 тыс. ден.ед. вкладываем в бумаги 2-го вида, 20 и 12 тыс. ден.ед. вкладываем в бумаги 4-го и 6-го вида соответственно. Доход при этом составил 27,97 тыс. ден.ед.

11. На следующем листе, с именем «Модель 2. Консервативная» решите задачу формирования оптимального пакета ценных бумаг инвестиционной фирмы «Модель 2. Консервативная. Максимизация ожидаемого дохода при ограничениях, определяемых политикой фирмы».

12. Проанализируйте полученное решение. Сделайте выводы.

13. На следующем листе, с именем «Модель 2. Спекулятивная» решите задачу формирования оптимального пакета ценных бумаг инвестиционной фирмы «Модель 3. Спекулятивная. Максимизация ожидаемого дохода при ограничениях, определяемых политикой фирмы».

14. Проанализируйте полученное решение. Сделайте выводы.

15. Сохраните результаты вычислений в Своей папке.

Решение задачи с помощью пакета MathCad осуществляется аналогично. Для решения задачи в среде пакета MathCad:

1. Идентифицируйте лабораторную работу, набрав ее номер, название, цель выполнения работы, кто выполнил и проверил.

2. Задайте исходные данные.

3. Присвойте переменным начальные нулевые значения.

4. Определите целевую функцию.

5. Введите служебное слово Given и, после него, систему ограничений.

6. Найдите оптимальное решение с помощью функции Maximize.

7. Вычислите значение ожидаемого дохода.

8. Сделайте выводы по выполненной работе.

9. Сохраните результаты вычислений в Своей папке.

MathCad-документ решения задачи формирования оптимального пакета ценных бумаг инвестиционной фирмы «Модель 2. Консервативная. Максимизация ожидаемого дохода при ограничениях, определяемых политикой фирмы» представлен ниже.

MathCad-документ решения задачи формирования оптимального пакета ценных бумаг инвестиционной фирмы «Модель 3. Спекулятивная. Максимизация ожидаемого дохода при ограничениях, определяемых политикой фирмы» представлен ниже.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная работа показывает широкие возможности работы с пакетами ЭТ MS Excel и MathCad. Результатом данного исследования является разработка оптимального портфеля ценных бумаг инвестиционной фирмы. Глядя на результаты двух таблиц Excel, можно увидеть, что итоговые стоимость и калорийность будут различны. Такое же исследование проведено и в пакете MathCad. Как видно, результаты таблицы Excel и программы MathCad совпадаю, что говорит о правильном решении поставленной задачи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Акулич И.Л. Математические методы и компьютерные технологии решения оптимизационных задач / И.Л. Акулич, В.Ф. Стрельчонок.- Рига: МИСис, 2000.- 100с.
Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом. спец. Вузов / И.Л. Акулич. – М.: Высшая школа, 1986. –С.150
Ашманов С.А. Линейное программирование / С.А. Ашманов. – М.: Наука, 1981. – 356с.
Барсов А.С. Что такое линейное программирование / А.С. Барсов. – М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. – 105с.
Боборыкин В.А. Математические методы решения транспортных задач / В.А. Бобрыкин.- Л.: СЗПИ, 1986.-С.146
Бородакий Ю.В. Линейное программирование в современных задачах оптимизации / Ю.В. Бородакий. – М.: МИФИ, 2008. – 564с.
Данциг Д. Линейное программирование, его обобщение и применение / Д. Данциг. – М.: Прогресс, 1966. – 450с.
Аверьянова С.Ю., Растеряев Н.В.Содержательные задачи линейного программирования и их решение с помощью ЭТ MS EXCEL и пакета MATHCAD.

Просмотров работы: 1558

Код для цитирования:

IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

ОПТИМИЗАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ФОРМИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ ИНВЕСТИЦИОННОЙ ФИРМЫ И ЕЕ РЕШЕНИЕ В СРЕДЕ ЭТ MS EXCEL И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MATHCAD.

Студенческий научный форум - 2017
IX Международная студенческая научная конференция