Схема изменённой фермы:
Решение:
sinα=0,16 sinβ=0,45 sinγ=0,64
cosα=0,99 cosβ=0,9 cosγ=0,77
1)Методом вырезания узлов:
∑Xk=0: XA=0; (1)
∑Yk=0: 4P1+2P1+P1-RB-YA=0; (2)
∑mA=0: -3P1-6P1-9P1-12P1-30P1-18P1+18RB=0; (3)
(2) => 7P1-RB-YA=0.
(3) => 18RB=78P1;
=4,33;
(2) => YA=7P1-P1;
YA=P1.
Узел A
Y
∑Xk=0: N3+XA-N1cosα=0; (1)
A
YA
α
N1
XA
N3
X
∑Yk=0: YA-N1sinα=0; (2)
(2) => ;
.
=> N3=N1cosα-XA;
N3=16,7·0,99 P1=16,53P1.
Узел C
Y
∑Xk=0: N1cosα –N2cosα- N4cosα =0; (1)
N2
N1
α
N4
X
∑Yk=0: N1sinα –N2sinα-P1- N4sinα =0; (2)
α
α
(1) => N2=N1-N4;
C
(2) => N1sinα + N1sinα –N4sinα-P1- N4sinα=0;
P1
2N1sinα –2N4sinα-P1=0;
.
N2=16,7-13,6P1=3,1P1.
Узел E
Y
∑Xk=0: N4cosα –N6cosα=0; (1)
N5
N4
α
N6
X
∑Yk=0: N5 –P1+ N4sinα- N6sinα =0; (2)
α
(1) => N6=N4=13,6P1.
E
(2) => N5=P1.
P1
Узел D
Y
∑Xk=0: N8+N7cosβ+N2cosα-N3 =0; (1)
N7
X
∑Yk=0: N7sinβ –N5-N2sinα =0; (2)
β
D
N8
N3
α
N2
N5
(2) => .
(1) => N8 = N3 –N2cosα- N7cosβ;
N8=16,53-3,1·0,99P1-3,33·0,9P1=16,53P1-3,07P1-3P1=10,46P1.
Узел K
Y
∑Xk=0: N6cosα+N9cosβ- N10cosα-N7cosβ =0;(1)
N6
X
∑Yk=0: N6sinα –P1-N10sinα-N9 sinβ- N7 sinβ =0;(2)
α
K
β
α
β
N9
P1
N7
N10
(1) => .
(2) => -P1+13,6·0,16P1 –0,45N9- 0,45·3,33P1-0,16(0,9N9+10,6P1)=0;
-P1+2,18P1 –0,45N9- 1,5P1-0,14N9-1,7P1=0;
0,59N9=-2,02P1;
N9=-3,42P1.
N10=10,6P1-3,1 P1= 7,5P1.
Узел T
Y
∑Xk=0: N10cosα –N13cosα=0; (1)
N10
N11
α
X
∑Yk=0: N11 –P1+ N10sinα- N13sinα =0; (2)
α
(1) => N13=N10=7,5P1.
N13
P1
T
(2) => N11=P1-N10sinα+N13sinα;
N11=P1.
Узел G
Y
∑Xk=0: N14+N12cosγ+N9cosβ-N8 =0; (1)
N12
X
∑Yk=0: N12sinγ –N11-N9sinβ =0; (2)
G
γ
N14
N8
(2) => .
β
N9
N11
(1) => N14 = N8 –N9cosβ- N12cosγ=10,46 P1-3,42·0,9P1-3,97·0,77 P1=10,46 P1-3,1P1-3,04 P1=4,32 P1.
Узел M
Y
N13
N16
X
α
M
γ
γ
N15
2P1
N12
∑Xk=0: N13cosα+N15cosγ+N16cosα-N12cosγ =0; (1)
∑Yk=0: N13sinα –2P1+N16sinα-N15 sinγ- N12 sinγ =0; (2)
(1) => .
(2) => -2P1+7,5·0,16P1 +0,16N16- 0,64·3,97P1+1,29 N16+0,64·5,7P1=0;
-2P1+1,2P1 +0,16N16- 2,54P1+1,29N16+3,65P1=0;
1,45N16=-0,31P1;
N16=-0,21P1.
N10=0,27P1-5,7 P1= -5,43P1.
Узел Q
Y
N16
N13
X
∑Yk=0: N17 –P1+ N16sinα =0;
α
Q
N17=P1-N16sinα;
N17=P1-0,21·0,16P1= P1-0,03P1=0,97P1.
P1
∑Xk=0: X`A=0; (1)
∑Yk=0: 4P1+3P1-R`B-Y`A=0; (2)
∑mA=0: -3P1-6P1-9P1-12P1-45P1+18R`B=0; (3)
(2) => 7P1-R`B-Y`A=0.
(3) => 18R`B=75P1;
(2) => Y`A=7P1-P1;
YA=P1.
Узел A
Y
∑Xk=0: N`3+X`A-N`1cosα=0; (1)
A
α
X
∑Yk=0: Y`A-N`1sinα=0; (2)
N`3
Y`A
(2) => ;
N`1
X`A
.
(1)=> N`3=N`1cosα-X`A;
N`3=17,7·0,99 P1=17,52P1.
Узел C
Y
∑Xk=0: N`1cosα +N`2cosα- N`4cosα =0; (1)
N`1
α
X
∑Yk=0: N`1sinα –N`2sinα-P1- N`4sinα =0; (2)
α
C
(1) => N`2=N`4-N`1;
α
(2) => N`1sinα + N`1sinα –N`4sinα-P1- N`4sinα=0;
N`2
N`4
P1
2N`1sinα –2N`4sinα-P1=0;
.
N`2=14,58-17,7P1=-3,12P1.
Узел E
Y
∑Xk=0: N`4cosα –N`6cosα=0; (1)
N`4
N`5
α
X
∑Yk=0: N`5 –P1+ N`4sinα- N`6sinα =0; (2)
α
(1) => N`6=N`4=14,58P1.
E
(2) => N`5=P1.
N`6
P1
Узел D
Y
∑Xk=0: N`8+N`7cosβ+ N`2cosα-N`3 =0; (1)
N`7
X
∑Yk=0: N`7sinβ –N`5-N`2sinα =0; (2)
D
β
N`3
N`8
α
N`5
N`2
(2) => .
(1) => N`8 = N`3 –N`2cosα- N`7cosβ;
N`8=17,52-3,12·0,99P1-3,33·0,9P1=17,52P1-3,1P1-3P1=11,42P1.
Узел K
Y
∑Xk=0: N`6cosα+N`9cosβ- N`10cosα-N`7cosβ =0; (1)
N`6
X
∑Yk=0: N`6sinα –P1-N`10sinα-N`9 sinβ- N`7 sinβ =0;(2)
α
K
β
α
β
P1
N`7
N`10
N`9
(1) => .
(2) => -P1+14,58·0,16P1 –0,45·1,1N`10+ 0,45·12,7P1-0,16 N`10-3,33·0,45P1=0;
-P1+2,33P1 -0,5N`10+5,7P1-0,16N`10-1,5P1=0;
0,66N`10=5,53P1;
N`10=8,38P1.
N`9=9,2P1-12,7 P1= -3,5P1.
Узел T
Y
∑Xk=0: N`10cosα –N`13cosα=0; (1)
N`10
N`11
α
X
∑Yk=0: N`11 –P1+ N`10sinα- N`13sinα =0; (2)
α
(1) => N`13=N`10=8,38P1.
T
(2) => N`11=P1-N`10sinα+N`13sinα;
N`13
P1
N`11=P1.
УзелB
Y
∑Xk=0: -N`14+N`15cosγ=0; (1)
X
∑Yk=0: -N`15sinγ+R`B=0; (2)
R`B
N`14
(2) => .
γ
N`15
(1) => N`14 = N`15cosγ =5 P1.
Узел M
Y
N`15
N`13
X
α
γ
∑Xk=0: N`13cosα-N`15 cosγ- N`12 cosγ =0
γ
M
3P1
.
N`12
2)Проверим правильность полученных усилий, вычислив их другим методом- сквозных сечений
∑mAлев=0:N9b9+3P1+6P1+9P1=0;
b9=12 sinβ=5,4;
N9=.
∑mAлев=0:-N12b12+3P1+6P1+9P1+12P1=0;
B12=12 sinγ=7,68;
N12=.
∑mAлев=0:-N15b15+3P1+6P1+9P1+12P1+30P1=0;
B15=18 sinγ=11,52;
N15=.
∑mAлев=0:-N9b9+3P1+6P1+9P1=0;
b`9=12 sinβ=5,4;
N`9=.
∑mAлев=0:-N12b12+3P1+6P1+9P1+12P1=0;
b`12=12 sinγ=7,68;
N`12=.
∑mAлев=0:-N15b15+3P1+6P1+9P1+12P1+45P1=0;
b`15=18 sinγ=11,52;
N`15=.
Таким образом, получаем аналогичные результаты двумя используемыми методами.
Сопоставление усилий в исходной и изменённой ферме
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
16,7 |
3,1 |
16,53 |
13,6 |
1 |
13,6 |
3,33 |
10,46 |
3,42 |
7,5 |
1 |
3,97 |
7,5 |
4,32 |
5,43 |
0,21 |
0,97 |
|
N`n |
17,7 |
3,1 |
17,52 |
14,58 |
1 |
14,58 |
3,33 |
11,42 |
3,5 |
8,38 |
1 |
4,29 |
8,38 |
5 |
6,52 |
- |
- |
1,06 |
1 |
1,06 |
1,07 |
1 |
1,07 |
1 |
1,09 |
1,02 |
1,12 |
1 |
1,08 |
1,12 |
1,16 |
1,2 |
- |
- |
Nn- усилия в исходной ферме
N`n- усилия в изменённой ферме
Результаты расчета показывают, что изменение конструкции фермы привело к увеличению продольного усилия в стержнях правой части фермы: №15 на 20%, №14 на 16%, №13 на 12%, №12 на 8%.