IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Ведущей идеей современной концепции школьного образования является идея гуманизации, совмещая в центр процесса обучения ученика с его интересам и возможностям, требующая учета особенностей его личностей. Такая позиция определяет общие направления перестройки школьного математического образования, главными из которых является умения общекультурного звучания курса и повышение его значимости для формирования личности подрастающего поколения. Одна из важнейших его задач – обеспечить учащимся глубокие и прочные знания, а также умение рационально применять их в учебной и практической деятельности. Большое практическое значение имеет умение решать задачи на проценты, потому что понятие процента широко используется как в реальной жизни, так и в различных областях науки.

Наличие темы «Проценты» в школьном курсе математики определяется не их научным значением, а лишь чисто прагматическими соображениями. Исторически сложилась так, что проценты привычно употребляется в обиходе, в разговоре, в средствах массовой информации для того, что проценты привычно употребляются в обиходе, в разговоре, в средствах массовой информации для того, чтобы по возможности кратко сообщать количественную информацию о сравнение данных, характеризующих различные ситуации. Они традиционно привлекаются как удобное средство для формального описания относительного изменения измеряемых величин в технике, экономике, финансовом деле, социологии, психологии, химии, биологии.

Казалось бы, именно в этом ключе и следует говорить о процентах в школе: объяснить их смысл и продемонстрировать их использование. Однако при изучение темы «Проценты» возникают затруднения в средних классах. Эти затруднения связаны с обеспечением простого и точного понимания школьниками смысла использования процентов; с преодолением психологических сложностей свободного и полного понимания учащимися подчас специфических формулировок «задач на проценты».

Разработкой методики обучения решению текстовых задач занимались такие учёные, как Ю.М. Колягин, А.В. Шевкин, А.А. Столяр, Г.И. Саранцев и другие.

В.С. Крамор писал, что слово «проценты» происходит от латинского «с тысячи» − десятой части процентов. Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти». Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы. Идея процентов возникла намного раньше – вавилонские ростовщики уже умели находить проценты (они считали не «со ста», а с «шестидесяти»), так как в Вавилоне пользовались шестидесятеричными дробями.

Большинство современных учебников, рекомендованных Министерством образования, выделяют 3 типа задач на проценты:

1 тип: нахождение процента (дроби) от числа;

2 тип: нахождение числа по его проценту (дроби);

3тип: нахождение процентного отношения двух чисел.

Рассмотрим подробно несколько задач.

1 тип: нахождение процента (дроби) от числа.

Основное правило для решения задач такого типа: чтобы найти процент от числа, нужно данное число разделить на 100 и результат умножить на количество процентов.

Задача 1. Найти 25 % от числа 236.

Решение.

Решаем по правилу. Данное число разделить на 100: 236 : 100 = 2,36. Далее результат умножить на количество процентов: 2,36 ∙ 25 = 59. Значит, число 59 составляет 25 % от числа 236.

Данную задачу можно решить и другим способ. Вспоминаем, что 25% – это четверть числа, поэтому можно число 236 разделить на 4 и получим: 236 : 4 = 56.

Заметим, что ответы при обоих способах одинаковы.

Задача 2.Найти 15 % от числа 400.

Решение.

Заметим, что в данном случае нельзя решить двумя способами, так как мы не знаем, какую часть от числа 100 составляет 15 %. Поэтому применим основное правило. Число 400 делим на 100: 400 : 100 = 4. Число 4 умножаем на 15 %: 4 ∙ 15 = 60. 15 % от числа 400 составляет 60.

Данное правило можно применить и при решении текстовых задач на проценты.

Задача 3. За месяц на предприятии изготовили 500 приборов. 20 % изготовленных приборов не смогли пройти контроль качества. Сколько приборов не прошло контроль качества?

Решение.

1.Сколько приборов соответствует 1 %?

500: 100 = 5 приборов.

2.Сколько приборов приходится на 20 %?

5 ∙ 20 = 100 приборов не прошли контроль качества.

Задача 4. В семенах сои содержится 20 % масла. Сколько масла содержится в 700 кг сои?

Решение.

В задаче требуется найти указанную часть (20 %) от известной величины (700 кг).

Придерживаясь основного правила и задавая наводящие вопросы, решаем задачу.

1.Какая масса сои приходится на 1 %?

1. 100 = 7 (кг).

2.Сколько масла приходится на 20 %?

7 ∙ 20 = 140 масла содержится в 700 кг сои.

2 тип: нахождение числа по его проценту (дроби).

Основное правило: чтобы найти число по его проценту, нужно данное число разделить на количество процентов и результат умножить на 100.

Задача 1. Найдите число, 60 % которого равны 90.

Решение.

Применяем основное правило. Данное число, то есть 90, нужно разделить на количество процентов, на 60: 90 : 60 = 1,5. Далее, полученное число умножаем на 100: 1,5 ∙ 100 = 150. Итак, получаем ответ: 60 % от числа 150 равны 90.

Задача 2. После того, как число уменьшили на 40 % этого числа, получили 48. Найдите это число.

Решение.

Давайте сначала подумаем, сколько процентов осталось после уменьшения. Для этого от 100 % отнимем 40 %: 100% - 40% = 60 %. Теперь получили, что 48 – это 60 %. А теперь применяем основное правило:

1.  

   1. 60 = 0,8 – это 1 % неизвестного числа,

2)0,8 ∙ 100 = 80 – неизвестное число.

Рассмотри текстовые задачи.

Задача 3. Готовясь к экзамену, школьник решил 38 задач из пособия для самоподготовки. Что составляет 25 % числа всех задач в пособии. Сколько всего задач собрано в этом пособии для самоподготовки?

Решение.

Мы не знаем, сколько всего задач в пособии. Но зато нам известно, что 38 задач составляют 25 % от общего их количества. Нам следует известную нам часть целого разделить на количество процентов, которую она составляет от всего целого, то есть 38 : 25 = 1,52. Далее это число умножаем на 100 и получаем: 1,52 ∙ 100 = 152. Именно 152 задачи включили в этот сборник.

Задача 4. Ученик прочитал 138 страниц, что составляет 23 % числа всех страниц в книге. Сколько страниц в книге?

Решение.

Сначала, узнаем, чему равен 1 % всех страниц. Для этого разделим 138 на 23. Так как 138 : 23 = 6, то 1 % равен 6. Чтобы узнать, чему равны 100 % страниц, надо умножить 6 на 100. Так как 6 ∙ 100 = 600, то в книге 600 страниц.

3 тип: нахождение процентного отношение двух чисел.

Процентное отношение двух чисел – это их отношение, выраженное в процентах. Процентное отношение показывает, сколько процентов одно число составляет от другого.

Основное правило: чтобы найти, сколько процентов составляет первое число от второго, нужно ту часть, о которой спрашивается, разделить на общее количество и результат умножить на 100.

Задача 1. Сколько процентов составляет число 8 от 20?

Решение.

Решаем, применив данное правило. В данной задаче спрашивается про число 8, поэтому число 8 нужно разделить на 20: 8 : 20 = 0,4. Полученное число умножаем на 100: 0,4 ∙ 100 = 40 %. Получили ответ: 40 % число 8 составляет от числа 20.

Задача 2. Сколько процентов составляет число 36 от числа 48?

Решение.

1)36 : 48 = 0,75,

2)0,75 ∙ 100 = 75 %.

Рассмотри текстовые задачи на проценты.

Задача 3. В классе 30 учеников. 12 из них – девочки. Сколько процентов девочек в классе?

Решение.

О чем спрашивают? О девочках. Значит число девочек делим на общее число учеников и получаем: 12 : 30 = 0,4. Теперь это число умножаем на 100: 0,4 ∙ 100 = 40 % составляют девочки от всех учеников в классе.

Задача 4. Из 200 арбузов 16 оказались незрелыми. Сколько процентов всех арбузов составили незрелые арбузы?

Решение.

Решаем аналогично.

В вопросе спрашивается о незрелых арбузах. Поэтому число незрелых арбузов (16) делим на общее количество (200). Получаем, что 16:200 = 0,08. Данный результат умножаем на 100, то есть 0,08 ∙ 100 = 8 %. Ответ: 8 % всех арбузов составили незрелые арбузы.

Большое практическое значение имеет умение решать задачи на проценты, потому что понятие процента широко используется как в реальной жизни, так и в различных областях науки.

Учениками забываются проблемы универсальности процентов и разнообразия сфер их применения. В связи с этим является актуальным вопрос о том, чтобы задачи на проценты заняли достойное место в V-VI классах. В этот период школьники изучают различные виды уравнений и их систем, закрепление которых ведется на текстовых задачах, а присутствие процентов в содержании текстовых задач дает возможность связать абстрактные математические понятия с реальной жизнью.

Код для цитирования: Скопировать