IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Постановка проблемы. Человек более способен усматривать свойства и особенности, характерные для геометрических объектов, чем выводить те же свойства из совокупности формул. Ему также легче преобразовывать геометрические фигуры, чем осуществлять последовательность аналитических преобразований некоторых формул. Поэтому для более чёткого понимания принципов решения задач линейного программирования (ЛП) [1] и нечёткого линейного программирования (НЛП) [2; 3] аналитическими средствами важно хорошо усвоить графические методы их решения, которые в свою очередь являются наглядными и довольно простыми методами решения задач НЛП и НДЛП, содержащие не более трёх переменных.

Анализ последних исследований. Решение задач принятия решений (ПР) при нечёткой информации и модели ПР в этих условиях основывается на аппарате нечёткой математики [3] и нечёткой логики [4]. В работе [2] изложены аналитические методы решения задач линейного и выпуклого программирования. Основное внимание уделено проблемам ПР при нечёткой и недостоверной информации. Описаны задачи ПР на основе лингвистических переменных, нечёткого математического программирования и методы их решения в основном без геометрической интерпретации. В работе [3] особое внимание уделяется прикладным задачам нечёткой математики. Рассматриваются нечёткие системы линейных алгебраических уравнений, элементы нечёткой теории вероятностей и теория ПР, аналитические методы решения нечётких задач математического программирования, но, как и в [2], в основном без геометрической интерпретации.

В работе [6] проведено рассмотрение графоаналитических методов решения задач НЛП с чёткой целевой функцией при нечётко заданных ограничениях. Поставленная в данной работе задача, по нашему мнению, может быть сведена к решению задачи, которая рассмотрена в работе [6] путём применения свойств двойственных задач и теорем двойственности.

Формулирование целей статьи. В данной работе мы предлагаем рассмотрение графоаналитического метода решения задач нечёткого линейного программирования с нечёткой целевой функцией при чётко заданных ограничениях на основе свойств двойственных задач и теорем двойственности.

Основная часть. Практически графическим методом решают задачи НЛП с двумя переменными, представленные в неканоническом виде или сводящиеся к ним. Так как число ограничений одной двойственной задачи равно числу переменных другой двойственной задачи, то в дальнейшем целесообразно проводить рассмотрение системы, содержащей два ограничения.

Рассмотрим такую задачу НЛП: найти экстремум нечёткой целевой функции

, (1)

где параметры целевой функции (1) являются гауссовыми нечёткими числами с функциями принадлежности:

, (2)

где - модальные значения (ядра) нечётких чисел - коэффициенты концентрации.

При чётких ограничениях

(3)

Найдём двойственную задачу для задачи (1)-(3) используя следующие свойства двойственности [7]:

1) число неизвестных одной задачи равно числу ограничений другой задачи;

2) матрица коэффициентов системы ограничений получается одна из другой путём транспонирования;

3) неравенства в системах ограничений имеют противоположный смысл;

4) свободные члены системы ограничений одной из задач становятся коэффициентами целевой функции другой задачи, коэффициенты превращаются в свободные члены системы ограничений;

5) целевые функции в задачах имеют противоположный смысл;

6) (первая теорема двойственности) Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то и другая имеет. Причём экстремальные значения целевых функций совпадают.

Запишем двойственную задачу с учётом вышеизложенного:

целевая функция

, (4)

ограничения

(5)

Решим задачу (4)-(5) в общем виде графоаналитическими методом [6]

Искомое оптимальное решение этой задачи графически соответствует координатам экстремальной нечёткой точки. Его можно найти путём совместного решения системы двух нечётких уравнений, которые отвечают нечётким граничным прямым, пересекающимся в этой нечёткой точке. В общем случае следует найти нечёткое решение нечёткой системы линейных алгебраических уравнений (НСЛАУ) [5].

Выразим решение НСЛАУ (2) через параметры задачи по формулам Крамера:

(6)

где — определитель матрицы , — определитель матрицы, который получаем при замене k-го столбца:

, (7)

где , — адъюнкта элемента матрицы , .

Теперь можно получить функции принадлежности компонентов нечёткого решения задачи (3):

,

, (8)

, .

Стоит отметить, что при решении задач НДЛП графоаналитическим методом .

Подставляя полученные значения нечётких координат точек экстремума в выражение для целевой функции (4), можно получить нечёткое значение искомой функции.

Выводы. В данной работе рассмотрен графоаналитический метод решения задач нечёткого линейного программирования с нечёткой целевой функцией при чётко заданных ограничениях на основе свойств двойственных задач и теорем двойственности. В полученной двойственной задаче целевая функция является чёткой, а линейные ограничения – нечёткими. Изложен достаточно простой графоаналитический метод определения нечётких координат нечётких экстремальных точек путём нахождения нечёткого решения НСЛАУ.

Список литературы:

1. Єремєєв В. С., Баришевський С. О. Графічний метод розв’язання задач нечіткого лінійного програмування з чітко поставленою метою при нечітких обмеженнях // Праці: Таврійський державний агротехнологічний університет. – Мелітополь: ТДАТУ, 2012. – Вип. 4. – Т. 49. – С. 27 – 32.

2. Барышевский С. О. Прикладной системный анализ в институциональной экономике// Институциональный вектор экономического развития: зб. науч. раб/ МЫДМУ «КППУ». – Мелитополь: Изд-во КПУ. 2011. – Исн.4(1) – с.191 – 202.

3. Бережная Е. В., Бережной В. И. Математические методы моделирования экологических систем: учеб. пособие : – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2005. – 432 с.: ил.

4. Новак В., Перфильева И., Мочкорж И./пер. с англ.: под ред. Аверкина А. Н. – М.: Физматлит, 2006. – 352 с.

5. Раскин Л. Г., Серая О. В. Нечёткая математика. Основы теории. Приложения. – Х.: Парус, 2008. – 352 с.

6. Халилова С. Р. ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕЧЁТКОГО ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ / С. Р. Халилова, С. О. Барышевский // Научная дискуссия: инновации в современном мире: сб. ст. по материалам LIX Международной научно-практической конференции «Научная дискуссия: инновации в современном мире». – № 15(58). – М., Изд. «Интернаука», 2016. – С. 7-13.

7. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. - Курс методов оптимизации. Учеб. пособие - 2е изд.: Физматлит, 2008. – 368 с.

Код для цитирования: Скопировать