IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

В данной исследовательской работе рассмотрено такое явление как биения. Целью нашей работы является изучение случая, когда у двух складываемых гармонических колебаний различны не только частоты, но и амплитуды. Получено уравнение для случая сложения колебаний маятника с разными амплитудами, с помощью приложения для математических и инженерных вычислений PTC Mathcad 15 построены графики зависимости двух складываемых колебаний от времени, а также сделан вывод о том, при каких условиях данное явление выражено ярко, а при каких может и не наблюдаться вовсе.

Биения представляют собой периодические изменения амплитуды, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами. Они возникают в результате того, что в какой-то момент времени складываемые колебания оказываются в фазе, через некоторое время в противофазе, далее этот процесс повторяется. При этом амплитуда результирующего колебания достигает то максимума, равного сумме амплитуд складываемых колебаний, то минимума, равного разности этих амплитуд. При интерференции двух колебаний или волн можно выделить два случая: когда амплитуды складываемых источников равны между собой и, когда они различны.

Для начала будем считать, что амплитуды идентичны. Математически нам нужно взять сумму двух косинусов и получить уравнение результирующего колебания.

(1)

где:

– амплитуда колебаний;

– угловая частота колебаний;

– разность частот;

– время колебаний.

Складывая эти выражения и применяя формулу суммы косинусов, получим:

(2)

Следует также отметить, что разность частот намного меньше угловой частоты , и можно пренебречь.

Возьмем рандомно два колебания с одинаковой амплитудой и представим графическое решение суммы этих колебаний в программе PTC Mathcad 15 (рис.1). Результирующие колебание будем обозначать как .

Для графического решения уравнения Mathcad предоставляет пользователю ряд функций в панели инструментов GraphToolbar, которая открывается в панели математических инструментов, или через пункт Graph в меню Insert. Встроенная функция X-Yplotпредназначена для построения графиков в декартовой системе координат.

Так, система была решена следующим образом:

рис.1. Графическое решение сложения двух колебаний с одинаковой амплитудой.

На рис. 1 представлен классический случай исследуемого явления биений.

Теперь, перейдем к частному случаю и предположим, что амплитуды двух волн различны. Однако теперь, математическое вычисление суммы двух синусоид усложняется. Для упрощения этой задачи перейдем к экспонентам и вспомним формулу Эйлера, которая устанавливает взаимосвязь между экспоненциальной функцией и тригонометрическими функциями и на множестве комплексных чисел:

(3)

Представим как реальную часть экспоненты , а как . После сложения этих экспонент и выделения в качестве множителя экспоненты со средней частотой получим:

(4)

В рамках данной работы частный случай представляет для нас наибольший интерес, поэтому разберем его подробно с помощью построения графиков для трех различных случаев.

Используя ту же функцию X-Yplot, построим несколько графиков сложения синусоид с отличающимися амплитудами и частотами. Так, на рисунках 2, 3 и 4 представлены графические решения результирующего колебания для каждого наблюдаемого случая. При этом разность амплитуд установим 0,25 мм.

Для первого случая результирующие колебание представляет собой сумму данных колебаний (5) и имеет следующий вид:

рис.2. Первый случай сложения двух колебаний с разными амплитудами.

На рисунке 2 результирующие колебание имеет четкую структуру, разность частот составляет . Биения выражены не отчетливо.

Теперь рассмотрим случай, когда разность частот уменьшается:

(6)

рис.3. Второй случай сложения двух колебаний с разными амплитудами.

На рисунке 3 ситуация несколько отличается, а именно разность частот . На графике результирующее колебание имеет четкую структуру, но синусоида становится более сжатой.

В последнем случае сложим колебания с разностью частот и получим:

(7)

рис.4. Третий случай сложения двух колебаний с разными амплитудами.

Однако полученных результатов не достаточно для того, чтобы сформулировать достоверный и обоснованный вывод. Построим дополнительно еще один график зависимости соотношения частот и отношения амплитуды максимальной к минимальной . В итоге получим:

рис.5.График зависимости отношения частот к отношению амплитуд .

При анализе полученного графика можно утверждать, что с увеличением отношения частот , отношение амплитуд уменьшается. Это связано с тем, что при увеличении разности частот , минимальная амплитуда биений складываемых гармонических колебаний также увеличивается.

Таким образом, явление биений мы можем наблюдать как при сложении колебаний с равными амплитудами, так и когда амплитуды могут отличаться. Биения четко выражены при отношении частот , не превышающем значение .

Список литературы:

1. Фейман Р.Ф., Сэндс М. Феймановские лекции по физике. Том. 4. Кинетика. Теплота. Звук. Изд. 3-е. Москва: Издательство «Мир», 1976. – 399 с.

2. Определение функций и построение графиков [Электронный ресурс]. URL: http://www.exponenta.ru/default.asp - статья в интернете (дата обращения: 5.12.2016).

1. Трофимова Т.И. Курс физики: учеб. пособие для вузов. – Изд. 9–е, перераб. и доп. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 560 с.

Код для цитирования: Скопировать